一元二次根的分布情况归纳(完整版)(1)(1)

1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳21、一元二次方程 ax2 bx c 0 根的分布情况设方程 ax2 bx c 0 a 0 的不等两根为 x1,x2且 x1 x2 ，相应的二次函数为 f x ax2 bx c 0，方程的 根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于 0x1 0,x2 0两个正根即两根都大于 0x1 0,x2 0一正根一负根即一个根小于 0，一个大于 0 x1 0 x2大致图象（得出的结论b2ab2a大致图象（0得出的结b2af0b2af0综合结

2、论（不讨论b2ab2a表二：（两根与 k 的大小比较）分布情况两根都小于 k 即两根都大于 k 即一个根小于 k ，一个大于 k 即x1k , x2 kx1 k, x2 kx1 k x2大致图象（得出的结大致图象（kk0000f k 0b 2a kb 2a k得出的结b2akb2ak综合结论（不讨论b2ab2aafk表三：（根在区间上的分布）分布情两根都在 m, n 内两根有且仅有一根在 m, n 内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在 m, n 内，另一根在 p, q 内， m n p q大致图象（00nqmp得出的结论大致图象（00nqmp或0000mnpq得出的结论综合结论（不讨论根在

3、区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 m,n 外，即在区间两侧 x1 m, x2 n ，（图形分别如下）需满 足的条件是f n 0f m 02) a 0 时，f n 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：1）两根有且仅有一根在 m, n 内有以下特殊情况：若 f m 0或 f n 0，则此时 f m gf n 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或 n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 m,n 内，从而可以求出参数的值。如方程mx2 m 2 x 2 0 在区间2 2 2 21,3 上有一根， 因为 f 1 0，所以 mx2 m 2 x 2 x 1 mx 2 ，另一根

4、为，由 13得 m 2m m 3 即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间m, n 内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程x2 4mx 2m 6 0 有15 且一根在区间 3,0 内，求m的取值范围。分析：由 f 3 gf 0 0即 14m 15 m 3 0得出 3 m 15；14 23由0即16m2 4 2m 6 0得出 m 1或m ，当 m 1时，根 x 2 3,0 ，即 m 1满足题意；23315当 m 时，根 x 3 3,0 ，故 m 不满足题意；综上分析，得出 3 m 或 m 12214

5、0根的分布练习题例 1 、已知二次方程2m 1x22mx m 1 0有一正根和一负根，求实数 m 的取值范围。解：由 2m 1 gf2m 1 m 1 0 ，从而得1m 1 即为所求的范围。2例 2、已知方程 2x2m1m 0 有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。解：由m18mm 3 2 2或 m 322例 3、已知二次函数的取值范围。解：由 m 2 gf例 4 、已知二次方程2g200m03 2 2 即为所求的范围。m20即mx2 2mx22m 4 x2 g2m 1x 4 0只有3m与 x 轴有两个交点，一个大于2 m 1 即为所求的范围。2个正根且这个根小于 1，求实数解：由题意有方程在

6、区间 0,1 上只有一个正根， 则 f 0 gf 14g3m注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1 内，由1，一个小于 1，求实数 m的取值范围。0计算检验，1 即为所求范围。3均不复合题意，计算量稍大)例 1、当关于 x的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围：22( 1)方程 x2 ax a2 7 0 的两个根一个大于 2，另一个小于 2；22(2)方程 7x2 (a 13)x a2 a 2 0的一个根在区间 (0,1) 上，另一根在区间 (1,2) 上；(3)方程 x2 ax 2 0 的两根都小于 0；变题：方程 x2 ax 2 0 的两根都小于 1(4)方

7、程 x2 (a 4)x 2a2 5a 3 0 的两根都在区间 1,3 上；2(5)方程 x2 ax 4 0 在区间( 1， 1)上有且只有一解；例 2、已知方程 x2 mx 4 0在区间 1，1上有解，求实数 m 的取值范围2例 3、已知函数 f (x) mx2 (m 3)x 1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围检测反馈：11若二次函数 f(x) x2 (a 1)x 5在区间 ( ,1)上是增函数，则 f (2) 的取值范围是 22 2 22若 、 是关于 x的方程 x2 2kx k 6 0的两个实根 , 则 ( 1)2 ( 1) 2的最小值为23若关于 x 的方程

8、 x2 (m 2)x 2m 1 0只有一根在 (0,1) 内，则 m _4对于关于 x 的方程 x2+（2m 1）x+4 2m=0 求满足下列条件的 m 的取值范围：（ 1）有两个负根（ 2） 两个根都小于 1（ 3）一个根大于 2，一个根小于 2（ 4） 两个根都在（ 0 ， 2）内（ 5）一个根在 （ 2， 0）内，另一个根在 （1，3）内（ 6）一个根小于 2，一个根大于 4（7） 在（ 0， 2）内 有根（ 8） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大5已知函数 f （x） mx2 x 1的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数 m的取值范围。2、二次函数在闭区间 m,n 上的

9、最大、最小值问题探讨2设 f x ax2 bx c 0 a 0 ，则二次函数在闭区间 m,n 上的最大、最小值有如下的分布情况：图象最大、最小bmn2af x maxfmf x minfnb n 即 b m,n2a 2af x max max f n , f mx minb2abmn2af x maxf x minfnfm对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：1）若b2an ，则 f xmaxmax f m, ff n ， f x 2amin min f m, f2a f n ；2）若n ，则 f x另外，2a当二次函数开口向上时，max max f m

10、, f nf x min min f m , f n自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题 各代表一种情况。例 1、函数 f x ax2 2ax 2 b a 0 在 2,3 上有最大值 5 和最小值 2，求 a, b 的值。解：对称轴x0 12,3，故函数 fx 在区间 2,3 上单调。fxf33ab25a1（1）当a0时，函数 fx 在区间2,3 上是增函数，故maxfxmin

11、f22b2b0fxf2b25a1（2）当a0时，函数 fx 在区间2,3 上是减函数，故 fmaxfxminf33ab22b3例 2、求函数 f x x2 2ax 1, x 1,3 的最小值。6a解：对称轴 x0 a（1）当a1时，yminf 1 22a（ 2）当1a3时，yminf a 1a2 ；（3）当a3时，yminf 3 10改： 1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当 a 2时， f x max f 3 10 6a ；max（2）当 a 2时， f x max f 1 2 2a 。 2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？解：（1）当a1 时， fxmaxf3106a ， f x minf122a；（2）当1a 2 时，fxmax f310 6afx minfa1 a2 ；（3）当2a 3 时，fxmax f12 2a ，fxfa1 a2 ；maxmin（4）当a3 时， fx max maxf122a ， fxminf3106a 。例 3、求函数 y x2 4x 3 在区间 t,t 1 上的最小值。解：对称轴 x0 2221）当 2 t即 t 2时， ymint t24t 3 ；（2）当 t 2 t 1即 1t 2 时， ymin f 21；3）当 2 t 1即 t1时，ymint1t 2 2t例 4 、讨论函数 f