（整理版）章末质量评估(三)

1、章末质量评估章末质量评估( (三三) ) (时间：100 分钟 总分值：120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪项符合题目要求的) 1a a(2x， 1， 3)，b b(1， 2y， 9)， 如果a a与b b为共线向量， 那么 ( ) ax1，y1 bx12，y12 cx16，y32 dx16，y32 解析 a a(2x，1，3)与b b(1，2y，9)共线，故有2x112y39，x16，y32. 答案 c 2 a a3i3i2j2jk k，b bi ij j2k2k， 那 么5a5a与3b3b的 数 量 积 等 于 (

2、) a15 b5 c3 d1 解析 a a(3 3，2 2，1 1)，b b(1 1，1 1，2 2)，5a3b5a3b15ab15ab15.15. 答案 a 3 abab0 0，|a|a|2 2，|b|b|3 3， 且 (3a3a2b2b)(a ab b) 0 ， 那 么等 于 ( ) a.32 b32 c32 d1 解析 由abab0 0及(3a3a2b2b)(a ab b)0，得 3a a22b b2，又|a a|2，|b b|3，所以32，故 选 a. 答案 a 4a a，b b，c c是不共面的三个向量， 那么能构成一个基底的一组向量是 ( ) a2 2a a，a ab b，a a2

3、b2b b2 2b b，b ba a，b b2a2a ca a，2b2b，b bc c dc c，a ac c，a ac c 解析 不共面的三个向量才可以构成基底，a 中，a a2b2b3 32 2(2 2a a)(2 2)(a ab b)，三个向量 共面：b 中，b b2 2a a3 32 2(2 2b b)(2 2)(b ba a)，三个向量共面；d中，a ac c2 2c c(a ac c)，三 个向量共面；只有 c 中的三个向量不共面 答案 c 5空间直角坐标系中a(1，2，3)，b(1，0，5)，c(3，0，4)，d(4，1，3)，那么直线ab与cd的位置关系是 ( ) a平行 b垂

4、直 c相交但不垂直 d无法确定 解析 ab(2，2，2)，cd(1，1，1)， 又ab2cd abcd，即abcd. 答案 a 6a a(2，3，1)，b b(2，0，3)，c c(0，0，2)，那么以下结论正确的选项是 ( ) aa ab bb bc c b|a a|b bc c| c|a ab b2c c|5 da ac cb b 解析 对于 a：a ab b2230137， b bc c2000326 故 a 错 对于 b：|a a| 49114， |b bc c| 22025229，故 b 错 对于 c：a ab b2c c(4，3，0) |a ab b2c cc 正确 答案 c 7

5、在abc中，abac5，bc6，pa平面abc，pa8， 那么p到bc的距离是 ( ) a.5 b45 c35 d25 解析 如下图，以bc边上的垂线为y轴，建立空间直角 坐标系，那么pd的长即为所求， 由a(0，0，0)，p(0，0，8)，d(0，4，0)， 那么|pd| 428245. 答案 b 8.如图，在正方体abcda1b1c1d1中，下面结论错误的选项是( ) abd平面cb1d1 bac1bd cac1平面cb1d1 d向量ad与cb1的夹角为 60 解析 以d为原点，da、dc、dd1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，不妨设正 方体的棱长为 1，那么有a(1，0，0)，b(

6、1，1，0)，c(0，1，0)，d(0，0，0)，a1(1，0，1)， b1(1，1，1)，c1(0，1，1)，d1(0，0，1) bd(1，1，0)，ac1(1，1，1)，cd1(0，1，1)，b1d1(1，1，0)，cb1 (1，0，1)对于选项 a.由b1d1bd知结论正确；对于选项 b，由ac1bd(1，1， 1)(1，1，0)0 知结论正确；对于选项 c，由选项 b，再由ac1b1c(1，1，1) (1，0，1)0 知结论正确；对于选项 d，由 cosad，cb122， 知结论不正确 答案 d 9如下图，直三棱柱abca1b1c1中，aa1abac，abac，m是cc1的中点，q是b

7、c的中点，p是a1b1的中点，那么直线pq与am所成的角为 ( ) a.6 b.4 c.3 d.2 解析 以a为坐标原点，ac、ab、aa1所在直线为x、 y、z轴建立如下图的空间直角坐标系，设aa1ab ac2，那么am(0，2，1)，q(1，1，0)，p(1，0，2)， qp(0，1，2)，所以qpam0，所以qp与am 所成角为2. 答案 d 10oa(1，2，3)，ob(2，1，2)，op(1，1，2)，点q在直线op上运动，那么当qaqb取得最小值时， 点q的坐标为 ( ) a(12，34，13) b(12，32，34) c(43，43，83) d(43，43，73) 解析 设q(x

8、，y，z)，因q在op上，故有oqop，可得：x，y，z2，那么q(， ，2)，qa(1，2，32)，qb(2，1，22)，所以qaqb6216 106(43)223，故当43时，qaqb取最小值，此时q(43，43，83)，应选 c. 答案 c 二、填空题(本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分把答案填在题中横线上) 11假设a a(2，3，5)，b b(3，1，4)，那么|a a2b2b|_ 解析 因为a a2b2b(8，5，13，)，所以|a|a2b|2b| 8252132258. 答案 258 12平面经过点o(0，0，0)，且e e(1，1，1)是的法向量，m(x，y，z)是

9、平面内任意一点，那么x，y，z满足的关系式是_ 解析 ome e(x，y，z)(1，1，1)xyz0. 答案 xyz0 13设a，b是直线，是平面，a，b，向量a a1 1在a上，向量b b1在b上，a a1(1， 1， 1)，b b1(3， 4， 0)， 那么，所成二面角中较小的一个的余弦值为_ 解析 由题意， cos |cos a a1 1，b b1 1 |a|a1 1b b1 1| |a|a1 1|b|b1 1| |1，1，13，4，035315. 答案 315 14四面体顶点a(2，3，1)、b(4，1，2)、c(6，3，7)和d(5，4，8)，那么顶点d到平面abc的距离为_ 解析

10、设平面abc的一个法向量为n n(x，y，z)那么 n nab0，n nac0，即x，y，z2，2，30，x，y，z4，0，60. 2x2y3z0，4x6z0y2x，z23x， 令x1，那么n n(1，2，23)，ad(7，7，7)， 故所求距离为|adn n|n n|714143|144911. 答案 11 三、 解答题(本大题共 5 小题， 共 54 分 解容许写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤) 15(10 分)四边形abcd的顶点分别是a(3，1，2)，b(1，2，1)，c(1，1，3)，d(3，5，3) 求证：四边形abcd是一个梯形 证明 因为ab(1，2，1)(3，1，2)

11、(2，3，3)，cd(3，5，3)(1，1，3)(4，6，6)，因为243636， 所以ab和cd共线，即abcd. 又因为ad(3，5，3)(3，1，2)(0，4，1)， bc(1，1，3)(1，2，1)(2，1，2)， 因为024112，所以ad与bc不平行， 所以四边形abcd为梯形 16(10 分)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，ab5，aa14. (1)证明：acbc1； (2)求二面角c1abc的余弦值大小 解 直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，ab5，故ac， bc，cc1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，那么c(0，0，0)， a(3，0，

12、0)，c1(0，0，4)，b(0，4，0)，b1(0，4，4) (1)证明 ac(3，0，0)， bc1(0，4，4)， acbc1acbc1. (2)平面abc的一个法向量为m m(0，0，1)，设平面c1ab的一 个法向量为n n(x，y，z)， ac1(3，0，4)，ab(3，4，0)， 由n nac10，n nab0.得3x4z0，3x4y0， 令x4，那么y3，z3.n n(4，3，3)， 故 cosm m，n n33433434. 即二面角c1abc的余弦值为33434. 17(10 分)空间三点a(2，0，2)，b(1，1，2)，c(3，0，4)，设a aab，b bac. (1

13、)求a a和b b的夹角的余弦值； (2)假设向量ka ab b与ka a2b2b互相垂直，求k的值 解 a aab(1，1，2)(2，0，2)(1，1，0)， b bac(3，0，4)(2，0，2)(1，0，2) (1)cos a ab b|a|b|a|b|100251010， a a与b b的夹角的余弦值为1010. (2)ka ab b(k，k，0)(1，0，2)(k1，k，2)， ka a2b2b(k，k，0)(2，0，4)(k2，k，4)， (k1，k，2)(k2，k，4) (k1)(k2)k280. 即 2k2k100，k52或k2. 18(12 分)如图，m，n分别是空间四边形a

14、bcd的棱ab，cd的中点，试判断向量mn与向量ad，bc是否共面 解 根据图形可以得到 mnmaaddn， mnmbbccn. 由得mamb，dncn. 所以得 2mnadbc，即mn12ad12bc. 故向量mn与向量ad，bc共面 19(12 分)如下图，在直三棱柱abca1b1c1中，abc90，bc2，cc14，eb11，d，f，g分别为cc1，b1c1，a1c1的中点， (1)求证：b1d平面abd； (2)求证：平面egf平面abd； (3)求平面egf与平面abd的距离 (1)证明 如下图，建立空间直角坐标系， 设a1(a，0，0)，那么c1(0，2，0)，f(0，1，0)，e(0，0，1)， a(a，0，4)，b(0，0，4)，d(0，2，2)，g(a2，1，0) b1d(0，2，2)，ab(a，0，0)，bd(0，2，2)， b1dab0000，b1dbd0440