（整理版）第2讲　一元二次不等式及其解法

1、第2讲一元二次不等式及其解法分层a级根底达标演练(时间：30分钟总分值：55分)一、选择题(每题5分，共20分)1(·南通二模)f(x)那么不等式f(x)<f(4)的解集为()ax|x4 bx|x<4cx|3<x<0 dx|x<3解析f(4)2，不等式即为f(x)<2.当x0时，由<2，得0x<4；当x<0时，由x23x<2，得x<1或x>2，因此x<0.综上，xf(x)<f(4)的解集为x|x<4答案b2不等式x2ax40的解集不是空集，那么实数a的取值范围是()a4,4 b(4,4)c(，4

2、4，) d(，4)(4，)解析不等式x2ax40的解集不是空集，只需a2160，a4或a4，应选d.答案d3设a>0，不等式c<axb<c的解集是x|2<x<1，那么abc ()a123 b213c312 d321解析c<axb<c，又a>0，<x<.不等式的解集为x|2<x<1，abca213.答案b4(·莆田二模)不等式(x22)log2x>0的解集是()a(0,1)(，) b(，1)(，)c(，) d(，)解析原不等式等价于或x>或0<x<1，即不等式的解集为(0,1)(，)答案a二

3、、填空题(每题5分，共10分)5(·烟台模拟)关于x的不等式ax22xc>0的解集为，那么不等式cx22xa>0的解集为_解析由ax22xc>0的解集为知a<0，且，为方程ax22xc0的两个根，由根与系数的关系得，×，解得a12，c2，cx22xa>0，即2x22x12<0，其解集为(2,3)答案(2,3)6(·浙江)设ar，假设x>0时均有(a1)x1(x2ax1)0，那么a_.解析显然a1不能使原不等式对x>0恒成立，故a1且当x1，a1时原不等式成立对于x2ax10，设其两根为x2，x3，且x2<x3，

4、易知x2<0，x3x>0时，原不等式恒成立，故x1满足方程x2ax10，代入解得a或a0(舍去)答案三、解答题(共25分)7(12分)不等式ax23x6>4的解集为x|x<1或x>b(1)求a，b；(2)解不等式ax2(acb)xbc<0.解(1)因为不等式ax23x6>4的解集为x|x<1或x>b，所以x11与x2b是方程ax23x20的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系，得解得(2)由(1)知不等式ax2(acb)xbc<0为x2(2c)x2c<0，即(x2)(xc)<0.当c>2时，不等式(x2)(x

5、c)<0的解集为x|2<x<c；当c<2时，不等式(x2)(xc)<0的解集为x|c<x<2；当c2时，不等式(x2)(xc)<0的解集为.综上所述：当c>2时，不等式的解集为x|2<x<c；当c<2时，不等式的解集为x|c<x<2；当c2时，不等式的解集为.8(13分)(·浙江卷)设函数f(x)a2ln xx2ax，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立注e为自然对数的底数解(1)因为f(x)a2ln xx2ax，其中x0，所以f(x)2xa.由于

6、a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，)(2)由题意得，f(1)a1e1，即ae.由(1)知f(x)在1，e内单调递增，要使e1f(x)e2，对x1，e恒成立，只要解得ae.分层b级创新能力提升1(·长沙模拟)二次函数f(x)ax2(a2)x1(az)，且函数f(x)在(2，1)上恰有一个零点，那么不等式f(x)>1的解集为()a(，1)(0，) b(，0)(1，)c(1,0) d(0,1)解析f(x)ax2(a2)x1，(a2)24aa24>0，函数f(x)ax2(a2)x1必有两个不同的零点，又f(x)在(2，1)上有一个零点，那么f(2)f(1)&l

7、t;0，(6a5)(2a3)<0，<a<，又az，a1，不等式f(x)>1即为x2x>0，解得1<x<0.答案c2(·南通期末)假设不等式x22axa>0对xr恒成立，那么关于t的不等式a2t1<at22t3<1的解集为()a(1,2) b(2,1) c(2,2) d(3,2)解析假设不等式x22axa>0对xr恒成立，那么4a24a<0，所以0<aa2t1<at22t3<1，那么2t1>t22t3>0，即所以1<t<2.答案a3在实数集上定义运算：xyx(1y)，假设不

8、等式(xa)(xa)<1对任意实数x恒成立，那么实数a的取值范围是_解析由题意知(xa)(xa)(xa)(1xa)x2xa2a.故x2xa2a<1对任意xr都成立即x2x<a2a1对任意xr都成立而x2x2，只需a2a1>即可，即4a24a3<0，解得<a<.答案4(·大同一模)函数f(x)x22xb2b1(br)，假设当x1,1时，f(x)>0恒成立，那么b的取值范围是_解析依题意，f(x)的对称轴为x1，且开口向下，当x1,1时，f(x)是增函数假设f(x)>0恒成立，那么f(x)minf(1)12b2b1>0，即b2b

9、2>0，(b2)(b1)>0，b>2或b<1.答案(，1)(2，)5f(x)是定义在(，4上的减函数，是否存在实数m，使得f(msin x)f对定义域内的一切实数x均成立？假设存在，求出实数m的取值范围；假设不存在，请说明理由思维启迪：不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域解假设实数m存在，依题意，可得即因为sin x的最小值为1，且(sin x)2的最大值为0，要满足题意，必须有解得m或m3.所以实数m的取值范围是.探究提高不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，mf(x)恒成立，只需mf(x)min.6设二次函数f(x)ax2bxc，函数f(x)f(x)x的两个零点为m，n(m<n)(1)假设m1，n2，求不等式f(x)>0的解集；(2)假设a>0，且0<x<m<n<，比拟f(x)与m的大小解(1)由题意知，f(x)f(x)xa(xm)(xn)，当m1，n2时，不等式f(x)>0，即a(x1)(x2)>0.当a>0时，不等式f(x)>0的解集为x|x<1或