（整理版）第2课时抛物线的简单几何性质

1、第2课时 抛物线的简单几何性质一、选择题1过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于a(x1，y1) 、b(x2，y2)两点，如果x1x26，那么，|ab|等于()a8b10c6d4答案a解析由题意，|ab|x11x21(x1x2)2628，选a.2到点(1,0)与直线x3的距离相等的点的轨迹方程为()ax24y4by24x4cx28y8 dy28x8答案d解析由得|x3|，变形为：y28x8，应选d.3(·湖南文，5)设抛物线y28x上一点p到y轴的距离是4，那么点p到该抛物线焦点的距离是()a4b6c8d12答案b解析此题考查抛物线的定义由抛物线的定义可知，点p到抛物线焦点的距离是4

2、26.4a、b在抛物线y22px(p>0)上，o为坐标原点，如果|oa|ob|，且aob的垂心恰好是此抛物线的焦点f，那么直线ab的方程是()axp0 b4x3p0c2x5p0 d2x3p0答案c解析如下图：f为垂心，f为焦点，oaob，of垂直平分ab.ab为垂直于x轴的直线设a为(2pt2,2pt)(t>0)，b为(2pt2，2pt)，f为垂心，obafkob·kaf1，即1，解得t2ab为x2pt2p，选c.5过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于a、b两点o为坐标原点，那么·的值是()a12 b12c3 d3答案d解析设a(，y1)，b(，y2)，那么(

3、，y1)，(，y2)，那么·(，y1)·(，y2)y1y2，又ab过焦点，那么有y1y2p24，·y1y243，应选d.6(·中山市高二期末)假设点p到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，那么点p的轨迹为()a圆 b椭圆c双曲线 d抛物线答案d7在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x2y3距离相等的点的轨迹是()a直线 b抛物线c圆 d双曲线答案a解析点(1,1)在直线x2y3上，轨迹为过点(1,1)且与x2y3垂直的直线8抛物线yx2上的点，到直线4x3y80距离的最小值是()a.b.c.d3答案a解析抛物线yx2上到直线4x3y80的距离最

4、小的点也就是抛物线yx2的与4x3y80平行的切线的切点设切线方程为4x3yb0，联立与yx2组成的方程组，解得切点为(，)最小距离为d.9过抛物线y24x的焦点，作一条直线与抛物线交于a、b两点，它们的横坐标之和等于5，那么这样的直线()a有且仅有一条 b有且仅有两条c有无穷多条 d不存在答案b解析由定义|ab|527，|ab|min4，这样的直线有两条10直线l经过抛物线y22px(p>0)的焦点f，且与抛物线交于p、q两点，由p、q分别向准线引垂线pr、qs，垂足分别为r、s.如果|pf|a，|qf|b，m为rs的中点，那么|mf|的值为()aab b.(ab)cab d.答案d解

5、析根据抛物线的定义，有|pf|pr|，|qf|qs|.rfofrprfp，sfofsqsfq，rfsrfpsfq.rfs为直角三角形，故|mf|为直角三角形斜边上的中线在直角梯形prsq中，|rs|2.故|fm|rs|.二、填空题11点a(2,0)、b(4,0)，动点p在抛物线y24x上运动，那么·取得最小值时的点p的坐标是_答案(0,0)解析设p，那么，·y2y288，当且仅当y0时取等号，此时点p的坐标为(0,0)12点a(4,0)，m是抛物线y26x上的动点，当点m到a距离最小时，m点坐标为_答案(1，±)解析设m，那么|ma|22yyy16(y6)2151

6、5，当且仅当y6，即y1±，x11时，|ma|取最小值，此时m(1，±)13(·全国文，15)抛物线c：y22px(p>0)的准线为l，过m(1,0)且斜率为的直线与l相交于a，与c的一个交点为b，假设am，那么p_.答案2解析此题考查了抛物线与直线的位置关系由斜率为，m60°，又，m为中点bpbm，m为焦点，即1，p2.14抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线上一点(3，m)到焦点的距离为5，那么抛物线的方程为_答案x22y，x22y，x218y，x218y分析应分焦点在y轴正半轴，负半轴两种情况考虑，利用抛物线的定义，结合待定系数法求抛物

7、线方程解析解法一：假设焦点在y轴的正半轴上，那么可设方程为x22py(p>0)准线方程为y，所以m5. 又因为92pm，所以m，所以5.得p1或p9.所以抛物线方程为x22y，或x218y.假设焦点在y轴负半轴上，那么方程为x22py(p>0)，准线方程为y，所以m5，所以5，得p1或p9，所以抛物线的方程为x22y，或x218y.解法二：设抛物线的方程为x22ay(a0)，那么p|a|，准线方程为y.依题意有解此方程组可得四组解：所以所求抛物线方程为：x22y，x22y，x218y，x218y.点评注意焦点在x轴或y轴上的抛物线方程可统一设成y22ax(a0)或x22ay(a0)

8、的形式，以简化运算此题没要求求m的值，故解方程组可只求a即可，这样，解法二就更加简捷三、解答题15点a在平行于y轴的直线l上，且l与x轴的交点为(4,0)动点p满足平行于x轴，且，求p点的轨迹解析设动点p的坐标为(x，y)，那么由有a的坐标为(4，y)，所以(4，y)，(x，y)因为，所以·0，因此4xy20，即p的轨迹方程为4xy20.轨迹是抛物线16(·湖北文，20)一条曲线c在y轴右边，c上每一点到点f(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线c的方程；(2)是否存在正数m，对于过点m(m,0)且与曲线c有两个交点a，b的任一直线，都有·<

9、;0？假设存在，求出m的取值范围；假设不存在，请说明理由分析本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等根底知识，同时考查推理运算的能力解析(1)设p(x，y)是曲线c上任意一点，那么点p(x，y)满足：x1(x>0)化简得y24x(x>0)(2)设过点m(m,0)(m>0)的直线l与曲线c的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)设l的方程为xtym，由得y24ty4m0，此时16(t2m)>0.于是又(x11，y1)，(x21，y2)·<0(x11)(x21)y1y2x1·x2(x1x2)1y1y2<0又x，于是不等式等价于&

10、#183;y1y2()1<0y1y2(y1y2)22y1y21<0由式，不等式等价于m26m1<4t2对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m1<0，即32<m<32由此可知，存在正数m，对于过点m(m,0)且与曲线c有两个交点a，b的任意一直线，都有·<0，且m的取值范围是(32，32)17求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切证明如图，作aal于a，bbl于b，m为ab的中心，作mml于m，那么由抛物线定义可知|aa|af|，|bb|bf|，在直角梯形bbaa中，|mm|(|aa|bb|)(|a

11、f|bf|)|ab|，即|mm|等于以|ab|为直径的圆的半径故以|ab|为直径的圆与抛物线的准线相切18过抛物线y22px(p>0)的焦点的直线交抛物线于a、b两点，且|ab|p，求ab所在的直线方程解析解法1：焦点f(，0)，设a(x1，y1)、b(x2，y2)，假设abox，那么|ab|2p<p所以直线ab的斜率存在，设为k，那么直线ab的方程为yk(x)，k0.由消去x，整理得ky22pykp20.由韦达定理得，y1y2，y1y2p2.|ab|·2p(1)p.解得k±2.ab所在直线方程为y2(x)或y2(x)解法2：如下图，抛物线y22px(p>0)的准线为x，a(x1，y1)，