（整理版）第7讲　立体几何中的向量方法(Ⅰ)证明平行与垂直

1、第7讲立体几何中的向量方法()证明平行与垂直分层a级根底达标演练(时间：30分钟总分值：55分)一、选择题(每题5分，共20分)1假设直线l1，l2的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，那么()al1l2 bl1l2cl1与l2相交但不垂直 d以上均不正确答案b2假设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是 ()aa(1,0,0)，n(2,0,0)ba(1,3,5)，n(1,0,1)ca(0,2,1)，n(1,0，1)da(1，1,3)，n(0,3,1)解析假设l，那么a·na·n2，b中a·n156，c中a·n1，只有d选项中a

2、·n330.答案d3平面经过三点a(1,0,1)，b(1,1,2)，c(2，1,0)，那么以下向量中与平面的法向量不垂直的是()a. b(6，2，2)c(4,2,2) d(1,1,4)解析设平面的法向量为n，那么n，n，n，所有与(或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，应选d.答案d4(·全国卷)正四棱柱abcda1b1c1d1中，ab2，cc12，e为cc1的中点，那么直线ac1与平面bed的距离为()a2 b. c. d1解析连接ac，交bd于点o，连接eo，过点o作ohac1于点h，因为ab2，所以ac2，又cc12，所以ohsin 45°1.答

3、案d二、填空题(每题5分，共10分)5假设向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为，那么_.解析由得，83(6)，解得2或.答案2或6在四面体pabc中，pa，pb，pc两两垂直，设papbpca，那么点p到平面abc的距离为_解析根据题意，可建立如下图的空间直角坐标系pxyz，那么p(0,0,0)，a(a，0,0)，b(0，a,0)，c(0,0，a)过点p作ph平面abc，交平面abc于点h，那么ph的长即为点p到平面abc的距离papbpc，h为abc的外心又abc为正三角形，h为abc的重心，可得h点的坐标为.ph a.点p到平面abc的距离为a.答案a三、解答题(共2

4、5分)7(12分)如下图，四棱锥sabcd的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，p为侧棱sd上的点(1)求证：acsd.(2)假设sd平面pac，那么侧棱sc上是否存在一点e，使得be平面pac.假设存在，求seec的值；假设不存在，试说明理由(1)证明连接bd，设ac交bd于o，那么acbd.由题意知so平面abcd.以o为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系如图设底面边长为a，那么高soa，于是s，d，b，c，那么·0.故ocsd.从而acsd.(2)解棱sc上存在一点e使be平面pac.理由如下：由条件知是平面pac的一个法向量，且，.设t，那么t

5、，而·0t.即当seec21时，.而be不在平面pac内，故be平面pac.8(13分)如下图，正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab，af1，m是线段ef的中点求证：(1)am平面bde；(2)am平面bdf.证明(1)建立如下图的空间直角坐标系，设acbdn，连接ne.那么n，e(0,0,1)，a(，0)，m.且ne与am不共线neam.又ne平面bde，am平面bde，am平面bde.(2)由(1)知，d(，0,0)，f(，1)，(0，1)·0，amdf.同理ambf.又dfbff，am平面bdf.分层b级创新能力提升1(1,5，2)，(3,1，z)，假

6、设，(x1，y，3)，且bp平面abc，那么实数x，y，z分别为()a.，4 b.，4c.，2,4 d4，15解析，·0，即352z0，得z4，又bp平面abc，bpab，bpbc，(3,1,4)，那么解得答案b2正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，点m在ac1上且，n为b1b的中点，那么|为()a.a b.a c.a d.a解析以d为原点建立如下图的空间直角坐标系d­xyz，那么a(a,0,0)，c1(0，a，a)，n.设m(x，y，z)，点m在ac1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.得m，| a.答案a3如图，正方体abcda1b1c1d1的棱

7、长为1，e、f分别是棱bc、dd1上的点，如果b1e平面abf，那么ce与df的和的值为_解析以d1a1、d1c1、d1d分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设cex，dfy，那么易知e(x,1,1)，b1(1,1,0)，(x1,0,1)，又f(0,0,1y)，b(1,1,1)，(1,1，y)，由于abb1e，故假设b1e平面abf，只需·(1,1，y)·(x1，0,1)0xy1.答案14(·淮南模拟)在正方体abcda1b1c1d1中，p为正方形a1b1c1d1四边上的动点，o为底面正方形abcd的中心，m，n分别为ab，bc的中点，点q为平面abcd内一点，

8、线段d1q与op互相平分，那么满足的实数的有_个解析建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，那么p(x，y,2)，o(1,1,0)，op的中点坐标为，又知d1(0,0,2)，q(x1，y1,0)，而q在mn上，xqyq3，xy1，即点p坐标满足xy1.有2个符合题意的点p，即对应有2个.答案25在四棱锥pabcd中，pd底面abcd，底面abcd为正方形，pddc，e、f分别是ab、pb的中点(1)求证：efcd；(2)在平面pad内求一点g，使gf平面pcb，并证明你的结论(1)证明如图，以da、dc、dp所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ada，那么d(0,0,0)、a(a

9、,0,0)、b(a，a,0)、c(0，a,0)、e、p(0,0，a)、f.，(0，a,0)·0，即efcd.(2)解设g(x,0，z)，那么，假设使gf平面pcb，那么由··(a,0,0)a0，得x；由··(0，a，a)2a0，得z0.g点坐标为，即g点为ad的中点6.(·湖南卷)如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，ab4，bc3，ad5，dababc90°，e是cd的中点(1)证明：cd平面pae；(2)假设直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等，求四棱锥pabcd的体积解如图，以a为坐标原点，ab，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设pah，那么相关各点的坐标为：a(0,0,0)，b(4,0,0)，c(4，3,0)，d(0,5,0)，e(2,4,0)，p(0,0，h)(1)证明易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)因为·8800，·0，所以cdae，cdap.而ap，ae是平面pae内的两条相交直线，所以cd平面pae.(2)由题设和(1)知，·分别是平面pae，平面abcd的法向量而pb与平面