（整理版）第一章导数及其应用

1、第一章 导数及其应用无论哪个省市的考题中可以看出，一定会重视对导数的考察，所以同学一定将导数学细学精！根底知识【理解去记】1极限定义：1假设数列un满足，对任意给定的正数，总存在正数m，当n>m且nn时，恒有|un-a|<成立a为常数，那么称a为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为，另外=a表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为a，称右极限。类似地表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。2极限的四那么运算：如果f(x)=a, g(x)=b，那么f(x)±g(x)=a±b, f(x)g(x)=ab, 3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且f(

2、x)存在，并且f(x)=f(x0)，那么称f(x)在x=x0处连续。4最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间a,b上的连续函数，那么f(x)在a,b上有最大值和最小值。5导数：假设函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x0处取得一个增量x时x充分小，因变量y也随之取得增量y(y=f(x0+x)-f(x0).假设存在，那么称f(x)在x0处可导，此极限值称为f(x)在点x0处的导数或变化率，记作(x0)或或，即。由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条件。假设f(x)在区间i上有定义，且在每一点可导，那么称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x0处导数(x0)等于

3、曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0)处切线的斜率。6【必背】八大常用函数的导数：1=0c为常数；2a为任意常数；3(4);(5);(6);7；87导数的运算法那么：假设u(x),v(x)在x处可导，且u(x)0,那么1；2；3c为常数；4；5。8*【必会】复合函数求导法：设函数y=f(u),u=(x)，(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=(x)处可导，那么复合函数y=f(x)在点x处可导，且f(x)=.9.导数与函数的性质：单调性：1假设f(x)在区间i上可导，那么f(x)在i上连续；2假设对一切x(a,b)有，那么f(x)在(a,b)单调递增；3假设对一切x(a,b)有，那么f(

4、x)在(a,b)单调递减。10极值的必要条件：假设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-,x0+)内可导，1假设当x(x-,x0)时，当x(x0,x0+)时，那么f(x)在x0处取得极小值；2假设当x(x0-，x0)时，当x(x0,x0+)时，那么f(x)在x0处取得极大值。12极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-,x0+)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且。1假设，那么f(x)在x0处取得极小值；2假设，那么f(x)在x0处取得极大值。13【了解】罗尔中值定理：假设函数f(x)在a,b上连续，在

5、(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，那么存在(a,b)，使证明 假设当x(a,b)，f(x)f(a)，那么对任意x(a,b)，.假设当x(a,b)时，f(x)f(a)，因为f(x)在a,b上连续，所以f(x)在a,b上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m，那么c(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证。二、根底例题【必会】1极限的求法。例1 求以下极限：1；2；3；4解1=；2当a>1时，当0<a<1时， 当a=1时，3因为而所以4例2 求以下极限：1(1+x)(1+x2)(1+)(1+)(|x|<1)；2；3。

6、解 1(1+x)(1+x2)(1+)(1+)=2=3=2连续性的讨论。例3 设f(x)在(-,+)内有定义，且恒满足f(x+1)=2f(x)，又当x0,1)时，f(x)=x(1-x)2，试讨论f(x)在x=2处的连续性。解 当x0,1)时，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，那么x=t-1，当x1,2)时，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因为t-10,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而t1,2)时,有f(t)=2(t-1)(2-t)2；同理，当x1,2)时，令x+1=t，那么当t2,3)时，有

7、f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而f(x)=所以 所以 ，所以f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2处连续。3利用导数的几何意义求曲线的切线方程。解 因为点(2,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0,y0)，那么，切线的斜率为，所以切线方程为y-y0=，即。又因为此切线过点2,0，所以，所以x0=1，所以所求的切线方程为y=-(x-2)，即x+y-2=0.4导数的计算。例5 求以下函数的导数：1y=sin(3x+1)；2；3y=ecos2x；4；5y=(1-2x)x(x>0且)。解 13cos(3x+1).(2)3455用导数讨论函数的单调性。例6 设

8、a>0，求函数f(x)=-ln(x+a)(x(0,+)的单调区间。解 ，因为x>0,a>0，所以x2+(2a-4)x+a2>0；x2+(2a-4)x+a+<0.1当a>1时，对所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即(x)>0,f(x)在(0,+)上单调递增；2当a=1时，对x1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即，所以f(x)在0，1内单调递增，在1，+内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+)内递增；3当0<a<1时，令，即x2+(2a-4)x+a2>0，解得x<2-a-或x>

9、;2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)内单调递增，在(2-a+,+)内也单调递增，而当2-a-<x<2-a+时，x2+(2a-4)x+a2<0，即，所以f(x)在(2-a-,2-a+)内单调递减。6利用导数证明不等式。例7 设，求证：sinx+tanx>2x.证明 设f(x)=sinx+tanx-2x，那么=cosx+sec2x-2，当时，因为0<cosx<1，所以=cosx+sec2x-2=cosx+.又f(x)在上连续，所以f(x)在上单调递增，所以当x时，f(x)>f(0)=0，即sinx+tanx>2x.7.利用导数讨论极值。例8

10、设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是极小值。解 因为f(x)在(0,+)上连续，可导，又f(x)在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以当x(0,1)时，所以f(x)在(0,1上递减；当x(1,2)时，所以f(x)在1，2上递增；当x(2,+)时，所以f(x)在2，+上递减。综上可知f(x)在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。例9 设x0,y0,1，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。解 首先，当x0,y0,1时

11、，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,当时，因为cosx>0,tanx>x，所以；当时，因为cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以；又因为g(x)在(0,)上连续，所以g(x)在(0,)上单调递减。又因为0<(1-y)x<x<，所以g(1-y)x>g(x)，即，又因为，所以当x(0,),y(0,1)时，f(x,y)>0.其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0.当y=1时，f(x,y)=-sinx+s

12、inx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx0.综上，当且仅当x=0或y=0或x=且y=1时，f(x,y)取最小值0。三、趋近高考【必懂】这些高考题取自-各个热门省市，同学一定重视，在此根底上，我会对这些高考题作以删减，以便同学在最短时间内理解明白！1.全国卷理 直线y=x+1与曲线相切，那么的值为( ) a.1 b. 2 c答案 b解:设切点，那么,又.故答案 选b 2.安徽卷理函数在r上满足，那么曲线在点处的切线方程是 ( )a. b. c. d. 答案 a解析 由得几何，即，切线方程，即选a3.江西卷文假设存在过点的直线与曲线和都相切，那么等于( ) a或 b或 c或 d或答案 a解析

13、 设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，那么或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.4.辽宁卷理假设满足2x+=5, 满足2x+2(x1)=5, +( )a. b.3 c.答案 c解析 由题意 所以, 即2 令2x172t,代入上式得72t2log2(2t2)22log2(t1) 52t2log2(t1)与式比拟得tx2 于是2x172x25.天津卷理设函数那么( )a在区间内均有零点。 b在区间内均无零点。c在区间内有零点，在区间内无零点。d在区间内无零点，在区间内有零点。 解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，应选择d。存在垂直于轴的切线，那么实数的取值范围是 .解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化