（整理版）第二节导数与积分

1、第二节 导数与积分导数的考题分两个层次. . 2综合性试题导数与不等式、导数与数列常是高考压轴题难度值一般控制在之间. 考试要求 了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义；能求简单的复合函数的导数；能用导数研究单调性,会求函数的单调区间；了解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件,会求极大值、极小值及闭区间上的最值；会利用导数解决某些实际问题；7了解定积分的实际思想、根本思想及概念，了解微积分根本定理.题型一 导数的几何意义、极值理论及单调性质等例题1 给定两个函数解决以下问题：i假设在处取得极小值，求函数的单调区间；假设在区间为增函数，求的取值范围；在的条件下，假设关于的方程有三个不同的根

2、，求的取值范围.点拔:第i小题在处取得极小值，即知，能解决函数所含参数，进而求单调区间.第小题是运用导数研究函数单调性求参数的逆向问题,即求导函数的函数值在区间上恒大于,进而转化为不等式的恒成立求函数最值.第小题可将问题转化为函数的图象与轴有三个不同的交点,通过导数讨论函数的单调性与极值,利用数形结合求解.解:i因为在处取得极小值,所以.故.所以.易知函数单调增区间是;单调递减区间是.由题意可知,因为在区间2，+为增函数,所以在区间上恒成立,即,所以,故.设故.令，得，由知.当时，在上是单调递增，显然不合题意.当时,随的变化情况如下表：1+00+极大值极小值欲使方程有三个不同的根，即函数与轴有

3、三个不同的交点，那么有，解得.综上，的取值范围是.易错点:此题中在不同区间单调时用“和,而不能用“连接.恒成立问题别离变量易错求是.通过导数讨论函数的单调性与极值,并利用数形结合求解,学生难以掌握.变式与延申1： 函数的图象如下图.图1-2-1假设函数在处的切线方程为求函数的解析式；在1条件下，是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有在三个不同的交点？假设存在，求出的取值范围；假设不存在，请说明理由.题型二 导数与不等式例题2 设函数.(1)假设求的单调区间;(2)假设时,求的取值范围.点拔:此题主要考查导数与不等式的相关知识,主要涉及利用导数判断函数的单调性,由(1)可得出的不等式(此不等式

4、较隐蔽,有时甚至需要构造函数以便产生这样的不等式),是本小题的突破口,然后讨论参数的取值对导函数值符号的影响.分类讨论思想在此应用甚为关键.解:(1) 时, 当当故在单调减少,在单调增加.(2) .由(1)知当且仅当,从而当即时, ,而,于是当时, .又由可得,从而当时,故当时, ,而,于是当,综合得的取值范围为.易错点: 第(2)小题利用导数求的最小值,但方程难以求解;对(1)式提供的不等式使用意识较低;需强化分类讨论思想方法在解决含参不等式中的应用.变式与延申2： 函数级的图象在点处的切线方程为.(1)用表示出;(2)假设在上恒成立,求的取值范围;(3)题型三 导数与数列例题3 数列中，是

5、函数的极值点.1当时，求通项；2是否存在，使数列是等比数列？假设存在的取值范围；假设不存在，请说明理由. 点拔:此题导数的使用有如用药的“药引，由极值的讨论唤出了的数列系列问题.由题明确求数列通项的本质是找递推式,而题中的递推式变化较大，应细致讨论.第(2)问中构造函数,利用导数将不等式的恒成立转化为求函数最值. 解:易知,令 故在.(1)当时,那么.由知, .因,那么由知,.因为那么由知, ,又因为那么由知, .由此猜测:当时,.下面用数学归纳法证明:当时,事实上,当时,由前面的讨论知结论成立.假设当时, 成立,那么由知,从而,所以.所以当时,成立.于是由知,当,而因此 (2)存在，使数列是

6、等比数列.事实上,由知,假设对任意的,都有,那么,即数列是首项为,公比为的等比数列,且.而要使,即对一切都成立,只需对一切，那么.令,因此,当时,从而函数在上单调递减,故当,数列单调递减,即数列中最大项为,于是当时,必有,这说明,当时, 数列是等比数列.当时,可得,由知,无极值,不合题意.当,可得数列不是等比数列.当时, 由知,无极值,不合题意.当可得数列不是等比数列.综上,存在，使数列是等比数列,且易错点:多情况的分类讨论;知识和方法较为综合.变式与延申3： 当正整数时,比拟与的大小.此题可将去掉,供思考题型四 导数与积分例题4 函数，其图象记为曲线c.i求函数的单调区间；ii证明：假设对于

7、任意非零实数，曲线c与其在点处的切线交于另一点，曲线c与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线c所围成封闭图形的面积分别记为，那么为定值；对于一般的三次函数点拔:需把握好两点：一是定积分上下限确实定；二是降维思想的应用，寻求上下限变量之间的关系，其他变量全用变量外此题对运算能力要求，计算时需谨慎，力求每步精确.解法一i由得=，当和时，；当时，因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为.ii曲线c与其在点处的切线方程为，即，由，得即，解得或，故，进而有，用替代，重复上述计算过程，可得和，又，所以，因此.ii记函数的图象为曲线的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段

8、与曲线所围成封闭图形的面积分别记为，那么为定值；证明：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似ii计算可得，因此解法二()同解法一ii记函数的图象为曲线的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线c所围成封闭图形的面积分别记为，那么为定值；证明：由得，所以曲线在点处的切线方程方程为，由，得，化简：得到，即，故=，用代替，重复上述过程，可得和所以易错点:此题思维量较小，但由积分公式计算面积，字母计算的整体代换等运算求解能力要求较高，不容易正确；对曲线的对称中心会有理解障碍，影响化归与转化思想应用. 变式与延申4： 通

9、过点，与有一个交点，且,.1求与所围的面积s.2,为何值时，s取得最小值.本节主要考查：1求切线方程，讨论单调性，求极值和最值，导数与不等式问题，利用积分计算图形面积.2构造函数，证明不等式. 函数含参时，不等式有解或恒成立转化为求函数最值或对参数进行分类讨论. 讨论极值点位置时用到根的分布知识.3点评: 导数的思想方法和根本理论能在的许多问题上起到居高临下和化繁为简的作用.备考应注意以下几个方面:(1)；(2)导数作为工具使用:如利用单调性求最值、证明不等式、解决数列、解决不等式恒立或方程解等问题；(3)注意各小题之间的承接与提示作用，以及以为底的指对数与一次多项式之间的不等关系(如例2中)；(4) 积分是大学内容的下放,要求能对公式进行应用,求面积方面问题较多. (5) 注重导数与其他知识的交汇,重点知识重点抓,使常见数学思想方法融会贯穿.习题1-21那么 .2函数()当=2时，求曲线=()在点(1，)处的切线方程；()求()的单调区间.3. 设为三次函数,且图像关于原点对称,当时,的极小值为. (1)求函数的解析式及单调递增区间; (2)记假设在上至少有一个,使得,求实数的取值范围.图1-2