（整理版）第十四讲　导数的概念及其运算

1、第十四讲导数的概念及其运算一、选择题：(本大题共6小题，每题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1以下结论不正确的选项是()a假设y3，那么y0b假设y，那么yc假设y，那么yd假设y3x，那么y3解析：y(x)x，选b.答案：b评析：简单函数的求导，关键是将函数关系式合理地转化为可以直接应用公式的根本函数的模式2奇函数yf(x)在区间(，0上的解析式为f(x)x2x，那么切点横坐标为1的切线方程是()axy10 bxy10c3xy10 d3xy10解析：由题意得，x>0时，x<0，f(x)(x)2(x)x2x.又因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)x2x.又函

2、数f(x)过(1,0)，kf(1)1.所以所求的切线方程为y01×(x1)，即xy10.答案：b3直线ykx1与曲线yx3axb切于点(1,3)，那么b的值为()a3 b3c5 d5解析：点(1,3)在直线ykx1上，k2.2f(1)3×12aa1.f(x)x3xb.点(1,3)在曲线上，b3.应选a.答案：a评析：此题考查导数的几何意义和曲线方程求法的综合应用4(精选考题·江西)假设函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，那么f(1)()a1 b2c2 d0解析：f(x)4ax32bx，f(x)4ax32bxf(x)，f(1)f(1)2.答案：b5(精选考题&

3、#183;全国)假设曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，那么()aa1，b1 ba1，b1ca1，b1 da1，b1解析：求导得y2xa，因此曲线yx2axb在点(0，b)处的切线l的方程是xy10，所以切线l的斜率k1y|x0，且点(0，b)在切线l上，于是有，解得.答案：a6(精选考题·辽宁)点p在曲线y上，为曲线在点p处的切线的倾斜角，那么的取值范围是()a. b.c. d.解析：y.设tex(0，)，那么y，t2，y1,0)，.答案：d二、填空题：(本大题共4小题，每题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7曲线yx22xa与直线y3x1相切时，常数a

4、的值是_解析：y2x2，令y3得x，代入y3x1得y，将代入yx22xa得a.答案：8函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)3x22xf(2)，那么f(5)_.解析：对f(x)3x22xf(2)求导数，得f(x)6x2f(2)令x2，得f(2)12.再令x5，得f(5)6×52f(2)6.答案：69假设曲线f(x)ax3lnx存在垂直于y轴的切线，那么实数a的取值范围是_解析：f(x)3ax2，因为存在垂直于y轴的切线，那么f(x)0在x>0时有解，即3ax20有解，即3a，<0，当3a<0，即a<0时，方程有解，所以a的取值范围为(，0)答案：(，0

5、)10(精选考题·江苏)函数yx2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kn*.假设a116，那么a1a3a5的值是_解析：y2x，过点(ak，a)处的切线方程为ya2ak(xak)，又该切线与x轴的交点为(ak1,0)，所以ak1ak，即数列ak是等比数列，首项a116，其公比q，a34，a51，a1a3a521.答案：21三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11曲线yx3x2在点p0处的切线l1平行于直线4xy10，且点p0在第三象限(1)求p0的坐标；(2)假设直线ll1，且l也过切点

6、p0，求直线l的方程解：(1)由yx3x2，得y3x21，由得3x214，解之得x±1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点p0在第三象限，切点p0的坐标为(1，4)(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点p0，点p0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.12函数f(x)x3x16，(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程分析：首先要判断点是否在曲线上，再根据切线的斜率即导数值列方程

7、解决问题解：(1)f(2)232166，点(2，6)在曲线上f(x)(x3x16)3x21，在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)3×22113.切线的方程为y13(x2)(6)即y13x32.(2)解法一：设切点为(x0，y0)，那么直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为：y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得x8，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113，直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)解法二：设直线l的方程为ykx，切点为(x0，y0)，那么k.又kf(x0)3x1，3x1，解得x0

8、2，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线y3垂直，斜率k4，设切点为(x0，y0)，那么f(x0)3x14，x0±1，或.即切点坐标为(1，14)或(1，18)切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.评析：解题过程中，很容易把所给的点当作曲线上的点，错误原因是没有把点代入方程进行检验13设函数f(x)ax(a，bz)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：函数yf(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围的三角形的面积为定值，并求出此定值解：(1)f(x)a.于是解得或a，bz，f(x)x.(2)证明：函数y1x，y2都是奇函数，函数g(x)x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形而f(x)x(x1)1，可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个，再沿y轴正方向向上平移1个得到的故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形(3)证明：在曲线上任取一点，由f(x