（整理版）等比数列2

1、 等比数列一【课标要求】1通过实例，理解等比数列的概念；2探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；3能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等比数列与指数函数的关系等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等根底知识和根本性质的灵活应用，对根本的运算要求比拟高，解答题大多以数列知识为工具预测高考对本讲的考察为：1题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的12道客观题目；2关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；3解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函

2、数与方程、归纳猜测、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力三【要点精讲】1等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：数列对于数列123都是等比数列，它们的公比依次是2，5，。注意：“从第二项起、“常数、等比数列的公比和项都不为零2等比数列通项公式为：。说明：1由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；2等比数列的通项公式知：假设为等比数列，那么。3等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项两

3、个符号相同的非零实数，都有两个等比中项4等比数列前n项和公式一般地，设等比数列的前n项和是，当时， 或；当q=1时，错位相减法。说明：1和各三个可求第四个；2注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；3应用求和公式时，必要时应讨论的情况。四【典例解析】题型1：等比数列的概念例1“公差为0的等差数列是等比数列；“公比为的等比数列一定是递减数列；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c a1个 b2个 c3个 d4个1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；2中可知an+1=an×，an+1<an未必成立，当首项a1<

4、;0时，an<0，那么an>an，即an+1>an，此时该数列为递增数列；3中，假设a=b=0，cr，此时有，但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，假设将条件改为b=，那么成为不必要也不充分条件。点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。例21：假设数列an的前n项和sn=an+b(a1)，那么数列an是等比数列；2：假设数列an的前n项和sn=an2+bn+c(a0)，那么数列an是等差数列；3：假设数列an的前n项和sn=nan，那么数列an a0个 b1个 c2个 d3个解析：

5、1得，a1=a+b，当n2时，an=snsn1=(a1)·an1。假设an是等比数列，那么=a，即=a，所以只有当b=1且a0时，此数列才是等比数列。2得，a1=a+b+c，当n2时，an=snsn1=2na+ba，假设an是等差数列，那么a2a1=2a，即2ac=2a，所以只有当c=0时，数列an才是等差数列。3得，a1=a1，当n2时，an=snsn1=a1，显然an是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a10；即a1时数列an才又是等比数列。sn与an的关系，它们是an=，正确判断数列ana。题型2：等比数列的判定例3等比数列中，那么其前3项的和的取值范围是(d ) 【

6、解1】：等比数列中 当公比为1时， ； 当公比为时， 从而淘汰应选d；【解2】：等比数列中 当公比时，； 当公比时， 应选d；【考点】：此题重点考察等比数列前项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用；【突破】：特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前项和，以及均值不等式的应用，特别是均值不等式使用的条件；点评：此题主要考查等比数列的概念和根本性质，推理和运算能力。例4浙江文设为数列的前项和，其中是常数 i 求及； ii假设对于任意的，成等比数列，求的值解当， 经验，式成立， 成等比数列，即，整理得：，对任意的成立， 题型3：等比数列的通项公式及应用例5一个等比数列有三项，如果把

7、第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列解析：设所求的等比数列为a，aq，aq2；那么2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或a=，q=5；故所求的等比数列为2，6,18或，。点评：第一种解法利用等比数列的根本量，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁。例6(山东卷文)等比数列的前n项和为， 对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. 1求r的值；11当b=2时，记 求数列的前项和解:因为对任意的

8、,点，均在函数且,当时, 当时,又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以2当b=2时，, 那么 相减,得所以求的基此题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.例71安徽卷文数列 的前n项和，数列的前n项和求数列与的通项公式；设，证明：当且仅当n3时，【思路】由可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出后，进而得到，接下来用作差法来比拟大小，这也是一常用方法【解析】(1)由于当时, 又当时数列项与等比数列,其首项为1,公比为 (2)由(1)知由即即又时成立,即由于恒成立. 因此,当且仅当时, 点评：对于等比数列求和问题要先分清数列的通项公式，对应好首项和

9、公比求出最终结果即可例81设an为等差数列，bn为等比数列，a1b11，a2a4b3，b2b4a3分别求出an及bn的前10项的和s10及t10；2在1与2之间插入n个正数a1，a2，a3，an，使这n2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1，b2，b3，bn，使这n2个数成等差数列.记ana1a2a3an，bnb1b2b3bn.求数列an和bn的通项；当n7时，比拟an与bn的大小，并证明你的结论。3an是由非负整数组成的数列，满足a10，a23，an1anan12an22，n3，4，5，求a3；证明anan22，n3，4，5，；求an的通项公式及其前n项和sn。解析：1an为等差数

10、列，bn为等比数列，a2a42a3，b2b4b32a2a4b3，b2b4a3，b32a3，a3b32得 b32b32b30 b3，a3由a11，a3知an的公差为d，s1010a1由b11，b3知bn的公比为q或q当q时，当q时，。2设公比为q，公差为d，等比数列1，a1，a2，an，2，等差数列1，b1，b2，bn，2。那么a1a11·q a21·q·1·q2 a31·q·1·q2·1·q3又an21·qn12得qn12，anq·q2qnqn1，2，3又bn21n1d2 n1d1b1

11、b11d b2b2b11d12d bn1d1ndnanbn，当n7时证明：当n7时，2358·an bn×7，anbn设当nk时，anbn，那么当nk1时，又ak+1·且akbk ak1·kak1bk1又k8，9，10 ak1bk10，综上所述，anbn成立.3解：由题设得a3a410，且a3、a4均为非负整数，所以a3的可能的值为1，2，5，10假设a31，那么a410，a5，与题设矛盾假设a35，那么a42，a5，与题设矛盾假设a310，那么a41，a560，a6，与题设矛盾.所以a32.用数学归纳法证明：当n3，a3a12，等式成立；假设当nkk3

12、时等式成立，即akak22,由题设ak1akak12·ak22，因为akak220，所以ak1ak12，也就是说，当nk1时，等式ak1ak12成立；根据和，对于所有n3，有an+1=an1+2。解：由a2k1a2k112，a10，及a2ka2k12，a23得a2k12k1，a2k2k1，k1，2，3，即ann1n，n1，2，3，。所以sn点评：本小题主要考查数列与等差数列前n项和等根底知识，以及准确表述，分析和解决问题的能力。题型5：等比数列的性质例91在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21，那么a3a4a5 a33 b72 c84 d1892上海，12在等差数

13、列an中，假设a100，那么有等式a1+a2+an=a1+a2+a19nn19，nn成立.类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，假设b91，那么有等式 成立解析：1答案：c；解：设等比数列an的公比为q(q>0)，由题意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0，求得q=2(q=3舍去)，所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4应选c。2答案：b1b2bnb1b2b17nn17，nn*；解：在等差数列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，所以a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a1

14、9，a2a18，a19nan1a1a2ana19a18an1a1a2a19n，假设a90，同理可得a1a2ana1a2a17n，相应地等比数列bn中，那么可得：b1b2bnb1b2b17nn17，nn*。点评：此题考查了等比数列的相关概念及其有关计算能力。例101设首项为正数的等比数列，它的前n项和为80，前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比q。2在和之间插入n个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积。3设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少

15、项和最大？(lg2=0 3,lg3=0.4)解析：1设等比数列an的前n项和为sn，依题意设：a10，sn=80 ，s2n=6560。 s2n2sn ，q1；从而 =80，且=6560。两式相除得1+qn=82 ，即qn=81。a1=q10 即q1,从而等比数列an为递增数列，故前n项中数值最大的项为第n项。a1qn-1=54,从而(q1)qn-1=qn-qn-1=54。qn-1=8154=27 q=3。a1=q1=2故此数列的首为2，公比为3。2解法1：设插入的n个数为，且公比为q，那么。解法2：设插入的n个数为，。3解法一设公比为q,项数为2m,mn*，依题意有：，化简得，设数列lgan前

16、n项和为sn，那么sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1n·q1+2+(n1)=nlga1+n(n1)·lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg3=()·n2+(2lg2+lg3)·n可见，当n=时，sn最大，而=5,故lgan的前5项和最大，解法二 接前，,于是lgan=lg108()n1=lg108+(n1)lg，数列lgan是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，令lgan0，得2lg2(n4)lg30，n，由于nn*,可见数列lgan的前5项和最大。点评：第一种解法利用等比数列的根本量，先求公比，后求其它量，这是解等差数

17、列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距的两项积相等，这在解题中常用到。题型6：等差、等比综合问题例11公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为。()求数列的首项和公比；()对给定的，设是首项为，公差为的等差数列求数列的前10项之和解析：()依题意可知：，()由()知,，所以数列的首项为,公差，,即数列的前10项之和为155。点评：对于出现等差、等比数列的综合问题，一定要区分开各自的公式，不要混淆。五【思维总结】1等比数列的知识要点可类比等差数列学习1掌握等比数列定义q常数nn，同样是证明一个数列是等比数列的依据，也可由an·an2来判