（整理版）简单的线性规划问题

1、7-3简单的线性规划问题根底稳固强化1.在平面直角坐标系中，假设不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，那么a的值为()a5b1c2 d3答案d解析由题意知a>1，此时不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，记为abc，那么a(1,0)，b(0,1)，c(1,1a)，sabc2，×(1a)×12，解得a3.2(文)(·湖北高考)直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有()a0个b1个c2个d无数个答案b解析直线2xy100与不等式组表示的平面区域的位置关系如下图，故直线与此区域的公共点只有1个，选b.(理)(·安徽文，8)假设

2、x、y满足约束条件那么zxy的最小值是()a3 b0c. d3答案a解析由画出可行域如图：令z0，得l0：xy0，平移l0，当l0过点a(0,3)时满足z最小，此时zmin033.3假设2x4y<4，那么点(x，y)必在()a直线xy20的左下方b直线xy20的右上方c直线x2y20的右上方d直线x2y20的左下方答案d解析2x4y2，由条件2x4y<4知，2<4，x2y<2，即x2y2<0，应选d.4(文)(·山西大同调研)设变量x、y满足约束条件那么z2xy的最大值为()a2b4c6d8答案c解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影局部作出直线2xy

3、0，平移该直线，当平移到经过平面区域内的点(3,0)时，相应的直线在x轴上的截距最大，此时z2xy取得最大值，最大值是6，应选c.(理)(·广东文，5)变量x，y满足约束条件那么zx2y的最小值为()a3b1c5 d6答案c解析此题考查二元一次不等式组表示的平面区域，线性目标函数最值由画出可行域如图令z0画出l0：x2y0，平移l0至其过a点时z最小，由得a(1，2)，zmin12×(2)5.点评画可行域时使用“直线定界，特殊点定域的方法5(文)实数x、y满足条件那么3x5y的最大值为()a12b9c8d3答案a解析由图可知，当z3x5y经过点a(4,0)时，z取最大值，最

4、大值为12，应选a.(理)正数x、y满足那么zx·y的最小值为()a1 b.c. d.答案c解析作出可行域如图，易得2xy的最大值为4，从而z()2x·y2xy的最小值为，选c.6(·福建文，10)假设直线y2x上存在点(x，y)满足约束条件那么实数m的最大值为()a1 b1c. d2答案b解析此题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结合思想解决问题的能力由约束条件作出其可行域，如图由图可知当直线xm过点p时，m取得最大值，由得，p(1,2)，此时m1.点评对于可行域中含有参数的情形，不妨先取特殊值来帮助分析思路xy名，x和y满足约束条件答案10解析在坐标平面内画

5、出题中的不等式组表示的平面区域及直线xy0，平移该直线，因为xn，yn，所以当平移到经过该平面区域内的整点(5,5)时，相应直线在y轴上的截距最大，此时xy取得最大值，xy的最大值是10.8(·苏北四市三调)(x，y)满足约束条件那么的最小值为_答案解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到可视为该区域内的点(x，y)与点(1,0)之间距离，结合图形可知，该距离的最小值等于点(1,0)到直线2yx1的距离，即为.9(·安徽理，11)假设x、y满足约束条件那么xy的取值范围是_答案3,0解析此题考查了线性规划的根底知识及数形结合的思想根据约束条件，画出可行域如图

6、，其中a(0,3)，b(0，)，c(1,1)，令txy作直线l1：xy0，平移l0，当平移到经过点a(0,3)时，tmin3，当平移到经过点c(1,1)时，tmax0，t3,010(·河南洛阳市模拟)设变量x、y满足约束条件其中a>1，假设目标函数zxy的最大值为4，那么a的值为_答案2解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示yxz，欲使z最大，只需使直线yxz的纵截距最大，a>1，直线xay7的斜率大于1，故当直线yxz经过直线y3x与直线xay7的交点(，)时，目标函数z取得最大值，最大值为.由题意得4，解得a2.能力拓展提升11.(文)变量x、y满足约束条件

7、假设目标函数zyax仅在点(5,3)处取得最小值，那么实数a的取值范围为()a(1，) b(，1)c(1，) d(，1)答案a解析点m(5,3)为直线y3与xy2的交点，画出可行域，让直线yaxz绕点m(5,3)旋转，欲使仅在m点z取最小值，应有a>1.(理)实数x，y满足如果目标函数zxy的最小值为1，那么实数m等于()a7b5c4d3答案b解析由选项知m>0，作出可行域如图目标函数zxy对应直线yxz经过可行域内的点a时，z取最大值，从而z取最小值1.由得a(，)，z1，m5.12(文)设实数x、y满足那么u的取值范围是()a，2 b，c，2 d2，答案a解析在坐标平面上点(x

8、，y)所表示的区域如下图，令t，根据几何意义，t的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然koa最小，kob最大，点a(3,1)，点b(1,2)，故t2.(理)实数x、y满足那么x2y2的最大值为()a1 b4c13 d.答案c解析作出可行域如图，x2y2表示可行域内的点到原点距离的平方，显然点b(2,3)使x2y2取最大值13.13毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船欣赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为_元.船型每只船限载人数租金(元/只)大船512小船38答案116解析设租大船x只，小船y只

9、，那么5x3y48，租金z12x8y，作出可行域如图，<，当直线z12x8y经过点(9.6,0)时，z取最小值，但x，yn，当x9，y1时，zmin116.14(·内蒙包头模拟)不等式组表示的平面区域s的面积为4，点p(x，y)s，那么z2xy的最大值为_答案6解析由题意知a2，易得z2xy的最大值为6.15某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一局部是一等品，其余是二等品，甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率p甲，p乙；(2)生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，

10、且该厂有工人32名，可用资金55万元设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，zxp甲yp乙最大，最大值是多少？解析(1)依题意得解得故甲产品为一等品的概率p甲0.65，乙产品为一等品的概率p乙0.4.(2)依题意得x、y应满足的约束条件为且zxy.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影局部)，即可行域作直线bxy0即13x8y0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点m，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值解方程组得x2，y3.故m的坐标为(2,3)，所以z的最大值为zmax16某人有楼房一幢，室内面积共计180m2，拟分隔成两类房间作为

11、旅游客房大房间每间面积18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？解析设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z元，那么x，y满足且z200x150y.约束条件可化简为：可行域为如下图的阴影局部(含边界)作直线l：200x150y0，即直线l：4x3y0把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过点b，且与原点的距离最大，此时z200x150y取得最大值解方程组得到b(，)由

12、于点b的坐标不是整数，而最优解(x，y)中的x，y必须都是整数，所以，可行域内的点b(，)不是最优解，通过检验，当经过的整点是(0,12)和(3,8)时，z取最大值1800元于是，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益点评当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解附近的整点检验，找出符合题意的整数最优解1(·乌鲁木齐二诊)设不等式组表示的平面区域为d，假设指数函数yax的图象上存在区域d上的点，那么a的取值范围是()a(0,1) b(1,2)c2,4 d2，)答案d解析作出可行区域，如图，由题可知点(2，a2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故a

13、24，a2或a2，又a>0且a1，a2.x、y满足不等式组且x2y2的最小值为m，当9m25时，实数k的取值范围是()a(2,5) b2,5c(2,5 d(0,5答案b解析不等式组表示的可行域如图中的阴影局部，x2y2的最小值m即为|oa|2，联立得a(，)由题知9()2()225，解得2k5.3.(·石家庄二检)动点p(x，y)在正六边形的阴影局部(含边界)内运动，如图，正六边形边长为2，假设使目标函数zkxy(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，那么k值为()a. b.c. d4答案a解析由题可知，当x0时，zkxyy，因此要使目标函数zkxy(k>0)取得最

14、大值，那么相应直线经过题中的平面区域内的点时，相应直线在y轴上的截距最大由目标函数zkxy(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kxy0的倾斜角为120°，于是有ktan120°，k，选a.4不等式组所围成的平面区域的面积为()a3 b6c6 d3答案d解析不等式组表示的平面区域为图中rtabc，易求b(4,4)，a(1,1)，c(2,0)sabcsobcsaoc×2×4×2×13.5假设变量x、y满足约束条件那么zx2y的最大值为()a4 b3 c2 d1答案b解析先作出可行域如图作直线x2y0在可行域

15、内平移，当x2yz0在y轴上的截距最小时z值最大当移至a(1，1)时，zmax12×(1)3，应选b.6实数x、y满足不等式组且zx2y22x2y2的最小值为2，那么实数m的取值范围为()a(，0) b(，0c(， d.答案b解析画出可行域如下图，由题知z(x1)2(y1)2，过点(1,1)作直线yx的垂线，垂足为原点o，点(1,1)与点o之间距离的平方恰好为2，说明点o一定在可行域内，那么直线yxm在y轴上的截距m0，应选b.点评此题解题的关键是理解z的最小值为2的含义及观察出(1,1)到原点距离的平方为2，这样最优解为o(0,0)，从而知当yxm经过o点时，取最优解，不经过o点时，向哪移动才能保证点o在可行域内，即可得出问题的答案7(·东北三校联考)o是坐标原点，点a(1，2)，假设点m(x，y)是平面区域上的一个动点，使·()0恒成立，那么实数m的取值范围为_答案(，0)，)解析不等式组表示的平面区域为图中阴影局部，·()·，要使·0恒成立，即·恒成立，令t·x2y，只要tmin即可，由图知在点b(1,1)处，tmin3，3，m<0或m.8(·汕头二检)变量x，y满足约束条件假设目标函数zaxy(