（整理版）线面面面平行的判定与性质

1、9-4线面、面面平行的判定与性质根底稳固强化l是直线，、a假设l，l，那么b假设，l，那么lc假设l，l，那么d假设l，那么l答案c解析如图在正方体abcda1b1c1d1中，取平面add1a1为，平面abcd为，b1c1为l，那么排除a、b；又取平面add1a1为，平面bcc1b1为，b1c1为l，排除d.2(文)m、n是两条直线，、假设n，n，那么；假设平面上有不共线的三点到平面的距离相等，那么；假设n、m为异面直线，n，n，m，m，那么a3个b2个c1个d0个答案b解析垂直于同一直线的两个平面平行，故正确；对于，假设平面上的三点在平面的异侧，那么它们相交，故错；根据线面平行的性质定理和面

2、面平行的判定定理，可知正确(理)一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有以下结论：abefab与cm成60°ef与mn是异面直线mncd其中正确的选项是()a b c d答案d解析此题考查学生的空间想象能力，将其复原成正方体如下图，abef，ef与mn是异面直线，abcm，mncd.只有正确，应选d.3(·北京海淀期中)平面l，m是内不同于l错误的选项是()a假设m，那么ml b假设ml，那么mc假设m，那么ml d假设ml，那么m答案d解析a符合直线与平面平行的性质定理；b符合直线与平面平行的判定定理；c符合直线与平面垂直的性质；对于d，只有时，才能成立4(文)(&#

3、183;安徽省合肥市高三教学质量检测)设a、b是两条不同的直线，、a假设a，b，那么abb假设a，ba，b，那么c假设a，b，那么abd假设a，a，那么答案d解析对于选项d，可能会出现或与相交应选项d错误点评对于a，过b作平面b1，那么b，bb1，a，ab1，ab；对于b，a，ba，b，b，；对于c，a，a，又b，ab.(理)对于平面和共面的直线m、na假设m，n与所成的角相等，那么mnb假设m，n，那么mnc假设m，mn，那么nd假设m，n，那么mn答案d解析正三棱锥pabc的侧棱pa、pb与底面成角相等，但pa与pb相交应排除a；假设m，n，那么m与n平行或相交，应排除b；假设m，mn，那

4、么n或n，应排除c.m、n共面，设经过m、n的平面为，m，m，n，nm，故d正确5(·河南省郑州市模拟)设、是两个不同的平面，a、ba假设a，b，那么abb假设a，b，ab，那么c假设a，b，ab，那么d假设a、b在平面内的射影互相垂直，那么ab答案c解析a，ab，b.又b，.选项c正确；对于a选项可能出现两直线相交或异面的情况；选项b中可能出现两平面相交的情况；三棱锥pabc中，pa、ab、ac两两垂直，且相等，显然pb、pc在平面abc内的射影ab、ac垂直，而bpc60°，故d错.6(·青岛模拟)设两个平面、，直线l，以下三个条件：l；l；a3 b2 c1

5、d0答案c解析； l，此时可能l，l，此时l与还可能平行、斜交，应选c.7正方体abcda1b1c1d1的棱长为1cm，过ac作平行于对角线bd1的截面，那么截面面积为_答案cm2解析如图，截面acebd1，平面bdd1平面aceef，其中f为ac与bd的交点，e为dd1的中点，易求sacecm2.8互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；假设平面平面，那么平面内任意一条直线m平面；假设平面与平面的交线为m，平面内的直线n直线m，那么直线n平面；假设平面内的三点a、b、c到平面的距离相等，那么.答案解析中，互相平行的两条直线的射影可能重合，错误；正确；中，平面与平面不一

6、定垂直，所以直线n就不一定垂直于平面，错误；中，假设平面内的三点a、b、c在一条直线上，那么平面与平面可以相交，错误9(·浙江五校联考)m、n是两条不重合的直线，、假设m，n，m，n，那么；假设，m，n，那么mn；假设m，mn，那么n；假设n，n，m，那么mn.答案解析中，直线m、n中，垂直于同一个平面的两个平面的位置关系可以平行或相交，假设相交，其交线必与第三个平面垂直，m，又n，mn正确；假设mn，m，那么n，又，那么n或n.10(文)(·辽宁文，18)如图，直三棱柱abcabc，bac90°，abac，aa1，点m、n分别为ab和bc的中点(1)证明：mn平

7、面aacc；(2)求三棱锥amnc的体积(锥体体积公式vsh，其中s为底面面积，h为高)分析(1)欲证mn平面aacc，须在平面aacc内找到一条直线与mn平行，由于m、n分别为ab，bc的中点，bc与平面aacc相交，又m为直三棱柱侧面abba的对角线ab的中点，从而m为ab的中点，故mn为abc的中位线，得证(2)欲求三棱锥amnc的体积，注意到直三棱柱的特殊性和点m、n为中点，可考虑哪一个面作为底面有利于问题的解决，视amc为底面，那么samcsabc，vamncvnabc，又vnabcvanbc，易知an为三棱锥anbc的高，于是易得待求体积解析(1)证明：连接ab，ac，由题意知，a

8、bba为平行四边形，所以m为ab中点又因为n为bc的中点，所以mnac.又mn平面aacc，ac平面aacc，因此mn平面aacc.(2)连接bn，由bac90°，abac，三棱柱abcabc为直三棱柱，anbc，平面abc平面bbccbc，所以an平面nbc.又anbc1，故vamncvnamcvnabcvanbc.点评此题考查了线面平行的证明，锥体的体积两方面的问题，对于(1)还可以利用面面平行(平面mpn平面aacc，其中p为ab的中点)来证明；(2)还可利用割补法求解(理)(·浙江文，20)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱abcda1b1c1d1中，adbc，adab，

9、ab，ad2，bc4，aa12，e是dd1的中点，f是平面b1c1e与直线aa1的交点(1)证明：efa1d1；ba1平面b1c1ef；(2)求bc1与平面b1c1ef所成角的正弦值分析(1)欲证efa1d1，b1c1a1d1，只需证efb1c1，故由线面平行的性质定理“线面平行线线平行可推证要证ba1平面b1c1ef，需证ba1b1c1，ba1b1f，要证ba1b1c1，只需证b1c1平面aa1b1b，要证ba1b1f，通过在侧面正方形aa1b1b中计算证明即可(2)设ba1与b1f交于点h，连接c1h，那么bc1h就是所求的角解析(1)证明：c1b1a1d1，c1b1平面add1a1，c1

10、b1平面a1d1da.又平面b1c1ef平面a1d1daef，c1b1ef，a1d1ef.bb1平面a1b1c1d1，bb1b1c1，又b1c1b1a1，b1c1平面abb1a1.b1c1ba1.在矩形abb1a1中，f是aa1的中点，tana1b1ftanaa1b，即a1b1faa1b，ba1b1f.又ba1b1c1，所以ba1平面b1c1ef.(2)设ba1与b1f交点为h，连接c1h.由(1)知ba1平面b1c1ef，所以bc1h是bc1与平面b1c1ef所成的角在矩形aa1b1b中，由ab，aa12，得bh.在rtbhc1中，由bc12，bh得，sinbc1h.所以bc1与平面b1c1

11、ef所成角的正弦值是.点评此题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面角等根底知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力.能力拓展提升11.(·广东省广州市质检)如图，正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别为棱ab、cc1的中点，在平面add1a1内且与平面d1ef平行的直线()a不存在 b有1条c有2条 d有无数条答案d解析由题设知平面add1a1与平面d1ef有公共点d1，由平面的根本性质3知必有过该点的公共直线l，在平面add1a1内与l平行的直线有无数条，且它们都不在平面d1ef内，由线面平行的判定定理知它们都与平面d1ef平行，应选d.12(文)如图，假设是长方体abcd

12、a1b1c1d1被平面efgh截去几何体efghb1c1后得到的几何体，其中e为线段a1b1上异于b1的点，f为线段bb1上异于b1的点，且eha1d1，那么以下结论中不正确的选项是()aehfgb四边形efgh是矩形c是棱柱d是棱台答案d解析eha1d1，ehb1c1b1c1平面efgh，b1c1fg，是棱柱，应选d.a三角形的两条边平行于一个平面，那么第三边也平行于这个平面b平面平面，a，过内的一点b有唯一的一条直线b，使bac，、与、的交线分别为a、b和c、d，那么abcdd一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件答案d解析三角形的任意两边必相交，故三角形所在的平面与这个平面平

13、行，从而第三边也与这个平面平行，a真；假设在内经过b点有两条直线b、c都与a平行，那么bc，与b、c都过b点矛盾，故b真；，a，b，ab，同理cd；又，a，c，al，abcd，故c真；在正三棱锥pabc中，pa、pb与底面abc成等角，但pa与pb相交，故d假13(·南昌二模)假设p是两条异面直线l、m过点p有且仅有一条直线与l、m都平行；过点p有且仅有一条直线与l、m都垂直；过点p有且仅有一条直线与l、m都相交；过点p有且仅有一条直线与l、m都异面答案解析p不存在一条直线与l、m都平行；p有且仅有一条直线与l，m都垂直，这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；p也可能没有一条直线与

14、l、m都相交；p可以作出无数条直线与l、m都异面，这无数条直线在过点p且与l、m都平行的平面上点评第p与l确定的平面m时，或点p与m确定的平面l时，过点p与l、m都相交的直线不存在14以下四个正方体图形中，a、b为正方体的两个顶点，m、n、p分别为其所在棱的中点，能得出ab平面mnp的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号)答案解析如图，mnad，npac，平面mnp平面adbc，ab平面mnp.如图，假设ab平面mnp，设bdmpq，那么nq为平面abd与平面mnp的交线，abnq，n为ad的中点，q为bd的中点，但由m、p分别为棱的中点知，q为bd的分点，矛盾，ab 平面mnp.如图，

15、bd綊ac，四边形abdc为平行四边形，abcd，又m、p为棱的中点，mpcd，abmp，从而可得ab平面mnp.如图，假设ab平面mnp，并设直线ac平面mnpd，那么有abmd，m为bc中点，d为ac中点，这样平面mnd平面ab，显然与题设条件不符，ab 平面mnp.15(文)(·广东揭阳一模)如图，平行四边形abcd中，bc6，正方形adef所在平面与平面abcd垂直，g、h分别是df、be的中点(1)求证：gh平面cde；(2)假设cd2，db4，求四棱锥fabcd的体积解析(1)证法1：efad，adbc，efbc.又efadbc，四边形efbc是平行四边形，h为fc的中点

16、又g是fd的中点，ghcd.gh平面cde，cd平面cde，gh平面cde.证法2：连接ea，adef是正方形，g是ae的中点在eab中，ghab.又abcd，ghcd.hg平面cde，cd平面cde，gh平面cde.(2)平面adef平面abcd，交线为ad，且faad，fa平面abcd.adbc6，faad6.又cd2，db4，cd2db2bc2，bdcd.sabcdcd·bd8，vfabcdsabcd·fa×8×616.(理)如图，在多面体abcdef中，四边形abcd是正方形，ab2ef2，efab，effb，bfc90°，bffc，h

17、为bc的中点(1)求证：fh平面edb；(2)求证：ac平面edb；(3)求四面体bdef的体积解析(1)证明：设ac与bd交于点g，联结eg、gh.那么g为ac中点，h是bc中点，gh綊ab，又ef綊ab，四边形efhg为平行四边形fheg.又eg平面edb，而fh平面edb，fh平面edb.(2)证明：efab，effb.abfb.又四边形abcd为正方形，abbc，又fbbcb，ab平面bfc.fh平面bfc，abfh.又fbfc，h是bc中点，fhbc.又abbcb，fh平面abcd，fhac.又egfh，egac，又acbd，bdegg，ac平面edb.(3)efbf，bffc且ef

18、fcf，bf平面cdef，即bf平面def.bf为四面体bdef的高又bcab2，bffc.四边形cdef为直角梯形，且ef1，cd2.sdef(12)××2×vbdef××.16.(·辽宁大连市、沈阳市联考)如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，四边形abcd为长方形，ad2ab，点e、f分别是线段pd、pc的中点(1)证明：ef平面pab；(2)在线段ad上是否存在一点o，使得bo平面pac，假设存在，请指出点o的位置，并证明bo平面pac；假设不存在，请说明理由解析(1)证明：efcd，cdab，efab，又ef平面pa

19、b，ab平面pab，ef平面pab.(2)在线段ad上存在一点o，使得bo平面pac，此时点o为线段ad的四等分点，且aoad，pa底面abcd，pabo，又长方形abcd中，ad2ab，abodac，abobacdacbac90°，acbo，又paaca，bo平面pac.a假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行b假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行c假设一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线平行d假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行答案c解析此题考查了线面角，面面垂直，线面平行，面面平行等位置关系的判定与性质，对于a选项，两条直线也可相交，b选项假设三点在同一条直线上，平面可相交d选项这两个平面可相交(