（整理版）计数原理

1、计数原理j1根本计数原理5j1·福建卷 满足a，b1，0，1，2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()a14b13c12d105b解析 当a0时，2xb0x，有序数对(0，b)有4个；当a0时，44ab0ab1，有序数对(1，b)有4个，(1，b)有3个，(2，b)有2个，综上共有443213个，应选b.12j1·北京卷 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全局部给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_1296解析 5张参观券分为4堆，有2个连号有4种分法，然后每一种全排列有a种方法，所以不同的分法种

2、数是4a96.14j1、j2·全国卷 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答)14480解析 先排另外四人，方法数是a，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是a，根据乘法原理得不同排法共有aa24×20480种22a1、a2，j1·重庆卷 对正整数n，记in1，2，n，pn.(1)求集合p7中元素的个数；(2)假设pn的子集a中任意两个元素之和不是整数的平方，那么称a为“稀疏集，求n的最大值，使pn能分成两个不相交的稀疏集的并22解：(1)当k4时，mi7中有3个数与i7中的3个数重复，因此p7中元素的个数为7×7346.(2)

3、先证：当n15时，pn不能分成两个不相交的稀疏集的并假设不然，设a，b为不相交的稀疏集，使abpnin.不妨设1a，那么因1322，故3a，即3b.同理6a，10b，又推得15a，但11542，这与a为稀疏集矛盾再证p14符合要求，当k1时，mi14i14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取a11，2，4，6，9，11，13，b13，5，7，8，10，12，14，那么a1，b1为稀疏集，且a1b1i14.当k4时，集mi14中除整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：a2，b2.当k9时，集mi14中除正整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：a3，b3.最后，集cmi14，k

4、i14，且k1，4，9中的数的分母均为无理数，它与p14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令aa1a2a3c，bb1b2b3，那么a和b是不相交的稀疏集，且abp14.综上，所求n的最大值为14.注：对p14的分拆方法不是唯一的j2排列、组合8j2·辽宁卷 执行如下图的程序框图，假设输入n10，那么输出s()图12a. b. c. d.8a解析 由程序框图可以得到s，应选a.14j1、j2·全国卷 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答)14480解析 先排另外四人，方法数是a，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是a，根据乘法原理得不同排法共有

5、aa24×20480种10j2·山东卷 用0，1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()a243 b252 c261 d27910b解析 (排除法)十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：第一步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)，第二步，排十位数字，有9种方法，第三步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有9×9×8 648(个)没有重复数字的三位数可以组成所有三位数的个数：9×10×10900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数是：900648252.8j2·四川卷 从1，3，5，7，9这五个数中，

6、每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lgalgb的不同值的个数是()a9 b10 c18 d208c解析 从1，3，5，7，9中，每次取出两个不同的数作为a，b可以得到不同的差式lg alg b共计a20个，但其中lg 9lg 3lg 3lg 1，lg 3lg 9lg 1lg 3，故不同的值只有18个14k2，j2·新课标全国卷 从n个正整数1，2，3，n中任意取出两个不同的数，假设取出的两数之和等于5的概率为，那么n_148解析 和为5的只有两种情况，14，23，故c28n8.14j2·浙江卷 将a，b，c，d，e，f六个字母排成一排，且a，b均在c的同侧，那么不同

7、的排法共有_种(用数字作答)14480解析 先在6个位置找3个位置，有c种情况，a，b均在c的同侧，有cab，cba，abc，bac，而剩下d，e，f有a种情况，故共有4ca480种13j2·重庆卷 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，那么骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)13590解析 从12名医生中选出5名的选法有c792种，其中只不选骨科医生的选法有c1125种；只不选脑外科医生的选法有c155种；只不选内科医生的选法有c21种；同时不选骨科和脑外科医生的选法有1种，故骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方

8、法种数有792(12555211)590.j3二项式定理9j3·新课标全国卷 设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m113a7b，那么 m()a5 b6 c7 d89b解析 (x2y)2m展开式的二项式系数的最大值是c，即ac；(x2y)2m1展开式的二项式系数的最大值是c，即bc，13a7b，13c7c，137，易得m6.11j3·安徽卷 假设x8的展开式中x4的系数为7，那么实数a_.11.解析 二项式展开式的通项为tr1carx8r，令8r4，可得r3，故ca37，解得a.15b13，j3，m1·福建卷 当xr，|x|<

9、1时，有如下表达式：1xx2xn.两边同时积分得：01dx0xdx0x2dx0xndx0dx，从而得到如下等式：1××××ln 2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：c×c×2c×3c×_15.解析 (1x)nccxcx2cxn，两边同时积分得c01dxc0xdxc0x2dxc0xndx0(1x)ndx，得c×c×2c×3c×n1n11.5j3·江西卷 展开式中的常数项为()a80 b80c40 d405c解析 tr1c(x2)5rc(2)rx105r，当r

10、2时，得常数项为40，应选c.7j3·辽宁卷 使(nn)的展开式中含有常数项的最小的n为()a4 b5c6 d77b解析 由通项tk1c(3x)nkc·3nk·xn，所以在展开式中含有常数项时，nb.7j3·全国卷 (1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是()a56 b84c112 d1687d解析 (1x)8展开式中x2的系数是c，(1y)4的展开式中y2的系数是c，根据多项式乘法法那么可得(1x)8(1y)4展开式中x2y2的系数为cc28×6168.8b1，j3·陕西卷 设函数f(x)那么当x>0时，ff(x)表达式

11、的展开式中常数项为()a20 b20 c15 d158a解析 由表达式可得：ff(x)6，展开式的通项为tr1c6r()rc·(1)r·xr3，令r30，可得r3，所以常数项为t4c20.11j3·四川卷 二项式(xy)5的展开式中，含x2y3的项的系数是_(用数字作答)1110解析 根据二项展开式的性质可得x2y3的系数为c10.10j3·天津卷 x6的二项展开式中的常数项为_1015解析 由二项式的展开式得tk1cx6k(1)kcx6k，令6k0，解之得k4，t5(1)4c15.5j3·新课标全国卷 (1ax)(1x)5的展开式中x2的系数

12、为5，那么a()a4 b3 c2 d15d解析 (1x)(1x)5的展开式中，x2的系数为cac 5，那么a1，应选d.11j3·浙江卷 设二项式5的展开式中常数项为a，那么a_1110解析 tr1cx(1)rx(1)rcx，那么0，r3，故常数项at4(1)3c10.j4单元综合23j4·江苏卷 设数列an：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，(1)k1k，(1)k1k，k个，即当<n(kn*)时，an(1)k1k.记sna1a2an(nn*)对于ln*，定义集合pln|sn是an的整数倍，nn*，且1nl(1)求集合p11中元素的个数；(2)求集合p2 000

13、中元素的个数23解：(1)由数列an的定义得a11，a22，a32，a43，a53，a63，a74，a84，a94，a104，a115，所以s11，s21，s33，s40，s53，s66，s72，s82，s96，s1010，s115，从而s1a1，s40×a4，s5a5，s62a6，s11a11，所以集合p11中元素的个数为5.(2)先证：si(2i1)i(2i1)(in*)事实上，当i1时，si(2i1)s33，i(2i1)3，故原等式成立；假设im时成立，即sm(2m1)m(2m1)，那么im1时，s(m1)(2m3)sm(2m1)(2m1)2(2m2)2m(2m1)4m3(2m

14、25m3)(m1)(2m3)综合可得si(2i1)i(2i1)于是s(i1)(2i1)si(2i1)(2i1)2i(2i1)(2i1)2(2i1)(i1)由上可知si(2i1)是2i1的倍数，而ai(2i1)j2i1(j1，2，2i1)，所以si(2i1)jsi(2i1)j(2i1)是ai(2i1)j(j1，2，2i1)的倍数，又s(i1)(2i1)(i1)(2i1)不是2i2的倍数而a(i1)(2i1)j(2i2)(j1，2，2i2)，所以s(i1)(2i1)js(i1)(2i1)j(2i2)(2i1)(i1)j(2i2)不是a(i1)(2i1)j(j1，2，2i2)的倍数，故当li(2i1

15、)时，集合pl中元素的个数为13(2i1)i2，于是，当li(2i1)j(1j2i1)时，集合pl中元素的个数为i2j.又2 00031×(2×311)47.故集合p2 000中元素的个数为312471 008.1·安徽示范名校联考 如图k371所示，abc是一个边长为3的正三角形，假设在每一边的两个三等分点中，各随机选取依此方法可能连成的三角形一共有8个；这些可能连成的三角形中，恰有2个是锐角三角形；这些可能连成的三角形中，恰有3个是直角三角形；这些可能连成的三角形中，恰有3个是钝角三角形；这些可能连成的三角形中，恰有2个是正三角形1解析 如下图编号，边长为3，

16、那么选取三角形的边长为1，或2三种之一；每边各选1点，三角形共c×c×c8个；锐角三角形只有dhf和ige两个；直角三角形有6个(满足12)；没有钝角三角形；两个正三角形dhf和ige(边长为)应选.2·湖南师大附中月考 的展开式中，系数最大的项为第_项23或5解析 的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，那么第3，5项系数最大3·郑州质检 我国第一艘航母“辽宁舰在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是()a1

17、2 b18c24 d483c解析 分三步：把甲、乙捆绑为一个元素a，有a种方法；a与戊机形成三个“空，把丙、丁两机插入空中有a种方法；考虑a与戊机的排法有a种方法可知共有aaa24种不同的着舰方法4·皖南八校联考 “2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2，那么含有数字0，1，2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为()a18 b24c27 d364a解析 由题意可分情况讨论：含有两个1或两个2的四位数，先排0有3个位置可以选，然后排另外一个不重复的数字有3个位置可以选，剩下的排重复的数字，所以满足要求的数共有2ccc18个5·肇庆期末统考 的展开式中含x的正整数指数幂的项数是()a0 b2c4 d65b解析