【龙门亮剑】2011高三数学一轮理数 第十四章 第一节 导数及其运算(课时提能精练) 全国版

1、(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1设正弦函数ysin x在x0和x附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为 ()Ak1k2 Bk1k2Ck1k2 D不确定【解析】ysin x，y(sin x)cos x，k1cos 01，k2cos 0，k1k2.【答案】A2一质点沿直线运动，如果由始点经过t秒后的位移为st3t22t，那么速度为零的时刻是()A0秒 B1秒末C2秒末 D1秒末和2秒末【解析】st3t22t，s(t)t23t2，令0得，t23t20，t11，t22.【答案】D3已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f(x

2、)的图象大致形状是()【解析】设二次函数为yax2b(a0，b0)，则y2ax，又a0，故选B.【答案】B4曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2 B2e2Ce2 D.【解析】点(2，e2)在曲线上，切线的斜率kyx2e2，切线的方程为ye2e2(x2)即e2xye20.与两坐标轴的交点坐标为(0，e2)，(1,0)，S×1×e2.【答案】D5(2010年临沂模拟)若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A1 B.C. D.【解析】过点P作yx2的平行直线，且与曲线yx2lnx相切，设P(x0，xlnx0)则有

3、ky|xx02x0.2x01，x01或x0(舍去)P(1,1)，d.【答案】B6(2008年辽宁高考)设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为()A.B1,0C0,1 D.【解析】设P(x0，y0)，y2x2，曲线C在P点处的切线斜率为2x02.又切线倾斜角范围是0，斜率范围是0,1，即02x021，1x0.【答案】A二、填空题(每小题6分，共18分)7(2008年江苏高考)设直线yxb是曲线ylnx(x0)的一条切线，则实数b的值为_【解析】y(lnx)，令得x2，切点为(2，ln2)，代入直线方程yxb，ln2×2b，bl

4、n21.【答案】ln218如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)_.【解析】易得切点P(5,3)，f(5)3，k1，即f(5)1.f(5)f(5)312.【答案】29已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)0，f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)ax·g(x)，在有穷数列(n1,2，10)中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率是_【解析】据已知得0，故ax为定义域上的减函数，故0a1，从而由a，故易知数列即an从第五项开始其和大于，故其概率为.【答案】三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10已知函数f(x)

5、x33x及yf(x)上一点P(1，2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和yf(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和yf(x)相切且切点异于P的直线方程【解析】(1)由f(x)x33x得，f(x)3x23，过点P且以P(1，2)为切点的直线的斜率f(1)0，所求直线方程为y2；(2)设过P(1，2)的直线l与yf(x)切于另一点(x0，y0)，则f(x0)3x3.又直线过(x0，y0)，P(1，2)，故其斜率可表示为，又3x3，即x3x023(x1)·(x01)，解得x01(舍)或x0，故所求直线的斜率为k3×(1)，y(2)(x1)，即9x4y10.11设t

6、0，点P(t,0)是函数f(x)x3ax与g(x)bx2c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线试用t表示a，b，c.【解析】因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)0，即t3at0. 因为t0，所以at2.g(t)0，即bt2c0，所以cab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f(t)g(t)而f(x)3x2a，g(x)2bx，所以3t2a2bt.将at2代入上式得bt.因此cabt3.故at2，bt，ct3.12已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax，g(x)3a2ln xb，其中a>0.设两曲线yf(x)，yg(x)

7、有公共点，且在该点处的切线相同(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)g(x)(x>0)【解析】(1)设yf(x)与yg(x)(x>0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，f(x)x2a，g(x)，由题意知f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)即.由x02a，得：x0a，或x03a(舍去)即有ba22a23a2ln aa23a2ln a.令h(t)t23t2ln t(t>0)，则h(t)2t(13ln t)，于是当t(13ln t)>0时，即0<t<e时，h(t)>0；当t(13ln t)<0时，即t>e时，h(t)<0.故h(t)在(0，e)为增函数，在(e，)为减函数于是h(t)在(0，)的最大值为h(e)e.(2)证明：设F(x)f(x)g(x)x22ax3a2ln xb(x>0)，则F(x)x2