【龙门亮剑】2011高三数学一轮课时 第九章 第五节 空间的距离精练 理（全国版）

1、【龙门亮剑】2011高三数学一轮课时 第九章 第五节 空间的距离精练 理（全国版）(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1平面内的MON60°，PO是的斜线，PO3，POMPON45°，那么点P到平面的距离是()A.B.C. D.【解析】cos POMcos POH·cos MOH，cos POH.cos POH.sin POH，PHPO·sin POH3×.【答案】A2在正三棱锥PABC中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为()Aa B.aC.a D.a【解析】作PH平面

2、ABC于H，连结CH并延长，交AB于D，连结PD，由PH·CDPC·PD，求得PHa.【答案】C3在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G(01)，则点G到平面D1EF的距离为()A. B.C. D.【解析】A1B1面D1EF，G到面D1EF的距离为A1到面D1EF的距离在A1D1E中，过A1作A1HD1E交D1E于H，显然A1H面D1EF，则A1H即为所求，在RtA1D1E中，A1H.【答案】D4空间四点A、B、C、D每两点的连线长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与Q的最小距

3、离为()A. B.aC.a D.a【解析】当P、Q为中点时，PQ为AB和CD的公垂线，此时最短，求出得PQa.【答案】B5如图所示，平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A、B，则ABAB等于()A21 B31C32 D43【解析】由已知条件可知BAB，ABA，设AB2a，经计算BBa，ABa，在RtBBA中得ABa，ABAB21.【答案】A6已知平面平面，直线m，直线n，点Am，点Bn，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则()Abca BacbCcab Dcba【解析】如图：，考虑m，n异面时，m和n的距

4、离等于、间距离，点A到n的距离可以如下作出：过A作AO面于O，过O作OCn于C，则AC为A点到直线n的距离，显然，此时cba，故选D.【答案】D二、填空题(每小题6分，共18分)7如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1.若二面角CABC1的大小为60°，则点C到平面ABC1的距离为_【解析】如图所示，在ABC中，AB1，则AB边上的高CD长度为，C1DC60°.CC1，C1D.在CDC1中，COC1D，由图可知CO为面ABC1的垂线，由等面积法可得C1D·COCD·CC1.CO.【答案】8如图所示，在ABC中，ACB90°，AB8，B

5、AC60°，PC平面ABC，PC4，M为AC边上的一个动点，则PM的最小值为_【解析】作CHAB交AB于H，连结PH.PC平面ABC，PHAB，则当点M在H处时，PH最小AC8cos 60°4，CH4sin 60°2，PH2，即PM的最小值2.【答案】29(2008年全国)已知菱形ABCD中，AB2，A120°，沿对角线BD将ABD折起，使二面角ABDC为120°，则点A到BCD所在平面的距离等于_【解析】如图所示，取BD中点E，连接AE、CE.ABD、BCD均为等腰三角形，AEBD，CEBD，BD平面AEC.AEC为二面角ABDC的平面角，A

6、EC120°.在平面AEC内过A作CE的垂线AH，垂足为H，则H在CE的延长线上BD平面AEC.BDAH.又AHCE，AH平面BCD.BAD120°，BAE60°，cosBAE，AE1.又AEH60°，AH.【答案】三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10如图所示，棱长均为a的正三棱柱中，D为AB中点，连结A1D，DC，A1C.(1)求证：BC1面A1DC；(2)求BC1到面A1DC的距离【解析】(1)证明：如图所示，连结AC1交A1C于E，连结DE，则DEBC1，而DE平面A1DC，BC1平面A1DC.(2)BC1平面A1DC，B

7、C1上任一点到平面A1DC的距离等于BC1到平面A1DC的距离求C1到平面A1DC的距离即可平面A1DC过线段AC1中点，A到平面A1DC的距离等于C1到平面A1DC的距离由题意知CDAB，CDAA1，CD面ABB1A1.过A作平面A1DC的垂线，垂足H在A1D上在RtA1AD中，A1A·ADA1D·AH，AHa，即BC1到平面A1DC的距离为a.11如图，已知ABCD是矩形，ABa，ADb，PA平面ABCD，PA2c，Q是PA的中点，连结QB、QD，BD.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离【解析】(1)在矩形ABCD中，作AEBD，E为垂足，连接QE，Q

8、A面ABCD，由三垂线定理，得QEBD，QE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中，ABa，ADb，AE.在RtQAE中，QAPAc，QE.Q到BD的距离为.(2)平面BQD经过PA的中点Q，P到平面BQD的距离等于A到平面BDQ的距离在AQE中，作AHQE，H为垂足BDAE，BDQE，BD面AQE.BDAH，AH面BQE，即AH为A到面BQE的距离在RtAQE中，AQc，AE，AH.P到面BQD的距离为.12(2008年北京高考)如图所示，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90°，APBPAB，PCAC.(1)求证：PCAB；(2)求二面角BAPC的大小；(3)求点C到平面APB

9、的距离 【解析】(1)证明：如图(1)所示，取AB中点D，连结PD，CD.APBP，PDAB.ACBC，CDAB.PDCDD，AB平面PCD.PC平面PCD，PCAB.(2)ACBC，APBP，PCPC，APCBPC.又PCAC，PCBC.又ACB90°，即ACBC，且ACPCC，BC平面PAC. (1)如图(2)所示，取AP中点E，连结BE，CE.(2)ABBP，BEAP.EC是BE在平面PAC内的射影，CEAP.BEC是二面角BAPC的平面角在BCE中，BCE90°，BC2，BEAB，sinBEC.二面角BAPC的大小为arcsin .(3)由(1)知AB平面PCD，平面APB平面PCD.如图(3)所示，过C作CHPD，垂足为H.(3)平面APB平面PCDPD，CH平面APB.CH的长即为点C到平面