定积分应用二重积分三重积分

1、 定积分的应用 平面图形面积 1 1 图形由y = f(x)亠0, , x = a, , x = b及y = 0围成: b A= f (x)dx. . a y y y=f(x) 2 2、图形由 y = f (x), , y = g(x), , x=a 及 x=b 围成： f b A= JJf(x)-g(x)dx, , O a + x 其中：f (x) 一 g(x),x a,b. . 3 3 曲线由参数方程x =x(t),y =y(t)给出时，在出上上所围图形的面积公式为 A 二 2 y(t)x (t)dt tl 4曲边扇形的面积 由曲线=(p(B)及矢径日=,日=0(av0)所围成的曲边扇形的

2、面积公式为 1 - 2 1 ： 2 A r d ch 2 a 2 2 a a 积分的应用 例 1 1 求由y2 =2x, , y = x-4所围成的图形的面积 A. . 解：由丿 厂 2 y = 2x y = x _4 ly =4 4 1 2 1 A 2(y 4-y dy -y 3 -i4 4y- 18 6 / 12 例 2 2 计算由曲线r(1 -cosd) =3和直线rcosj-1所围成图形的面积 / (1 +cos日)=3解之得r =2,日=兀.则 r cosT =1 3 解: 1兀 9 S1 cosr2 1严 CO 1 二 9 12 M - 3 9 . 2 cos 0 (1 亠COST

3、) d6 _nid日 护 1g9讣 2 “口了9讣4上 =9 |3 2 - 3 d 32 tan 勺0 6 4 3 0 (1 0 cos - 2 0 cos4_ 2 0 cos t 2 92 2 - 9 1 3 2 6 sec t(1 - tan t)dt-：3 tan t tan t? -：3 二一 2 0 2 3 3 平面曲线的弧长 光滑(即连续可微分的)曲线 y=y(x)在区间 a，b 上的弧长公式为 曲线由参数方程x=x(t),y =y(t)给出，贝U t在区间a , b上的弧长为 s = Jx2(t)十 y2(t)dt. 曲线由极坐标方程r=r(r)给出，则曲线上弧 AB的长为 (B

4、) 乙 2 2 S 二(A ds 二 J2(旳 r c)d 例 计算曲线r =日2旅Q为的弧长(如图 7 7 5 5 所示) 2 解法 1 1 (对日的积分)dr=26b0得曲_ dr_，弧微分 2、r _ 3 3 2 3 ds =f(dr)2 (rd T24 V2dr S = j T 4 Td 卄1 v2f：=勺(1 护 _1 3 3 16 _.2 解法 2 2 (对 r r 的积分)r 从 0 0 到二，则r由 0 0 变到诂，而ds = ! rdr. .由上可得 2 4 2 I 3 2 3 弧长为 S = 4 1 rdr =8(1 r)204 8(1 )2 -1 0 ； 4 3 4 3

5、16 旋转体的侧面积 1 1 函数y =f(x)在a,b上绕 x x 轴旋转的旋转体的侧面积公式为 S =2二:f(x) 1 - f 2(x)dx. . 2 2 曲线x = (y), y三c, d绕y轴旋转所成曲面的表面积公式 S =2 ； i ,： -(y) 1 ? ! 2(y)dy 例 1 1 计算圆x2 yR2在xlx2上的弧段绕x轴旋转一周所形成的球面的表面积 解对曲线y = R2 _x2 , , x, _X _X2应用公式得 建 - /2 S =2 二 * y 1 y dx =2 二 Rdx =2iR(x2 xj 当x-R,xR时，则得半径为 R球的表面积公式S=4J!R2 如果平面

6、曲线由参数方程 ；x=x(t) 口兰兰0给出，那么由它绕x轴旋转所得旋转体的 y= y(t) 一 一 侧面积公式为 s =2二 _y(tr x2(t) y2(t)dt. . 例 2 2 计算由星形线=Rcos3t绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。 y =Rsi n3t 解由曲线的对称性及公式得 H j - H 12 S =2 2 - I2 Rs in31 (3Rcos21 si nt)2 (3Rs in2 tcost) 2dt =12 二 R2 f si n4tcostdt R2 例 3 3 求抛物线 y y2 =2px(0 _x_x=2px(0 _x_x0) )绕x轴、y轴旋转所成曲面的

7、表面积 解(1 1)绕x轴旋转所成曲面的表面积 X。 I I p 2 - I。 - S 物0 2pxf+(嚴)dx=2叫;p 0 y2x+pdx 2 p 2 =p f(2x - p)3：0 =-(2x0 - p)3 p p 3 3 (2 2)绕y轴旋转所成曲面的表面积 S =2兀臥y)寸 1+1 2(y)dy =4兀 0 J1+( ) dy =2* 2兀 0 斗 x(2x + p)dx 2p p 1 2 2 2 =45 2 - :：r 2. r h 4 例 2 2 求摆线x =a(t -sint),y =a(1 -cost)的一拱，y =0，绕x轴旋转所产生的旋转体的体积。 解 摆线 x =a

8、(tsint),y a(1cost)的一拱，贝 V t 0,2 二 0 F -3cost +弓(1 +cos2t) -cos3 tdt 5 2 3 -a 2 二-5 二 a 2 平面截面积已知的立体体积 立体在a,b中每一点x处的截面积为 旋转体的体积 1 1 立体由y = f (x) _ 0绕x轴旋转一周及x = a , , x = b围成,其体积 b 2 7 二f(x)2dx. . a 2 2、若曲线y= =y(x)在a,b上绕y轴旋转所成的旋转体的体积为 b Vy 二 2 xy(x)dx. . a 例 1 1 求由x2 +(y -h)2 =r2(0 r h)绕x轴旋转一周所成环体的体积

9、解：本旋转体是由曲线yx) =hr2 -x2及y2(x) =h _ r2 _x2在区间 形绕x轴旋转而成的旋转体之差。 即 r - - r - r V =兀 Jr(h+r2 X2)2 (hTr2 _x2)2dx =JiJr4hUr2 _x2dx =4nh 2 fv r 例 1 1 一平面过半径为 R的园柱底中心，并与底面 - 2 p 2 px p =2 -(x ) x2 In 4 2 16 x4x2 4 Y 2 xo 0 =4【(X0 #)J2X0(2X0 p) _p2 In 2XQ 亠 2Xo 亠 p A( x), ,其体积 b V A(x)dx. . a 2 -x2dx 1 3 3 3 a

10、 (1cost) dt = a 成夹角计算平面截圆柱体所得立体的体积 1 2 2 =tana (R -x2), (一RWxER) 2 -j A(x)dx=tan： ；(R 物理学上的应用 1 1 平面的重心：由曲线y二f(x), , y二(x)和直线x二a, , x =b所围成平面，且f (x) _ :(x)，设平 面的密度是均匀的，而该平面的重心坐标为 (匕耳)，则 p jxf(x)險x)dx ， 2 j【f2(x)0(x)dx. b a f (x)瞅x)dx jf(x)Wx)dx 2.2.变力所作的功：设有一变力，其方向平行于x轴，大小为F = f(x) . .则在微小区间x, x +dx

11、上 变力F对质点所作的微小功 ,W的近似值是dW二f(x)dx,则dW就是W的功“元素”。所以 在力F的作用下，将质点从x轴上的 x x 点移至 X X2点所作的功为 W = f f (x)dx 3.3.液体的压力：如果垂直面积是由曲线 y=f(x)与x轴及两直线 x1,x,x2所围成的曲边梯 形，则取距液面为 x，高度为dx，宽为f (x)的矩形横条上所受的压力为压力元素为 dF =xf(x)dx. .于是整个垂直面积所受压力为 F = ：xf(x)dx 例 1 1 求抛物线 ax =yax =y2,ay =x,ay =x2(a (a 0)0)所围成图形面积的重心，面密度为常数 5 4 ?

12、下 2厂 X a 解 由重心横坐标公式得产Ixf(x) -tp(x)dx 才ax _4a0 9a b 3 3 a【f(x)gdx 2-ax 0 20 3 3a 因图形关于y=x对称，故重心必在对称轴上，即 n = t =臾，所以重心为G(9a冬) 20 2020 例 2 2 半径为R米的圆板垂直浸入水中，圆板中心在水面下 h(hR)米处。试求板面所受的 压力. . 解 沿水面作y轴，过圆板中心垂直向下为 x轴，建立坐标系，则圆板的周界方程为 (x -h)2 - y2二R2或y = R2 -(x -h)2。注意到 =1=1 及图形的对称性，则全板上所受的压力为 F =2：x R2 -(x-h)2

13、dx 丄 2 2】(Rsint h)R2 cos2 tdt -二hR2 (吨) 2解: :AgV MAgV M2 2 矶 微分法在几何上的应用 X =(t) 空间曲线y (t)在点M (x0, y0,z0)处的切线方程: z = (t) 在点 M 处的法平面方程：(t)(x x) (t)(y - y)(t)(z zg) =0 曲面 F(x,y,z)=0 上一点 M(x0,y0,z0),则: 1 1、过此点的法向量：n =Fn =Fx(x(x0,y,y,z,z0),F),Fy(X(X0,y,y0,Z,Z0),F),Fz(x(x0,y,y0,Z,Z0) F Fx(X(X0, y, y0,Z,Z0)

14、(x)(xX X0) F) Fy(X(X0,y,y。，Z Z0)(y)(yy y。) F) Fz(x(x, y, y, z, z0)(z)(z z z) = 0) = 0 x x- -x x0 y y- -y y。 z z- -z z0 F Fx(X(X0,y,y,Z,Z0) F) Fy(X(X0,y,y,z,z0) F) Fz(x(x0,y,y,z,z0) ) 二重积分 1 1 二重积分的运算 （1 1）直角坐标下二重积分的运算 b Q(x) jjf(x, y)d& = (dx(x) f(x,y)dy D 若D: 匕(巧2(日) a 0 P .f(x,y)d匚 D (r cos71

15、,rsin - )rdr x_x _ y _ y _ z _z (to) (to) 一 (to) 若空间曲线方程为: 怎:）;则切向量- Fy Gy Gz，Gz Gx，Gx : G z Gz G x Gx G y 2 2、过此点的切平面方程 3 3、过此点的法线方程: 1 1）若D为X -型区域，即 咒（x）兰 y2（） 2 2） 若D为Y -型区域，即 D: 冲心）兰x蚪2（y） y Ed .f(x,y)d二 D f(X, y)dx d cd c yy)yy) 例 1 1 求圆锥z x2 y2在圆柱体x2 y2 x内那一部分的面积 2 2 曲面面积：设曲面 S S 的方程：z二f （x, y

16、）在 xoy 面上的投影区域为 D曲面 S S 的面积公 式 S/ f； fy3d； D 3 3 极坐标下二重积分的计算 例 1 1 求圆锥z x2 y2在圆柱体x2 y2 x内那一部分的面积 解：由题意即求曲面. x2 y2， (x, y) D = (x, y) | x2 y2 x的面积，由面 积计算公式 (b72 2 My b ba a x 二 A 2(b+a) 4 4 平面薄板的转动惯量 ：密度分布为 ;?(x, y)的平面薄板 D D 对坐标轴的转动惯量为 Jx Uy2 (x,y)d；，jy = x2 ：(x,y)d二； D D r(x, y)为点(x, y)到l的距离函数一般转动轴的

17、转动惯量为=S = 1 z： z： dxdy 二 D 2 y :一2 2 dxdy 二 x y 3 3 平面薄板的重心 密度分布为(x, y)的平面薄板 D D 的重心坐标为 MxT(x,y)d I l y：、(x, y)d匚 D D x 、讨 I(x, y)d 11 (x,y)dc D D 例 1 1 设薄片所占的闭区域 D为介于两个圆 r r = = a cose , , r =r = bcosQ (0(0：a a：b)b)之间的闭区域，且面密度均匀，求此均匀薄片的质心( (形心) )。 解由D的对称性可知：y = 0 31 bcos 一 A d ：丁二 dv rdr (b2 a2) 寸

18、4 a xdxd E 6 6 d d - -2 2 ! ! n n-2 2 b cos I .r2 a cos - cos J dr b cos COS _a cos -i (b3 a3) cos4 知 (b_a3) 4! 所以 b b 2 Ji = r (x,y)Ux, y)d；， D 例 1 1 .求密度均匀的圆环 D D 对于垂直于圆环面的中心轴的转动惯量 解：设 D = (x, y) | R；辽 x2 寸乞R；，密度为?，则 -2 . R2 3 m 2 2 ;?o djr3drr(R2 R；). . 例 2 2 求均匀圆盘 D D 对于其直径的转动惯量 解：设圆盘为D =(x, y)

19、| x2 y2 - R2，密度为，对 y y 轴的转动惯量为 2 二 & 3 2 m 2 0 d dS Scos2 知 R2. . 例 3 3 求密度均匀的圆环 D对于垂直于圆环面而过圆环的中心的轴的转动惯量. 环的质量. . 解设圆环D为R1 - x y 士 R2 ,密度为”, ,则 J ： Xix2 y2 d R； -R； R； Ri2 D 2 2 5 5 平面薄片对质点的引力：设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点( (x,y)处的面 密度为(x，y)，假定(x，y)在D上连续，现计算该薄片对位于Z轴上点M。0，1)处的 单位质量质点的引力。 在闭区域 D上任取一个小的闭

20、区域 三重积分 i i 三重积分的计算 (1 1)直角坐标下三重积分的计算法： Z2(x,y)乞 z Z2(x,y) 若门:yi (x)岂y乞目2 (x)，则 a兰x兰bJ = (x2 y2)d二二 D o J = x ： d - ： D d二,(x, y)是亦内的任一点，他的质量近似等于 kP(x, y)db dx,y)d二,于是薄片对质点的引力近似值为 r2 ,引力的方向于向量 (x,y,0 1) 一致, ,其中 r = Jx2 十 y2 十 z2 Fx , ,k为引力常数. .于是 * x,y)xd 二 Fy D r3 x,y)yd 二 D Fz 3 r 一-込吐 D b y2(x) z

21、2(x,y) f(x,y,z)dV = adXyigdygy) f(x,y,z)dz Q (2(2)柱面坐标系下三重积分的计算法： 么亿日)兰zz2(re) 若。叫 口(日)“2(日)，贝V a 0 P P r , 出f (x,y,z)dV =Jd日一 Q - (3(3)球面坐标系下三重积分的计算法： =(化日)兰r (咒日) 若门:：1(力2(旳，则 a 9 P | I if (x,y,x)dV Q F 叮2(T 0(.闩 2 . sind f (rs in co s,rs in si n,r co s)r dr :- rQ A( ,5) 2 2 重心：设V是密度为x，y,z的空间物体，x,

22、y,z在V上连续，因V的质量为 M - ;?(x, y, z)dxdydz， V 对 yz平面的静力矩为 111 x(x, y, z)dxdydz，由重心坐标 V V 的概念有，以x, y,z分别表示V的重心的各个坐标，应有 Mx = x(x, y, z)dxdydz，所以 V .z(x,y,z)dV 川 P(x,y,z)dV Q 例 3 3 求密度均匀的上半椭球体的重心. 2 2 2 n J ：1 Q Q Q I 解设椭球体由式a b c , z0表示 由对称性知x = = y=0=0,由前节的例 5 5 的结果，可得Z2(r，B rdr . f (r co s,rsi n,z)dz zi(

23、r，T . . .x(x,y, z)dV . y(x,y,z)dV . ?(x,y,z)dV Q . ;?(x,y,z)dV Q 对yz平面的转动惯量为 2 III x ? x, y, z dxdydz V 对zx平面的转动惯量为 .1.1.1 y x, y, z dxdydz Jzx = = V 对原点的转动惯量为 屮X2 y2 z2x,y,z dxdydz J O = = V . . 例 1 1 设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量. 解设球体由式/寸z -R表示，密度函数为=y z ,则它对切 平面X = R的转动惯量为 J = k JJJ Jx2 + y2 + z

24、2 (x - R f dxdydz V 2 二 二 R zdv V ：V =V = HIzdxdydz 2 3c 2 abc 3 3 3 转动惯量：质点A对轴1的转动惯量J是质点A的质量m和到转动轴丨的距离r的平方的 2 乘积，即J =mr . .当讨论空间物体 V的转动惯量问题时，利用讨论质量、重心等相由的 方法可得：设空间物体 V的密度函数为x, y,z，它对x轴的转动惯量为 HI iy2 z2 x, y, z dxdydz Jx = = V 2 2 III I：z x 萨 xy, Zdxdydz Jy = V Jz = = iiiix2 y2 川x,y, zdxdydz V 对xy平面的转动惯量为 J xy z2x,y,zdxdydz V J yz k JdT Jd申 J(R-rsincos日 f r3 sin申dr HR6 =9 =9 V 4 4 对质点的引力：求密度为x, y,z的立体对立体外一质量为 1 1 的质点A的引力. 设A的坐标为， , V中点的坐标用 x，y,