实际问题与二元一次方程组应用题归纳

1、实际问题与二元一次方程组题型归纳 知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：（1 1）方程两边表示的是同类量； 同类量的单位要统一；（3 3）方程两边的数值要相 等知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.1.行程问题：（1 1）追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种， 它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析。其等量关系式是：两者的行程差二开始时两者相距 卄墮时同的路程；用土 .二匡. ； u u

2、丄相遇问题：相遇问题也是行程问题中很重要的一种， 它的特点是相向而 行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路 程之和=总路程。（3 3）航行问题：船在静水中的速度+水速=船的顺水速度；2船在静水中的速度-水速=船的逆水速度；3顺水速度逆水速度=2 2 X 水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺 水航行、逆水航行问题类似。2 2 .工程问题：工作效率 X 工作时间= =工作量. .3 3 .商品销售利润问题：利润率嘗忙響血%利润二售价成本（进价）；（2 2）-1；利润二成本（进价）X 利润率;标价=成本（进价）X（1

3、1 +利润率）；（5 5）实际售价=标价 x打折率;注意：“商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就 是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八 十）4 4储蓄问题：（1 1）基本概念1本金：顾客存入银行的钱叫做本金。利息： 银行付给顾客的酬金叫做利息。本息和：本金与利息的和叫做本息和。期数：存入银行的时间叫做期数。利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。利息税：利息的税款叫做利息税。（2 2）基本关系式1利息二本金 X 利率 X 期数2本息和=本金+利息=本金+本金 X利率 X 期数=本金 X （1 1 +利率

4、X 期数）3利息税=利息 X利息税率=本金 X 利率 X 期数 X 利息税率。月利率令利率工丄4税后利息二利息 X （1 1 利息税率）年利率二月利率 X 1212注意：免税利息= =利息5.5. 配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例 = =每一套各部分之间的比例。6.6. 增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量 X （1 1 +增长率）=增长后的量；原量 X（1 1 一减少率）=减少后的量. .7 7 .和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量=较小量+多余量，总量=倍数 X 倍量8 8.数字问题： 解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概

5、念、特征及其表示。如当 为整数时， 奇数可表示为 2n2n+1(+1(或 2n-1)2n-1)， 偶数可表示为 2n2n 等， 有关两位数的基本等量关系式为：两位数= =十位数字; ;10+10+个位数字9 9 浓度问题：溶液质量 x浓度= =溶质质量. .1010 几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式1111 年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永 远不会变的1212 优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。注意：

6、方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为审、找、列、解、答”五步，即：(1) 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；(2) 找：找出能够表示题意两个相等关系；(3) 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；(4) 解：解这个方程组，求出两个未知数的值；(5) 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案要点诠释：(1)(1) 解实

7、际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2)(2) “设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3)(3) 一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. .列方程组解应用题应注意的问题弄清各种题型中基本量之间的关系；审题时，注意从文字，图表中获得有关信息;注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；列方程组解应用题一定要注意检验。分类练习：类型一：列二元一次方程组解决一一行程问题1

8、1 甲、乙两地相距 160160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 1 小时2020 分相遇. .相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 1 小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？【变式 1 1】甲、乙两人相距 3636 千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 2 小时，那么他们在乙出发 2.52.5小时后相遇；如果乙比甲先走 2 2 小时，那么他们在甲出发 3 3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？【变式 2 2】两地相距 280280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 1414 小时，逆流用 2020 小

9、时，求船在静 水中的速度和水流速度类型二：列二元一次方程组解决一一工程问题0 02 2 家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 8 天可以完成，需付两组费用共 35203520 元；若先请甲组单独做 6 6 天，再请乙组单独做 1212 天可完成，需付两组费用共 34803480 元，问： (1)(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)(2)已知甲组单独做需 1212 天完成，乙组单独做需 2424 天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6 6 周完成需工钱 5.25.2 万元；若甲公司单独做 4 4 周后，剩下的

10、由乙公司来做，还需 9 9 周完成，需工钱 4.84.8 万元. .若只选一个公司单独完成， 从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由类型三：列二元一次方程组解决一一商品销售利润问题3 3有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为 5%,5%,乙商品的利润率为 4%,4%,共可获利 4646 元。价格调整后，甲商品的利润率为 4%4%，乙商品的利润率为 5%5%，共可获利 4444 元，则两件商品的进价分 别是多少元？【变式 1 1】（20112011 湖南衡阳）李大叔去年承包了 1010 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利 1800018000元，其中甲种蔬菜每亩获利 200020

11、00 元，乙种蔬菜每亩获利 15001500 元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？【变式 2 2】某商场用 3636 万元购进 A A、B B 两种商品，销售完后共获利 6 6 万元，其进价和售价如下表:A AB B进价（元/ /件）1200120010001000售价（元/ /件）1380138012001200（注：获利= =售价一进价）求该商场购进 A A、B B 两种商品各多少件;类型四：列二元一次方程组解决一一银行储蓄问题0 04 4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了20002000 元钱，一种是年利率为 2.252.25 %的教育储蓄，另一

12、种是年利率为 2.252.25 %的一年定期存款，一年后可取出 2042.752042.75 元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税二利息金额 X20%20%，教育储蓄没有利息所得税）【变式 1 1】李明以两种形式分别储蓄了 20002000 元和 10001000 元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得 利息 43.9243.92 元. .已知两种储蓄年利率的和为 3.24%3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公 民应缴利息所得税= =利息金额 X 20%20% ）【变式 2 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了40004000 元钱. .第

13、一种，一年期整存整取，共反复存了 3 3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%2.25% ;第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75303.75 元（不计 利息税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元?类型五：列二元一次方程组解决一一生产中的配套问题O O5 5.某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每 2 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 3 个或衣袖 5 5 只. .现计划用 132132 米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【变式 1 1】现有 1901

14、90 张铁皮做盒子，每张铁皮做 8 8 个盒身或 2222 个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？【变式 2 2】某工厂有工人 6060 人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓 1414 个或螺母 2020 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。【变式 3 3】一张方桌由 1 1 个桌面、4 4 条桌腿组成，如果 1 1 立方米木料可以做桌面 5050 个，或做桌腿 300300 条。现有 5 5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿

15、, 面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？类型六：列二元一次方程组解决一一增长率问题C C6.6.某工厂去年的利润 （总产值一总支出） 为 200200 万元， 今年总产值比去年增加了 支出比去年减少了 10%10%，今年的利润为 780780 万元，去年的总产值、总支出各是多少万元?【变式 1 1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元?做出的桌20%20%，总【变式 2 2】某城市现有人口 4242 万，估计一年后城镇人口增加 0.8%0.8%，农村人口增加 1.1%1.1%，这样全市人口增加 1%1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。类型七：列二兀一次方程组解决- 和差倍分冋题

16、0 07.7. （20112011 年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共 9 9 千顶，现某地震灾区急需帐篷 1414 千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.61.6 倍、1.51.5倍，恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？【变式 1 1】（20112011 年北京门头沟区中考一模试题）“地球一小时”是世界自然基金会在 20072007 年提出的一项倡议号召个人、社区、企业和政府在每年3 3 月最后一个星期六

17、 2020 时 3030 分一 2121 时 3030 分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活中国 内地去年和今年共有 119119 个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的 3 3 倍少 1313 个, 问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动.【变式 2 2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1 1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？类型八：列二元一次方程组解决一一数字问题仇.两个两位数的和是 6868，在较大的两位数

18、的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数;在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大21782178，求这两个两位数。【变式 1 1】一个两位数，减去它的各位数字之和的 3 3 倍，结果是 2323 ;这个两位数除以它的各位 数字之和，商是 5 5，余数是 1 1，这个两位数是多少?【变式 2 2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5 5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9 9，求这个两位数?【变式 3 3】某三位数，中间数字为 0 0，其余两个数位上数字之和是 9 9，如果百位数字减 1

19、1，个位数字加 1 1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。类型九：列二元一次方程组解决浓度问题9 9.现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是 3 3 : 7 7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是 4 4 : 1 1，今要得到酒精与水的比为 3 3 : 2 2 的酒精溶液 50kg50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？变式 1 1】要配浓度是 45%45%的盐水 1212 千克，现有 10%10%的盐水与 85%85%的盐水，这两种盐水各需多少？变式 2 2】一种 35%35%的新农药，如稀释到 1.75%1.75% 时，治虫最有效。用多少千克浓度为 35%35

20、%的农药加水多少千克，才能配成 1.75%1.75% 的农药 800800 千克？类型十：列二元一次方程组解决一一几何问题1010 .如图，用 8 8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？【变式 1 1】用长 4848 厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉 3 3 厘米，补到较短边上去, 则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？【变式 2 2】一块矩形草坪的长比宽的 2 2 倍多 10m10m，它的周长是 132m132m，则长和宽分别为多少?类型十一：列二元一次方程组解决一一年龄问题C C1111 今年父亲的年龄是儿子的 5 5 倍，6 6

21、年后父亲的年龄是儿子的儿子的年龄各是多少?【变式 1 1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一. .小李发现，1212 年之后, 三分之一. .试求出今年小李的年龄. .1212 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为10001000 元； 经粗加工后销优化方案问题:3 3 倍，求现在父亲和他的年龄变成爷爷的次方程组解决售，每吨利润可达 45004500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至 75007500 元. . 当地一家农工商公司收获这 种蔬菜 140140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工 1616 吨；如果进 行细加工，每天可加工 6 6 吨. . 但两种加工方式不能同时进行 . . 受季节条件的限制，公司必须在 1515 天 之内将这批蔬菜