解三角形知识点总结及典型例题

1、课前复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式1 两角和与差的正弦公式si n(o+ B=sin ocos B+cos osinsi n(B o B=sin ocos Bcos osin2 两角和与差的余弦公式Bcos(c+ B=cos ocos Bsin osincos(B o B =cos ocos+sinosin B3 两角和、差的正切公式邑9tan( o+B=(tan tantan1 tan tan);1 tan tantan(o B)=一.(tan tantantan tan).1 tan tan简单的三角恒等变换二倍角的正弦、余弦和正切公式: sin2 2sincos .1 si n22

2、 2(sincos ) 2sincos2sin cos2 cos2 cos? 2 sin2cos 21 1 2si n 2升幕公式 1cos2 cos 2,1cos2sin 2 22降幕公式 cos 2cos21 . 2 , sin1 cos222 tan22ta n1 tan 2默写上述公式，检查上次的作业课本上的 !精选资料，欢迎下载解三角形知识点总结及典型例题一、知识点复习精选资料，欢迎下载1 正弦定理及其变形二、典型例题题型 1 边角互化例 1 在 ABC 中，若 sin A: sin B : sinC 3:5:7，则角 C 的度数为a b c2R （ R 为三角形外接圆半径）sin

3、A sin B sin C(1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2RsinC ( 边化角公式 )abc(2) si nA ,si nB ,si nC (角化边公式 )2R2R2R（3） a:b: c sin A:sinB:sin Casin A asin A bsin B（4）- ， - ,-b sin B c sin C csin C2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知 a， b 和 A , 求 B 时的解的情况 ：如果 si nA si nB ，则 B 有唯一解；如果si nA si nB 1 ，贝 U B 有两解

4、;如果 sin B 1 , 贝 U B 有唯一解；如果si nB 1 ，则 B 无解 .3、余弦定理及其推论222a b c 2bccosA222b a c 2accosB222cab 2abcosC4、余弦定理适用情况:（ 1）已知两边及夹角；（ 2）已知三边 .5、常用的三角形面积公式cosAb22 c2 a2bc222cosBacb2ac222cosCabc2ab1 亠（1）S ABC 底咼 ；2111（2） S ABCabsinCbcsin A -casinB2226、三角形中常用结论( 两边夹一角 )(1)a b c,b ca, a c b( 即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

5、)；(2)在 ABC 中， A B a bsi nA si ntan C .B(即大边对大角，大角对大边 ).(3) 在厶 ABC中,ABC ，所以 sin(A B) sinC ； cos(A B) cosC； tan(A B)【解析】由正弦定理可得a:b:c 3:5:7.ABCAB.C，, 令 a、b、c依次为 3、5、 7，b 2c2 = 32 52 72 =2ab2 3 52因为 0C ，所以 C精选资料，欢迎下载3若 a、b、 c 是 ABC 的三边， f(x) b 2x22222(b c a )x c , 则函数 f(x) 的图象与 x 轴()A、有两个交点 B、有一个交点C 、没有

6、交点D 、至少有一个交点【解析】由余弦定理得b2 c2 a22bccosA ，所以22222222222f (x) b x 2bccos Agx c=(bx ccos A) c c cos A ，因为 cos A 1, 所以 c c cos A0，因止匕f (x)0 恒成立，所以其图像与x 轴没有交点。题型 2 三角形解的个数例 3在 ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A a7,b 14, A30;B、 b25 , c30, C 150;C b4,c 5,B30 ;D a 6 , b 3 ,B 60。题型 3 面积问题例 4 ABC 的一个内角为120 0，并且三边构成公

7、差为4 的等差数列，则ABC 的面积为【解析】设厶 ABC的三边分别：x4, x,x 4 ,/ C=120°,A 由余弦定理得：(x2 2 22x(x 4)cos120°，解得 : x 10 ,4) (x 4) x? ABC三边分别为 6、10、 14,1.110 15 3SVABC ab si nC 6222题型 4 判断三角形形状例 5在 ABC 中，已知 (a 2b2 )sin (A B) (a 2b2) sin(A B) , 判断该三角形的形状。【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。方法一： a2s in (A B) sin(A B) b2 sin (A

8、 B) sin(A B)2 2 2a cos Asi nB 2b cos B si nA由正弦定理，即知 si n 2AcosAs in B sin2 B cos B si nAsin Asin B(sin A cos A sin B cosB) 0sin2A sin2B由 02A,2B2 ，得 2A2B 或 2A2B,即 ABC 为等腰三角形或直角三角形精选资料，欢迎下载方法二：同上可得2a2cosAsin B 2b 2cosBsin Aa2b2 22由正、余弦定理，即得 :c ab2aa2bc2ac2222222 2a (b c a ) b (a c b )222220即(a b )(c

9、a b )a b 或 c a b ,即 ABC 为等腰三角形或直角三角形【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状;(角化边 )二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系,通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形(边化角 )状。 题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用例 6在 ABC 中， a,b,c 分别为角 A.B,C 的对边，且 si nA si nCpsin B( pR) 且 ac1 b 245(1) 当 p ,b 1时

10、，求 a,c 的值 ;4(2) 若角 B 为锐角，求 p 的取值范围。【解析】 ( 1) 由题设并由正弦定理，得a511 、1c -,ac，解得， a1,c 或 a,c4444(2) 由余弦定理， b2 a2c2 2ac cos B = (a2c) 2ac 2accosB即 p23cosB ，因为 0cosB 1 ，所以 p23，由题设知p( ,2)22所以 62三、课堂练习 :1、满足 A 45 ， c ， a 2 的 ABC 的个数为 m，则 am 为2、已知 a 5,b5 3 ， A 30 ，解三角形。精选资料，欢迎下载3、在4、ABCABC中 ,已知 a 4 cm ,bx cm , A

11、 60 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则 x 的取值范围是 ()BC、 4 x 83D4X史33、中 ,1(a2b2c2),则角 C45、设 R 是 ABC 外接圆的半径，且2R(si n 2A si n 2C)(.2a b) sin B ，试求ABC 面积的最大值。5-，求 AD .6、在 ABC 中， D 为边 BC 上一点， BD 33 ， sin B ， cos ADC1357、在 ABC 中，已知 a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，若a cOsB，试确定ABC 形状。b cosA精选资料，欢迎下载8、在 ABC 中， a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，已知cos

12、A 2cos C2c acosBbsin C(1)求sin A41若 cosB 一 , b2,求 ABC 的面积。四、课后作业c a) 3bc , 且 sin A 2sinBcosC ，贝 V ABC 是1、在 ABC 中，若 ( a b c)(bB、钝角三角形A、等边三角形D等腰直角三角形C直角三角形22、 ABC 中若面积 S=1(a2 b2c )则角 C _43、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔AB，在塔顶 A 处测得山下水平面上一点C 的俯角为，在塔底 B 处测得点 C 的俯角为，若铁塔的高为 h m，则清源山的高度为m。h sin cosBh cos sinsin( )、sin( )Ch sin sinhcos cossin( )sin( )、cos A 2cosB C