（整理版）选修22131函数的单调性与导数

1、选修2-2 1. 函数的单调性与导数一、选择题1设f(x)ax3bx2cxd(a>0)，那么f(x)为r上增函数的充要条件是()ab24ac>0bb>0，c>0cb0，c>0 db23ac<0答案d解析a>0，f(x)为增函数，f(x)3ax22bxc>0恒成立，(2b)24×3a×c4b212ac<0，b23ac<0.2(·广东文，8)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()a(，2) b(0,3)c(1,4) d(2，)答案d解析考查导数的简单应用f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，

2、令f(x)>0，解得x>2，应选d.3函数yf(x)(xr)上任一点(x0，f(x0)处的切线斜率k(x02)(x01)2，那么该函数的单调递减区间为()a1，) b(，2c(，1)和(1,2) d2，)答案b解析令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(，24函数yxf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，yf(x)的图象大致是()答案c解析当0<x<1时xf(x)<0f(x)<0，故yf(x)在(0,1)上为减函数当x>1时xf(x)>0，f(x)>0，故yf(x)在(1，)上

3、为增函数，因此否认a、b、d应选c.5函数yxsinxcosx，x(，)的单调增区间是()a.和b.和c.和d.和答案a解析yxcosx，当<x<时，cosx<0，yxcosx>0，当0<x<时，cosx>0，yxcosx>0.a假设f(x)在(a，b)内是增函数，那么对任何x(a，b)，都有f(x)>0b假设在(a，b)内对任何x都有f(x)>0，那么f(x)在(a，b)上是增函数c假设f(x)在(a，b)内是单调函数，那么f(x)必存在d假设f(x)在(a，b)上都存在，那么f(x)必为单调函数答案b解析假设f(x)在(a，b)内

4、是增函数，那么f(x)0，故a错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f(x)是否存在无必然联系，故c错；f(x)2在(a，b)上的导数为f(x)0存在，但f(x)无单调性，故d错7(·福建理，11)对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x>0时，f(x)>0，g(x)>0，那么x<0时()af(x)>0，g(x)>0 bf(x)>0，g(x)<0cf(x)<0，g(x)>0 df(x)<0，g(x)<0答案b解析f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(

5、反)，x<0时，f(x)>0，g(x)<0.8f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a、b，假设a<b，那么必有()aaf(a)f(b) bbf(b)f(a)caf(b)bf(a) dbf(a)af(b)答案c解析xf(x)f(x)0，且x>0，f(x)0，f(x)，即f(x)在(0，)上是减函数，又0ab，af(b)bf(a)9对于r上可导的任意函数f(x)，假设满足(x1)f(x)0，那么必有()af(0)f(2)<2f(1) bf(0)f(2)2f(1)cf(0)f(2)2f(1) df(0)f(2)>2

6、f(1)答案c解析由(x1)f(x)0得f(x)在1，)上单调递增，在(，1上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)f(2)2f(1)故应选c.10(·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面局部的图形面积为s(t)(s(0)0)，那么导函数ys(t)的图像大致为()答案a解析由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，其中恰露出一个角时变化不连续，应选a.二、填空题11yx3bx2(b2)x3在r上不是单调增函数，那么b的范围为_答案b<1或b>2解析假设yx22bxb20恒成立，那么4b24(b2)0，1b

7、2，由题意b1或b2.12函数f(x)axlnx，假设f(x)1在区间(1，)内恒成立，实数a的取值范围为_答案a1解析由a在区间(1，)内恒成立设g(x)，那么g(x)0(x1)，g(x)在区间(1，)内单调递减，g(x)g(1)，g(1)1，1在区间(1，)内恒成立，a1.13函数yln(x2x2)的单调递减区间为_答案(，1)解析函数yln(x2x2)的定义域为(2，)(，1)，令f(x)x2x2，f(x)2x1<0，得x<，函数yln(x2x2)的单调减区间为(，1)14假设函数yx3ax24在(0,2)内单调递减，那么实数a的取值范围是_答案3，)解析y3x22ax，由题

8、意知3x22ax<0在区间(0,2)内恒成立，即a>x在区间(0,2)上恒成立，a3.三、解答题15设函数f(x)x33ax23bx的图象与直线12xy10相切于点(1，11)(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性解析(1)求导得f(x)3x26ax3b.由于f(x)的图象与直线12xy10相切于点(1，11)，所以f(1)11，f(1)12，即，解得a1，b3.(2)由a1，b3得f(x)3x26ax3b3(x22x3)3(x1)(x3)令f(x)>0，解得x<1或x>3；又令f(x)<0，解得1<x<3.所以当x(，1)时，f(x

9、)是增函数；当x(3，)时，f(x)也是增函数；当x(1,3)时，f(x)是减函数16求证：方程xsinx0只有一个根x0.证明设f(x)xsinx，x(，)，那么f(x)1cosx0，f(x)在(，)上是单调递增函数而当x0时，f(x)0，方程xsinx0有唯一的根x0.17函数yax与y在(0，)上都是减函数，试确定函数yax3bx25的单调区间分析可先由函数yax与y的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定yax3bx25的单调区间解析函数yax与y在(0，)上都是减函数，a0，b0.由yax3bx25得y3ax22bx.令y0，得3ax22bx0，x0.当x时，函数为增函数令y0，即3ax22bx0，x，或x0.在，(0，)上时，函数为减函数18(·新课标全国文，21)设函数f(x)x(ex1)ax2.(1)假设a，求f(x)的单调区间；(2)假设当x0时f(x)0，求a的取值范围解析(1)a时，f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)当x(，1)时，f(x)>0；当x(1,0)时，f(x)<0；当x(0，)时，f(x)>0.故f(x)在(，1，0，)上单调递增，在1,0上单调递减(2)f(x)x(ex1ax)令g(x)ex1ax，那么g(x)e