（整理版）题根研究正方体为多面体之根

1、题根研究 正方体为多面体之根一、正方体高考十年十年来，立体几何的考题一般呈“一小一大的形式. 分数约占全卷总分的八分之一至七分之一. 立几题的难度一般在0.55左右，属中档考题，是广阔考生“上线竞争时势在必夺的“成败线或“生死线.十年的立几高考，考的都是多面体. 其中：1直接考正方体的题目占了三分之一；2间接考正方体的题目也占了三分之一.因此有人说，十年高考，立体几何局部，一直在围绕着正方体出题.【考题1】 正方体与其外接球1996年正方体的全面积为a2，那么其外接球的外表积为ba. b. a2 a2【解析】 外接球的外表积，比起内接正方体的全面积来，自然要大一些，但绝不能是它的c约6倍或d约

2、9倍，否认c，d；也不可能与其近似相等，否认a，正确答案只能是b.【考题2】 正方体中的线面关系1997年如图，在正方体abcd- a1b1c1d1中，e、f分别是bb1、cd的中点1证明add1f；2求ae与d1f所成的角；3证明面aed 面a1fd1；4设aa1=2，求三棱锥f-a1ed1的体积 【说明】 小问题很多，但都不难. 熟悉正方体各棱、各侧面间位置关系的考生，都能迅速作答. 如解答1，只要知道棱ad与后侧面垂直就够了.【考题3】 正方体的侧面展开图右图是正方体的平面展开图在这个正方体中，bm与ed平行；cn与be是异面直线；cn与bm成60°角；dm与bn垂直.a bc

3、 d【解析】 考查空间想象能力. 如果能从展开图右上想到立体图下、为真，答案是c.【考题4】 正方体中的垂直面如图，正方形abcd、abef的边长都是1，而且平面abcd、abef互相垂直. 点m在ac上移动，点n在bf上移动，假设cm=bn=a 1求mn的长；2当a为何值时，mn的长最小；3当mn的长最小时，求面mna与面mnb所成二面角的大小.【解析】【考题5】 正方体中主要线段的关系 在以下四个正方体中，能得出abcd的是【解析】 射影法：作ab在cd所在平面上的射影，由三垂线定理知其正确答案为a.平移法：可迅速排除 (b)，(c)，(d)，应选a.【考题6】 正方体与正八面体 棱长为a

4、的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 a. b. c. d.【解析】 将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱锥的底面积为正方形面积的，再乘得.答案选c.【考题7】 正方体中的异面直线如图，在棱长为2的正方体abcd-a1b1c1d1中，o是底面abcd的中心，e、f分别是cc1、ad的中点，那么异面直线oe和fd1所成的角的余弦值等于a. b. c. d.【解析】【考题8】 正方体中的线线角如图，长方体abcda1b1c1d1中，aa1=ab=2，ad=1，点e、f、g分别是dd1、ab、cc1的中点，那么异面直线a1e与gf所成的角是 a.arccos b. d.

5、【考题9】 正方体中的射影问题如图，e、f 分别为正方体的面add1a1、面bcc1b1的中心，那么四边形bfd1e在该正方体的面上的射影可能是_(要求：把可能的图的序号都填上)【考题10】 正方体中的三角形在正方体上任选3个顶点连三角形，那么所得的三角形是直角非等腰三角青工的概率为a. b. c. d.【解析】 在正方体上任选3个顶点连成三角形可得个三角形，要得直角非等腰三角形，那么每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得，所以选c. 二、全国热炒正方体 的各地数学考卷中，直涉正方体的考题有13个，隐涉正方体的考题还有更多.其中，四川卷“一大一小的立几考题，

6、都是考的正方体. 湖北卷登峰造极，“一小一大的两个立几考题，都是正方体中的难题.其中，第18题的第2问还是个开放题目.【考题1】 四川卷第13题正方体的一“角 在三棱锥oabc中，三条棱oa、ob、oc两两互相垂直，且oa=ob=oc，m是ab边的中点，那么om与平面abc所成角的大小是 用反三角函数表示.【考题2】 四川卷第19题两正方体的“并如图，在长方体abcda1b1c1d1中，e、p分别是bc、a1d1的中点，m、n分别是ae、cd1的中点，ad=aa1=a，ab=2a.1求证：mn面add1a1；2求二面角paed的大小；3求三棱锥pden的体积.【考题3】 湖北卷第18题 如图，

7、在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，p是侧棱cc1上的一点，cp=m.试确定m，使得直线ap与平面bdd1b1所成角的正切值为3；在线段a1c1上是否存在一个定点q，使得对任意的m，d1q在平面apd1上的射影垂直于ap.并证明你的结论.【分析】 熟悉正方体对角面和对角线的考生，对第()问，可心算出结果为m=1/3；对第()问，可猜出这个q点在o1点.可是由于对正方体熟悉不多，因此第小题成了大题，第()小题成了大难题.【考题4】 安徽卷第16题多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点a在平面，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点a相邻的三个顶点到的距离分别为1，

8、2和4，p是正方体的其余四个顶点中的一个，那么p到平面的距离可能是：3； 4； 5； 6； 7以上结论正确的为_.写出所有正确结论的编号三、正四面体与正方体从“正方体高考十年和“全国热炒正方体中，我们看到正方体在立体几何中的特殊地位. 在实践中，正方体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来.我们认定了正方体是多面体的“根基. 我们在思考：1正方体如何演变出正四面体？2正方体如何演变出正八面体？3正方体如何演变出正三棱锥？4正方体如何演变出斜三棱锥？【考题1】 正四面体化作正方体解四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，那么此球的外表积为 a.3 b.4 c.3

9、 d.6【说明】 此题如果就正四面体解正四面体，那么问题就不是一个小题目了，而是有相当计算量的大题. 此时的解法也就沦为拙解.【拙解】 正四面体棱长为底面abc是边长为的正三角形abc的高线bd =·=斜高vd=abc的边心距hd=·=正四面体vabc的高正四面体外接球的半径为高的，即r=·故其外接球的外表积为3. 答案是a.【联想】 、的关系正四面体的棱长为，这个正四面体岂不是由棱长为1的正方体的6条“面对角线围成？为此，在棱长为1的正方体bd1中，1过同一顶点b作3条面对角线ba1、bc1、bd；2将顶点a1，c1，d依次首尾连结.那么三棱锥ba1c1d是棱长

10、为的正四面体.于是正四面体问题可化归为对应的正方体解决.【妙解】 从正方体中变出正四面体以长为面对角线，可得边长为1的正方体abcda1b1c1d1，这个正方体的体对角线长为，那么其外接球的半径为，那么其外接球的外表积为s=4r2=4 ()23以为棱长的正四方体ba1c1d以1为棱长的正方体有共同的外接球，故其外接球的外表积也为s=3.【寻根】 正方体割出三棱锥在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下4个正三棱锥.每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的体积为1/3 .这5个四面体都与正方体“内接而“共球.事实上，正方体的内接四面体即三棱锥共有=58个.至此可以想通，正方体为何成为多面

11、体的题根.四、正方体成为十年大难题按理说，立体几何考题属中档考题，难度值追求在到之间. 所以，十年来立几考题哪怕是解答题也没有出现在压轴题中. 从题序上看，立几大题在6个大题的中间局部，立几小题也安排在小题的中间局部.【】 将正方体一分为二全国卷第18题，天津卷第18题，河南卷第19题等，是当年数学卷的大难题. 其难度，超过了当年的压轴题.图中的点e正是正方体的中心.【考题】如图，在直三棱柱abca1b1c1中，底面是等腰直角三角形，acb=90°.侧棱aa1=2，d、e分别是cc1与a1b的中点，点e在平面abd上的射影是abd的重心g.()求a1b与平面abd所成角的大小(结果用

12、反三角函数值表示)；()求点a1到平面aed的距离.【解析】 连结bg，那么bg是be在面abd的射影，即ebg是a1b与平面abd所成的角.设f为ab中点，连结ef、fc，d、e分别是cc1、a1b的中点，又dc平面abc，cdef为矩形. 连结df，g是adb的重心，gdf. 在直角三角形efd中，ef2=fg·fd=fd2，ef=1，fd=.于是ed=，eg=.fc=ed=，ab=2，a1b=2，eb=.sinebg=·=.a1b与平面abd所成的角是arcsin.连结a1d，有.edab，edef，又efab=f，ed平面a1ab，设a1到平面aed的距离为h，那么

13、saed·h=·ed.又=·ab=，saed=ae·ed=. h=.即a1到平面aed的距离为.此题难在哪里？从正方体内切出的直三棱柱的画法不标准！难点突破：斜二测改图法，把问题转到正方体中.efcd为矩形 ef=1 fd=3fg重心定理 fd=射影定理eg= ed=勾股定理 fc=正方体！fb=eb= sinebg=.难题0318的题图探究正方体立体图常见的画法有两种：1斜二测法图1此法的缺点：a1、b、c 三点“共线导致“三线重合2正等测法图2此法的缺点：a、c、c1、a1“共线导致“五线重合难题的图近乎第二种画法图3：将正方体的对角面置于正前面.五

14、、解正方体正方体既然这么重要，我们就不能把这个“简单的正方体看得太简单. 像数学中其他板块的根底内容一样，越简单的东西，其根底性就越深刻，其内涵和外延的东西就越多.我们既然认定了正方体是多面体的根基，那我们就得趁着正方体很“简单的时候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的关系，都弄个清楚明白！关于正方体 你已经知道了多少？正方体， 个面， 线面距转 面距， 个顶点 棱。 寻找 要根据。顶点连线 条， 异面直线求距离，一顶 线来相交。 确定 是难题。三顶确定三角形， 正方体，是个宝，要求三顶不共 。 各种关系藏得巧。四顶确定四面体， 正四面体 条棱，要求四顶不共 。 选自6面 线；三种线段结数缘

15、， 正八面体 个顶，根1、根2和 。 6面 对得准。 答案：6 8 12 28 7 线 面 点 射影 垂足 6 对角 6 中心关于正方体 还有许多许多！例如，8个顶点中，4顶共面的有 个，4顶异面的 个。正是4顶异面的个数，决定了正方体中三棱锥的个数。六、解正四面体统计十年的高考立几题，除直接考“解正方体的题目比重最大以外，接下来的就是“解正四面体的题目了. 其实，正四面体并不能与正方体平起平坐，正四面体本质上是正方体的“演生体，通俗地说：正四面体是正方体的儿子！如果把正方体弄清楚了，正四面体就随之清楚了.在十年的高考“正四面体中，但凡就“儿子解儿子的解法，都是拙法；但凡由“老子解儿子的方法都

16、是妙法！正四面体棱长设作1，那么对应的正方体棱长为底面正三角形高为 ； 底面正三角形的外半径为 ；正三角形的内半径为 ； 正四面体的斜高为 ；斜高在底面上的射影为 ； 斜面与底面成角余弦值 ；正四面体高为 ； 外接球半径为 ；内切球半径为 .答案： 一句话小结：正四面体与正方体的对应量只相差一个系数：或【考题1】 湘卷理9 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，假设过该球球心的一个截面如图，那么图中三角形(正四面体的截面)的面积是a. b. c. d.【妙解】 找老子解儿子【答案】 c【拙解】 就儿子解儿子如下图：即求三角形pcd的面积.因为cd=2，四面体a-bcd是正三棱锥，那么pd=pc，三角形pcd是等腰三角形. 过p作cd的中线交cd于q，那么球心在pq上. 连bq，aq，那么aq=bq,因为o在pq上，那么pq是线段ab的中垂线.即q是ab的中点. 因为，那么pq=s=×cd×pq=×2×探索 正四面体中心何在正四面体的中心在哪里？ 答：中心在正四面体高线的第1个四等分点上；或者说，正四面体的外半径与内半径之比为31.图1理解记忆 可借助“天秤