随机过程课件第二章学习教案

1、会计学1随机随机(su j)过程课件第二章过程课件第二章第一页，共31页。在第Wi次试验中测量获得的噪声电压Xt是一个样本(yngbn)函数第2页/共31页第二页，共31页。)(1tXw)(2tXw)(3tXw)(tXkw)(tXnw1t2t第3页/共31页第三页，共31页。定义(dngy)2.1设（,F,P）是概率空间，T是给定的参数集，若对每个tT，由一个随机变量(su j bin lin)X(t,e)与之对应，则称随机变量(su j bin lin)族X(t,e),t T是（,F,P）上的随机过程。随机过程X(t,e),t T可以认为是一个(y )二元函数。对固定的t，X(t,e)是（,

2、F,P）上的随机变量；对固定的e， X(t,e)是是随机过程X(t,e),t T的一个(y )样本函数。第4页/共31页第四页，共31页。X(t)通常表示(biosh)为在时刻t所处的状态。X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间。通常我们可以根据随机(su j)变量X(t)在时间和状态上的类型区分随机(su j)过程的类型。在时间和状态(zhungti)上都连续连续型随机过程第5页/共31页第五页，共31页。在时间(shjin)上连续，状态上离散离散(lsn)型随机过程第6页/共31页第六页，共31页。在时间(shjin)上离散，状态上连续连续型随机(su j)序列第7页/共3

3、1页第七页，共31页。在时间(shjin)上离散，状态上离散离散型随机(su j)序列第8页/共31页第八页，共31页。有限(yuxin)个随机变量统计(tngj)规律联合(linh)分布函数随机过程统计规律有限维分布函数族设XT=X(t),tT是随机过程，对任意n1和t1,t2, ,tn T，随机向量(X(t1),X(t2), ,X(tn)的联合分布函数为)(,)(),(1121,1nnnttxtXxtXPxxxFn这些分布函数的全体1,),(2121,1nTtttxxxFFnnttn称为XT=Xt,t T的有限维分布函数。第9页/共31页第九页，共31页。有限维分布函数有限维分布函数(hn

4、sh)的性质的性质对称性对于(duy)t1,t2, ,tn的任意排列,21niiittt),(),(111,21,niiniinttttnttxxFxxxF相容性当m0，其中Y,Z是相互独立的N(0,1)随机变量，求X(t),t0的一、二维概率密度族。第13页/共31页第十三页，共31页。两个随机过程两个随机过程(guchng)之间的关系之间的关系互协方差函数(hnsh)互相(h xing)关函数定义：设X(t),tT，Y(t), tT是两个二阶矩过程，则称TtstmtYsmsXEtsBYXXY,),()()()(),(为X(t),tT与Y(t), tT的互协方差函数，称)()(),(tYsX

5、EtsRXY为X(t),tT与Y(t), tT的互相关函数。第14页/共31页第十四页，共31页。两个(lin )随机过程X(t),tT与Y(t), tT的互不相关定义0),(tsBXY互协方差函数(hnsh)与互相关函数(hnsh)之间的关系)()(),(),(tmsmtsRtsBYXXYXY例题2.8：设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数(hnsh)和相关函数(hnsh)。例题2.7设有两个随机过程X(t)=g1(t+)和Y(t)=g2(t+)，其中g1(t)和g2(t)都是周期为L的周期方波，是在(0,L)上服从均匀分布的随机变量

6、，求互相关函数RXY(t,t+)的表达式。第15页/共31页第十五页，共31页。复随机复随机(su j)过程过程定义：设Xt, tT，Yt, tT是取实数值的两个随机(su j)过程，若对任意tTtttiYXZ其中(qzhng) ，则称Zt, tT为复随机过程。1i复随机过程的数字特征函数复随机过程的数字特征函数均值函数方差函数相关函数协方差函数tttZiEYEXZEtm)()()()(| )(|)(2tmZtmZEtmZEtDZtZtZtZ),(tsZZZEtsR)()(),(tmZsmZEtsBZtZsZ)()(),(),(tmsmtsRtsBZZZZ相互之间的关系第16页/共31页第十六

7、页，共31页。复随机复随机(su j)过程的性质过程的性质复随机过程XT,tT的协方差函数B(s,t)具有性质：（1）对称性（埃米特性(txng)），（2）非负定性，对任意ti T及复数ai，i=1,2, ,n，n1，有),(),(stBtsBnjijijiaattB1,0),(说明：1. 如果函数(hnsh)f(s,t)具有非负定性，那么它必具有埃米特性。2. 若f(s,t)为一非负定函数(hnsh)，则必存在一个二阶矩过程（并可要求它为正态过程）以给定的f(s,t)为协方差函数(hnsh)。第17页/共31页第十七页，共31页。两个复随机(su j)过程Xt，Yt的互相关函数定义为)(),

8、(tsXYYXEtsR互协方差函数(hnsh)定义为)()(),(tmYsmXEtsBYtXsXY例题2.9设随机(su j)过程 ，其中X1,X2, ,Xn是相互独立的，且服从N(0,k2)的随机(su j)变量，w1,w2, ,wn是常数，求Zt,t0的均值函数m(t)和相关函数R(s,t)。0,1teXZnktiktk第18页/共31页第十八页，共31页。随机随机(su j)过程的几种基本类型过程的几种基本类型二阶矩过程正交增量过程独立(dl)增量过程马尔可夫过程正态过程维纳过程平稳过程第19页/共31页第十九页，共31页。二阶矩过程二阶矩过程(guchng)2222( ),( )( )

9、( )( ) 2( )( )( )( ) xXX t tTtTE X tX tm tEX tEX s X tEX sEX t 定义：设已给定随机过程，如果对于一切，均有，则称为二阶矩过程。性质：1二阶矩过程必存在均值（常设为0）。由Schwartz不等式知其相关函数和协方差都存在。三个分支：正态（高斯）过程，宽平稳过程和正交增量过程。第20页/共31页第二十页，共31页。定义：设X(t),tT是零均值(jn zh)的二阶矩过程，若对任意的t1t2t3t4 T，有0)()()()(3412tXtXtXtXE则称X(t)是正交增量(zn lin)过程。例题设X(t),tT是正交增量(zn lin)

10、过程，T=a,b为有限区间，且规定X(a)=0，当astb时，求其协方差函数。正交增量过程正交增量过程第21页/共31页第二十一页，共31页。定义：设X(t),tT是随机过程，若对任意的正整数n和t1t2tn T，随机变量(su j bin lin)X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2), ,X(tn)-X(tn-1)是互相独立的，则称X(t),tT是独立增量过程。特点：独立增量过程在任一个时间间隔上过程状态的改变，不影响(yngxing)任一个与它不相重叠的时间间隔上状态的改变。独立独立(dl)增量过程增量过程第22页/共31页第二十二页，共31页。正交增量(zn lin)过程独立增

11、量(zn lin)过程定义依据：不相重叠的时间(shjin)区间上增量的统计相依性互不相关相互独立正交增量过程独立增量过程正交增量过程独立增量过程二阶矩存在，均值函数恒为零第23页/共31页第二十三页，共31页。定义：设X(t),tT是独立增量过程，若对任意(rny)st，随机变量X(t)-X(s)的分布仅依赖于t-s，则称X(t),tT是平稳独立增量过程。例题(lt)2.10考虑一种设备一直使用到损坏为止，然后换上同类型的设备。假设设备的使用寿命是随机变量，令N(t)为在时间段0,t内更换设备的件数，通常可以认为N(t)，t0是平稳独立增量过程。平稳独立平稳独立(dl)增量过程增量过程第24

12、页/共31页第二十四页，共31页。定义：设X(t),tT是随机过程，若对任意(rny)正整数n及t1t2, 0，且其条件分布)(|)()(,)(|)(111111nnnnnnnnxtXxtXPxtXxtXxtXP则称X(t),tT是马尔可夫过程(guchng)。马尔可夫性系统在已知现在所处状态的条件下，它将来所处的状态与过去(guq)所处的状态无关。马尔可夫过程马尔可夫过程第25页/共31页第二十五页，共31页。定义(dngy)：设X(t),tT是随机过程，若对任意正整数n及t1,t2, ,tnT，(X(t1),X(t2), ,X(tn)是n维正态随机变量，则称X(t),tT是正态过程或高斯过

13、程。特点(tdin)：在通信中应用广泛；正态过程只要知道其均值函数和协方差函数，即可确定其有限维分布。正态过程正态过程(guchng)第26页/共31页第二十六页，共31页。定义：设W(t),-t0则称W(t),-t 为维纳过程(guchng)，也称布朗运动过程(guchng)。定理：设W(t),-t 是参数为2的维纳过程(guchng)，则对任意t(-, )，W(t) N(0,2|t|);对任意-a s,t ,),min()()()()(2atasaWtWaWsWE证明(zhngmng)维纳过程维纳过程维纳过程是正态过程的一种特殊形式第27页/共31页第二十七页，共31页。定义：设X(t),

14、tT是随机(su j)过程，如果对任意常数和正整数n， t1,t2, ,tnT，t1+,t2+, ,tn+ T，(X(t1),X(t2), ,X(tn)与(X(t1+),X(t2+), ,X(tn+)有相同的联合分布，则称X(t),tT为严平稳过程或侠义平稳过程。定义：设X(t),tT是随机过程，如果X(t),tT是二阶矩过程；对任意tT，mX(t)=EX(t)=常数；对任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(s-t)则称X(t),tT为广义平稳(pngwn)过程，简称为平稳(pngwn)过程。平稳平稳(pngwn)过程过程第28页/共31页第二十八页，共31页。广义平稳(pngwn)过程严平稳(pngwn)过