解三角形易错题解析

1、易错题解析 例题1在不等边/ ABC中，a为最大边，如果a2 b2 c2,求A的取值范围。错解：: a2 b2 c2, ； b2 c2 a2 0。则b2 c2 a2. 一 一 一cos A 0,由于 cosA 在(0° , 180° )上为减函数且 cos90 0, .A 902bc又 A 为 ABC的内角，.二 0° vAv 90° 。辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是a为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。正解：由上面的解法，可得 Av 90又 a为最大边，A>60°。因此得 A的取值范围是(60&#

2、176; , 90° )。例题2 在 ABC中,tanA，试判断 ABC的形状。 tan B错解：由正弦定理，得,2sin Atan A2 -" Zsin Btan B,2口 sin Asin A即sin BcosAcosB .", sin A sin B0, sin B1 . sinAcosA sinBcosB,即 sin2A sin2B。2A= 2B,即A= Bo故 ABC是等腰三角形。辨析：由sin2A sin2B ,得2A=2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。正解：同上得sin2Asin2B，.- 2A= 2k 2B或

3、 2A 2k2B(k Z)。2 0 A ,0b , . k 0,则 A B或 A B。2故 ABE等腰三角形或直角三角形。sin A sin B sinC的值。例题 3 在 ABC中，A= 60° , b=1, SAARrL ABC1错斛： A= 60 , b= 1, SAABC33 ,又 S/ABCbcsinA,211 73 - csin60 ,解得 c = 4。2由余弦定理，得 a Vb2 c2 2bccosA Ji16 8 cos60 °43又由正弦定理，得 sinC = , sin B _3=。< 392 1_ 39a b csin A sin B sinC、

4、13 1 4.33622 39 %39辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。正解：由已知可得 c 4, a J13。由正弦定理，得a 132、. 39. a b c2392R 。2R sin A sin 60°3 sin A sin B sin C3例题4 在 ABC中，c J6 贬,C= 30° ,求a+b的最大值。错解：. C= 30° ,A+ B= 150° , B= 150° - Ao由正弦定理，得 二一 b 板. a 2(J6 J2)sinA,sin A sin(150° A) sin30

5、6;b 2( ,62)sin(150° A)又sinA 1, sin(150°A) 1 . . a b 2(76 0 2(46 瓢)4(<6 j5)。故a b的最大值为4(76 囱。sinA辨析：错因是未弄清 A与150° A之间的关系。这里 A与150° A是相互制约的，不是相互独立的两个量, 与sin(150 ° -A)不能同时取最大值1,因此所得的结果也是错误的。正解：. C= 30° ,A+ B= 150° , B= 150° - Ao由正弦定理,得-a-sin Absin(150° A)6

6、2sin30°因此 a b 2( .6,2)sin A sin(150°A)2( ,6 ,5) sin 75 cos(A 75 )4( 6、. 2) , cos(A 75 ) 4(8 4 3)cos(A 75 ) 8 4 3a+b的最大值为8 4氐。例题 5 在 ABC中，已知 a=2, b= 2x2 , C= 15° ,求 A。错解：由余弦定理，得 c2 a2 b2 2abcos15°4 8 2X2X2.2X -6一-2 8 4.34. c <6 姓。a sinC 1又由正弦定理，得 sin A 而0 A 180 ,. A= 30或A 150 。

7、c 2辨析：由题意b a, . B A。因此A= 150。是不可能的。错因是没有认真审题，未利用隐含条件。在解题时, 要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。正解:同上 c 忌 短,sin A 1，b a,/. B A,且 0° A 180°,A 30°。2例题6 在 ABC中，cos A bcos ,判断 ABC的形状。错解：在 ABC中，: a cos A bcosB ,由正弦定理得 2R sin A cos A 2Rsin BcosB. sin2A sin2B, . 2A 2B且2A 2B 180°. . A= B且

8、 A+ B= 90故4 ABC为等腰直角三角形。辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义，导致结论错误。正解：在 ABC中，a cos A bcosB ,由正弦定理，得 2RsinAcosA 2Rsin BcosB, . sin2A sin2B。，2A= 2B或 2A+ 2B= 180 ,，A= B或 A+ B= 90 。故4 ABC为等腰三角形或直角三角形。例题7若a, b, c是三角形的三边长，证明长为 ，&,而，及 的三条线段能构成锐角三角形。错解：不妨设0ab c ,只要考虑最大边的对角。为锐角即可。cos(< a)2 (、b)2 ( . c)2a b

9、c2 . a . b2 - ab由于a, b, c是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有 a b c,即cos 0。长为 五,而,的三条线段能构成锐角三角形。辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：三条边满足三角形边长关系；最长线段的对角是锐角。显 然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。正解：由错解可得 cos 0(,a . b , c)( v a , b 、c)('万'b)2 c2aba 、. b . c .a 、b . c即长为, 匹、兄的三条线段能构成锐角三角形。典型题1、若ABC的内角A满足sin 2A2一,则 sinA cosA3A.15 B3,153解

10、：由sin2A = 2sinAcosA0,可知A这锐角,所以 sinA + cosA0,又(sin A cosA)2 1sin 2A5,故选32、如果AiBiCi的三个内角的余弦值分别等于A2B2c2的三个内角的正弦值,A.ABG和 A2B2c2都是锐角三角形AB1cl 和A2B2c2都是钝角三角形C.AB1G是钝角三角形， A2B2c2是锐角三角形 D . ARG是锐角三角形， A2B2c2是钝角三角形解：A BG的三个内角的余弦值均大于0,则 ABG是锐角三角形，若A2B2c2是锐角三角形，由sin A2cosAsin(2A)sin B2cosB1sin(2Bi),得B2B1，那么,A2民

11、C2,所以 A2B2c2是钝角三角形。故选sinC2cosCisin(-C1)C2C1Do3、VABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a, b, c设向量urP(ac, b),irr(b a,c a),若pq,则角C的大小为(A)一6(B)(C)(D)【解析】ur r p/q(a c)(c a) b(b a)b2ab ,禾1J用余弦定理可得2cosC 1 ,即-1cosC 一 2C 一,故选择答案B。3【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数,同时着重考查了同学们的运算能力。4、已知等腰 ABC的腰为底的2倍，则顶角 A的正切值是（解:. 一 A依题意，结合图形可

12、得tan A215,故 tan A152tanA2d . 2 A1 tan21蜡)1 25、ABC的内角A、日C的对边分别为a、b、c,若 a、b、c成等比数列，且贝U cosB解:A. 14选B.ABC 中,a、b、c成等比数列，且2 a 2a,则 b=”a, cosB 一b26、在 ABCC的对边分别为a、b、c, A=一 , a=< 3 , b=1,贝U c=(A) 1(B)解：由正弦定理得sinB =11 ,又a b,所以A B,故B= 30 ，所以27、设a,b,c分别是 ABC的三个内角 A,B,C所对的边，则a2 b b(A)充要条件(B)充分而不必要条件(C)必要而充分条

13、件(D)既不充分又不必要条件2aca2 4a2 2a2 32-，4a 4C= 90 ，故 c=2,选 Bc是A 2B的解析：设a,b,c分别是 ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a又 sin(A B) sinC, sin(A B) sin B ,， A B B, A 2B ,若 ABC中，A 2B,由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a2 b b c ,所以a2 b b c是A 2B的充要条件，选 A. b则 sin2 A sin B(sin B sin C),则1 cos 2a 1 cos2B .八 sin Bsin C ,8、在 ABC 中，若 sinA:sin B:sin C 5:7

14、:8 ,则 B 的大小是.解：sin A:sin B :sin C 5:7:8 a b c= 5 7 8 设 a=5k, b=7k, c=8k,由余弦定理可解得B 的大小为.39、在 ABO43,已知 a - , b = 4, A= 30 ,则 sinB =.42解：由正弦定理易得结论sinB=YI。210、在 ABC中，已知 BC= 12, A= 60° , B=45° ,则 AC=【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识【正确解答】由正弦定理得，ABC解得AC 4J6sin45o sin60o【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理11、已知 ABC勺三个内角 A R C成等差数列，且 AB= 1, BO 4,则边BC上的中线 AD的长为解析：由 ABC的三个内角A、B、C成等差数列可得 A+C=2B而A+B+C=可得 B 3AD为边BC上的中线可知