模n的剩余类环的子环

1、模n的剩余类环的子环作者：*指导老师：*摘要:模n剩余类环是一种比较透彻的特殊环，模n的剩余类环为有限可换环、整环及域都提供了丰富的例证，剩余类环对 Euler函数关系式、Eis emstein判别法、整数多项式无整数根、Euler定理及Fermat小定理等数论的古典结果给出纯代数的证明.并从代数的角度观察熟知完全及简化剩余系的一些性质.关键字：模n剩余类环的子环幂等元理想1引言环是有两个二元运算建立在群的基础上的一个代数系统，因此它的许多基本概念与理 论是群的相应内容的推广，同时环也有一些特殊的问题，例如因子分解问题等2模n的剩余类环的子环的性质和运用2.1 基本概念定义任取正整数n,令Zn

2、 0,1,2,F1则乙为n个剩余类的集合，对任意i, jZn，规定i j i j，i j ij，则Zn关于这两个运算做成一个环，且是一个具有单位元的交换环，称之为以n为模的剩 余类环，或简称模n剩余类环.定义对任意i Zn,若类：中有一个整数与n互素，则这个类中所有整数均同n互素，因此称类i与n互素.定义称环Zn的一个非空子集A叫做Zn的一个理想子环，假如:(i)a A, bAa b A(ii)a A,bAab,b a A在代数运算中,我们都知道若a0, b0,则必有ab 0 ,相反若ab 0 ,则必有a 0或b 0成立，而在环中是否还存在这样的运算性质呢？我们有：定义模n剩余环 乙中，如果任

3、意元a0,b0,但ab 0 ,那么称a为Zn的一个左零因子,b为Zn的一个右零因子，若Zn的左零因子与右零因子都为a,称a为乙的零因子.定义2.1.5一个环Zn, 中右有兀素e使得a Zn,有eaaea,那么称元素e叫做环Zn，,的单位元，记作1.定义2.1.6在环Z n ,中，如果aZ n ,满足:任意b乙,有abba1,则称a是Zn中的逆元，且a与b互逆.定义2.1.7设R为任意-个环，而1是R的理想.那么R/I称作R关于理想的剩余类环（也叫商环或差环）,其中R/1中，每个元素叫作模I的剩余类.定义模n剩余环Zn的乘法群G（当n为素数，Zn中的所有非零元作成乘法群 当n为合数，Zn中的所有

4、可逆元作成乘法群）中，适合a a的元素 a称为环Zn的一个幂等元.定义设a,b Zn,若存在q Zn使得b aq,则称a整除b，记为a|b,称a 为b的因数，而称b为a的倍数.否则，称a不整除b .2.2 剩余类环Zn的基本性质定理在模n剩余环Zn中，若a b，则有a b nk（k1,1,2,）.定理在Zn中，每个元素的n倍均为零.即na a aa na 0.定理设a，b则a|b的充要条件为（a，n）|b.2.3 剩余类环Zn的一般性质利用已有的定义和基本性质，可以得出模n剩余环Zn的更一般的一些性质. 模n剩余环Zn是交换环. 在模n剩余环Zn中，所有左右零因子都是其零因子. 模n剩余环Zn

5、是无零因子环的充分必要条件是n为素数. 设Zn,为无零因子环(Zn模大于1),那么加群 Zn,中每一个非零元 素的阶必相同 模n剩余环Zn为整环的充分必要条件是n为素数. 对于Zp, (I) Zp是特征为p的有单位元的可换环环Zp是域 p为素数. 模n剩余类环Zn的所有子群(对加法)是循环子群例：设 s Zn,若(s, n) 1, s t,则(t, n) 1.证明：因为s t ,故n | (s t),从而有整数k使s t nk , s t nk如果(t, n) d 1,则由上式可知，d是s与n的一个公因数，这与(s, n) 1矛盾因此(t, n) 1 .2.4群与其子群有相同的单位元，环与其子

6、环有相同的零元，但子环不一定有单位元例如S|0,2,4,6是Z&的子环，S1无单位元，而且子环即使有单位元，单位元也不一定与环的单位元相同，S 0,3与S2 0,2,4都是Z6的子环，但S1的单位元是3，S2的单位兀是4，它们都与S6的单位元1不同.2.5p是素数的充要条件是模 p的剩余类环Z是域.它的每个非零元都是可逆元， 全体非零 元关于环的乘法组成一个 P 1阶的群.由域是整环以及 Zn Z/(n)易证：当p是素数时，(p)是整数环的素理想，也是整数环Z的极大理想，事实上，有 Z是含幺交换环，Z的理想(p)是素理想Z/(p)是整环p是素数，由Z是含幺交换环，Z的理想(P)是极大理

7、想Z/(p)是域 p为素数另外，由域Zp的特征数是素数p且Zp是一个素数.任意一个素域F的特征数或者为0或者为素数p，当为0时，FQ，当为素数p时，F Z .3Zn的子环、域、零环3.1定义设n是正整数，p是素数，乙是模n的剩余类环，S是Zn的子环.我们将得到如下结果：(1)设 npt(t2)，|S|pr(r t)，则S是有零因子无单位元的环;(2)设 n pq，| S | p当(p,q) 1,则S是域，当(p, q) p时，S是零环.(3 )设门uv( u是合数)v 1， |S| u，则S是有零因子无单位元的环3.2命题证明命题当n f(t 2)，其中p是素数时，则乙的pt阶(r t)子环S

8、是含零因子无单位元的环.证明 Zn 的 pt阶子环 S 0, ptr, ,(pr 1)pt r，(1)当 2t2rt时,t rkplptr 0 则 ab所以S是无单位元的零元.(2)当 2t2rt时，取a2rpabpt 0， S是有零因子的环下证S是无单位元的环设S有单位元e.t rtpt rkpk pt 1，有ea a ， 即t rt rt rl p k p kp得到Ikp2 2rt rkptmplkpt rrmp1，则lgpr 1rrp因为2r2t tt 2r 0 t r所以ptr lEPr而p不整除丨故pt r不整除mipr(2)当(p,q)1 时,kiq,b k2q S,若2k1q k

9、2q 0 k1k2qmpqPlkq，只要 akg0时,p不整除k1p |k2，所以ab 0有a 0 b 0,即S是无零因子环，又S有限，所以S是域.设e Iq是S的单位元，贝Ukq S，有iq kqkq 即 lkq2kq mpq，取 k 1，得故l不是整数，S无单位元.命题3.2.2 若n pq , p是素数，q是大于1的正整数，当(p,q) 1时.Zn的p阶子环S是域；且S Zp ；当(p,q) p时，Zn的p阶子环S是零环.证明 Zn的p阶子环S 0,q, (p 1)q()当(p,q) p 时，q pd, a,b S, a k,q, b k2qab k1 pd , k2 pd 0,所以S是

10、零环.i gp 1.因为i为整数，只要适当选取 m使i为整数，即可求得单位元 q命题设n uv ,其中u是合数，v 1，则Zn的u阶子环是含零因子的无单位 元的环.证明 因u是合数，设ust, Zn的u阶子环S 0, v,2v,(u 1)v，取a sv 0 ,b lv 0，则ab 0，故S含有零因子.设S有单位元e lv , a kv(1 k v 1),有 ea a，即 lkv2kvIkv mu k 1mu kkv(1)设(u,v) d 1时，在()取k 1 , I 一1，如I有整数解，即整数方程vme xv 1中x有整数解，所以方程有整数解的充要条件为(u,v)|1，与假设矛盾，所以无单位元

11、.(2)设(u,v)1，在()式中取 k u 11， (u,v(u 1) (u,u 1)1，I一u_1， I有整数解即为整系数方程mku (u 1)vx u 1有整数解x， x有整数(u 1)v解的充要条件是：(u,(u1)v)|u1.因(u,v)1，故(u,(u 1)v)1不整除u 1与假设矛盾，故S无单位元.我们还相应的讨论了商环(n) /(m n)在什么条件下是域或是有零因子无单位元的环.命题设n是正整数，R (n)是由n生成的环，则商环 S (n)/(t是正整数，且t 2)是含零因子，无单位元的环证明 当t 2时，S (n)/(n2)是有限零环.事实上，a,b S，a如，bk2n ，a

12、b2 时，S 0, n,(n11 1)nb nt 2nabnt 0,所以S是含零因子的环.设S有单位元e In，贝U a kn S,mnt 1 kkn有 ea a，即 Ikn2 kn Ikn2 kn mntt 1取 k i, i mr,n因为n |mint 1, n不整除1 , n不整除口卅1 1,所以不存在整数丨，故S无单位元.命题设n是正整数，p是素数，R (n)是由n生成的环，则商环S (n )/(p n)，当(P,n)1时是域且S Zp ,当(p,n)p时S是零环.证明设S(n)/( pn) 0, n,2n,(p 1)n,(P,n)1 时，a, b S, a 1, bk?n ,如果ab

13、2k,nk2n k,k2n02pnIkjk?np | k1k2n因为(p,n) 1，所以pikk,当a &n 0时，p不整除k1 p | k2即b 0 ,所以S是无零以你的环，S中消去率成立，又 S是有限，所以S是域.设e是S的单位元，a Zp，有a对应于a, e即可得Zp S.(p, n) p 时，n pd，a,b S, a /n ， b k2nab 0所以S是零环.命题设n,m是正整数，且 m是合数，n 1，R (n)是由n生成的环,则商环S (n) /(mn)是含零因子无单位元的环证明 S (n)/(mn) 0, n, , (m 1)n是 m 阶环.设 m uv , 1 u， v

14、 m，取 a un , b vn，贝U ab 0所以S是有零因子的环.设S有单位元e ln , a kn S有 ea a，即 In kn kn Ikn kn tmn所以丨(tm k)/kn(*)(1)当(m, n) d 1 时，在(*)式中取 k m 1, l tk (m 1)/(m 1)n(m 1)n |tkm (m 1)，即找到正整数 x使得(m 1)nx tkm m 1， x有整数解的充要条件是(m 1)n, m)|m 1，而(m 1)n,m) (m 1, m) 1与假设矛盾，所以 S无单位元4模n的剩余类环 乙，对幕等元的存在4.1设Zn是一个模n的剩余类环，考察Zn中的乘法群G (当

15、n为素数，Z.中非零元作成乘法群；当n为合数则有Zn中可逆的元作成乘法群)，我们首先定义如下定义：群G中适合g2 = g的元素g称为环乙的一个幕等元由定义可知群 G中的单位元e是G的一个幕等元，且显然有 e e2 e3反之，若g是环Zn的一个幕等元，则 g必是Zn的一个乘法群的单位元；例如g是一元群 g 的单位元.在一个低阶的模n的剩余类环，例如乙8中，不难通过测试的方法确定其幕等元；一般地,在模n的剩余类环 乙中则可如下考虑.设e施环Zn中的一个幕等元,(1)(2)那么，我们有e2 e(mod n)因而 e(e 1) 0(mod n)即e和e 1是互素的、相邻的整数；且若 n为整数，有e 0

16、或1( modn)，若n为合数， 不妨设门=门小2，不考虑e 0或1( mod n)的幕等元(即e既非环Zn的零元也非 Zn单位元)，e或e 1将分别是n的因子 片和门2的倍数；此时可考虑取该因子的倍数判断是否为环的幕等元例如，设n 18 2 9，于是在Z18中若是取e 9，则首先我们有9 (9-1)0(mod n)或者92 9( modn)即e 9是Z18中的一个幕等元；其次，由于9和(9-1)=8互素，故9 18 1 1在上式两端分别加上 9 8-8 9，则可推算出8 8-9 7 64-63 1并得到适合(2)式得两个相邻整数64和63，于是由64 10( modn)，102 10( mo

17、dn )又可得到乙8中的另一个幕等元10.对于上述Z18中的两个幕等元9和10,容易看出它们还具有如下有趣的性质：10+91 ( mod18)，10 9 0( mod 18)因而，我们有如下4.2命题：设R是一个有单位元的环，e是R的非零非单位元的幕等元，则f 1 e也是R的幕等元，且具有性质：e f 1,ef 0.证明事实上，由(1-e)2 1 2e e2 1 2e e 1 e即f 1-e是R的一个幕等元；又2e f e (1 e) 1， ef e(1 e) e e 0.于是命题得证.运用该命题，我们已经可以容易地从Zn中的一个非零非单位元幕等元求出另一个幕等元f例：已知r =13是Z26的

18、一个幕等元，则由F=1-e=1-13=-12=14(mod n) f 1 e 1 1312 14(mod n)故f =14也是Z26的一个幕等元由命题，我们还可以得出关于Zn中的幕等元与 Zn元素之间另一关系的如下结果：设门=门小2,且幕等元e是n1或其倍数，则Zn中每一个元素k均可表为Zn中幕等元e和f 的唯一组合：k x e y f (mod n)(*)其中幕等元e的系数x k(modn2),而幕等元f的系数y k(mod nJ,例如：在上述 Z26中，n =26=13 2,幕等元e为13；任取k=17,则由(* )有0 0e 0f (mod 26)17 1e 4f 134 14 69(m

19、od 26)25 1e 12f13 12 14181(mod 26)其中 x 17 1(mod 2)，而 y 17 4(mod 13).以上讨论了模n的剩余类环Zn中幕等元的存在和求法， 那么，对于给定的一个整数 可以是哪一个模 n的剩余类环Zn的幕等元呢？若要 为Zn的幕等元，则应有：(modn) (1) 0(modn) n| (1)于是对于给定的一个整数，取定一个 (1)的因子n,便可在模n的最小非负剩余系中确定以为幕等元的包含于 乙的群，为此，对于 ，令R (1, ,2 ,(n 1) )( 4)则(1)Zn中以，幕等元为单位元的乘法群 G R ；(2) R中属于G的元必须是一个关于 R和

20、G共同的单位元的的有逆元的元.为此，令：G(R) r R| r 1 R,使r 1r rr 1,则G(R)是一个满足要求的、由R勺可逆 元作成、包含幕等元 的乘法群例：设 =25,则n是(1)25 24600的一个因子，不妨设n =30，则显然有25225(mod30)，而由(4)式得：R 0,1(25),2(25),(30 1)250,5,10,15,20,25(mod 30)不难判断R中关于单位元=25的可逆元为5,25，因此G(Z30)5,25(mod 30)为所求Z30中包含幕等元=25的乘法群.至此，上述对于模n的剩余类环Zn及其乘法群的一些讨论，阐述了群与环的部分关系; 有群的单位元

21、导出了幕等元，并给出了如何在Zn中去确定幕等元；反之，对于给定的一个整数，也可以确定以其为幕等元的换Zn及其所构成的乘法群.5模n剩余类环Zn的理想结论： 模n剩余类环Zn的所有理想都是主理想.证明：对循环子群(对加法),i,根据理想的定义，a Zn,b,c (i)有1) b c b c (i);2) ab ab b bb (i),同理ba (i);a所以(i)做为一个理想,显然(i)是主理想.由定理上叙定理的证明过程可以看出：所有循环子群(对加法)加上乘法都是模 n剩余类环Z n的主理想.定理5.1环Zn有且只有T (n)个子环(其中T ( n)表示n的正因子的个数),而且Z n 是一个n阶

22、循环环，从而其子加群、子环、理想是一致的.定理5.2 设Zn是模n剩余类环，则（1）若n是素数,Zn是域,则Zn只有零理想和单位理想；（2） Zn是域充分必要条件是（n）是Z的极大理想.证明（1） 显然成立（2）由上述定理6知Zn是域充分必要条件是 n为素数.因此只须证明（n ）是Z的极大理想的充分必要条件是n为素数由于Z n是有单位元的交换环，设主理想（n） nk|k Z.若（n）为极大理想，如果 n不是素数，则必有nnin2,1ni n2n,于是n（ni）,但ni（n）,（ni）是Z n的真包含（n）的理想由（n）为极大理想知（nJ Zn.但1 （n1）矛盾，所以n是素数.反之，设n是素数

23、，A是Z n的理想，且（n） A Z n, （n） A ,则存在 a A,a （n ）,n a°.因为n是素数，所以n与a互素于是存在u, v Z ,使 ua nv 1 ,由 n, a A 可知 1 ua vn A, A Z因为n 1, （n） Z ,所以（n ）是极大理想在模n剩余类加群（Zn,）及其子群中，0 是单位元（有时也称零元），a的逆元是 a 但在模n剩余类环（Zn,）中，0必称零元，a-1 的负元记作a .又知“ a是乙的可逆元 （a,n）1”，“ a是乙的零因子（a,n） 1且（a, n）n （注意这里 n 2）.6剩余类环的应用本节将利剩余类环对 Euler函数关系

24、式、Eisenstein 判别法、整系数多项式无整数根、Euler定理及Fermat小定理等数论的古典结果给出纯代数的证明并从代数的角度观察熟知完全及简化剩余系的一些性质定理6.1 （Euler 函数关系式）为Euler 函数当（m, n） 1时，有(mn) (m) (n).证(m, n) 1 时U(Z/(mn)U(Z/(m) U (Z /(n), 而U(Z/(m n) (mn), U (Z/( n)(n), U(Z/( n)(m),所以(mn) (m) (n).注：为方便起见下面出现的函数，都是Euler函数.定理6.2(Eisenstein判别法)：设f (x) anxn an 1xn 1

25、a0是一个整系数多项式,如果有一个质数 p,使得p满足条件：i) P不整除耳;ii) P| ai( i 0,1, n 1);iii) p2不整除o),那么f (x)在Zx中不可约._n _证 首先令f(x)ixi z/(p)x,其中a表示a的模p剩余类现反设f在i 0tt 1Z x中可约 f gh ,其中 g Rxbt 1xb|X b0 hmm 1丄.cmxcm1xc1x c0, m,t nm t n.于是 f gh ,另一方面 f (x) anXn an 1Xn 1a0 .因p | ai( 0 i n 1) p不整除an,故f anxn,于是有g xt , hxm，这说明g的常数项b0 0

26、, h的常数项c0 0 ,那么p | b0且p | c。，所以p21 b°c° a。，这 与p2不整除a0矛盾,故f (x)不可约.定理6.3(整系数多项式无整数根)：设f (x) akxka1x1 a0是整系数多项式，k且a0及ai都是奇数，则f (x)无整数根.i 0_k _证 令f(x)aixi Z/(2) x,其中ai表示ai的模2剩余类，反设f (x)有一整数i 0根n.而n 0或n 1,若n 0 ,则有f (n) f (0) a°0,故有2| a0矛盾.若n 1,则有_ k _kf(n) f(1)ai0,故2|ak,矛盾.故反设不成立，即f(x)无整数

27、根.i 0i 0定理6.4 (Euler定理) 设n是大于1的整数,(a, n) 1,则a (x) 1(modn).证 因(a, n) 1 ,又，a U(Z/( n)a- U(Z/( n),但单位群 U (Z / (n)的阶为(n),(n)所以 a 1,即 a (n)1,所以 a (n) 1(mod n).定理6.5 (Fermat小定理)若p是质数，则ap a(mod p).证 若(a, p) 1 ,由Euler定理及(p) p 1 ,即得ap 1 1(mod p),因而 ap a(mod p),若(a, p) 0,贝U p |a ,故 ap a(mod p).下面从代数的角度观察完全及简化

28、剩余性质.定理6.6 设(a,n) 1,a°,a1, ,an 1为模n的完全剩余系，则aa0,aa, , aan 1也是模n的完全剩余系.证 由题设知a°,a1, ,an 1 Z/(n),而从(a, n) 1得a可逆，故有 aa0,aa1, ,aan 1 Z/(n),从而 aa°,aa1,aa“ 1 也是模 n的完全剩余系.定理 6.7 设(a, n) 1, a0,a1, , a (n) 1 为模 n 的简化剩余系，则 aa0,aa1, , aa (n) 1 也是模n的简化剩余系.证由题设知a0, a1,a 5)1 U (Z /(n),又因(a, n) 1,得知a

29、可逆,故aa0,aa1,aa (n) 1U (Z/(n),从而 aa0, aa1, ,aa (n) 1 是模 n 的简化剩余系.结束语模n剩余类环是一种比较透彻的特殊环，模n的剩余类环为有限可换环、 整环及域都提供了丰富的例证.模n剩余类环的所有理想是主理想，并且它们都可由n的所有因子作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成 )，它们的个数都为 n的欧拉数.使 我们得以迅速求解其子环和理想.且当n是素数时，模n剩余类环只有零理想和单位理想.参考文献1 朱德高.关于模n剩余类环J.高等函授学报(自然科学版),1996,(02).2 唐再良.论模n剩余类环Z_n的性质与扩张J.绵阳师范学院学报，2008,(08).3 陈水林.Z/(n)模n剩