正弦定理与余弦定理

1、正弦定理与余弦定理一、三角形中的各种关系设ABC的三边分别是a,b,c，与之对应的三个角分别是 A,B,C.则有如下关系:1、三内角关系三角形中三内角之和为（三角形内角和定理），即 ABC ，；2、边与边的关系三角形中任意两条边的和都大于第三边，任意两条边的差都小于第三边，即a b c, a c b,b c a ； a b c,a c b, b c a ；3、边与角的关系（1）正弦定理三角形中任意一条边与它所对应的角的正弦之比都相等，即a bsin Asin Bcsin C2R （这里，R为ABC外接圆的半径）注1：（ I ）正弦定理的证明:在 ABC 中，设 BC a, AC b, AB c

2、,里，R为ABC外接圆的半径）证：法一（平面几何法）：在 ABC中，作CH AB，垂足为H证明:sin A2R （这b sin Bc sin C则在 Rt AHC 中，si nA； 在 Rt BHC AC中,sin BCHBCCH bsi nA,CH asi nBbsin A a sin B即一sin A sin B同理可证：sin B sin C于是有asin Absin Bcsi nC作ABC的外接圆。O,设其半径为R连接BO并延长，则可得到。O的直径BD，连接DA因为在圆中，直径所对的圆周角是直角所以 DAB 90°于是在Rt DAB中，sin DABBDc2R又因为在同一圆中

3、，同弧所对的圆周角相等所以DCccc2Rsi nCsin Dc2R故a sin Ab sin Bc sin C2R （这里，R为ABC外接圆的半径）法二（平面向量法）（U）正弦定理的意义:正弦定理指出了任意三角形中三边与其对应角的正弦值之间的一个关系式, 也就是任意三角形的边角关系（川）正弦定理适用的范围：(i )已知三角形的两角及一边，解三角形;(ii )已知三角形的两边及其中一边所对应的角，解三角形;(iii )运用a:b:c si nA: si n B : si nC解决角之间的转换关系注2：正弦定理的一些变式:(i) a : b: c si nA: si n B : si nC ；ab

4、2R(ii ) sin A ,sin B ,sin C2R2R(iii )a 2RsinA,b 2Rsin B, c 2Rsin C .注3：已知三角形是确定的，则在运用正弦定理解该三角形时，其解是唯一 的；已知三角形的两条边和其中一条边的对角，由于该三角形具有不稳定性， 所以其解是不确定的，此时可结合平面几何作图的方法、“大边对大角，大 角对大边”定理及三角形内角和定理解决问题 .例1. ABC中，a,b分别为角A,B的对边，若B 60°,C 75°,a 8，则b=_例2. ABC中，角代B,C的对边分别为a,b,c，A ,a 屈b 1，则c _3例 3.在 ABC 中，

5、b .3,B 60o,c 1，求 a和代 C.例 4.在 ABC 中，已知 B 2 A,BC 2, AB 2 2运，则 A _.例5.已知 ABC中，角A,B所对的边分别是a, b，若acosB bcosA,贝U ABC定是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形(2) 余弦定理三角形中任意一条边的平方等于其他两条边平方的和减去这两条边与它们夹角 的余弦的乘积的2倍，即2 2 2 2a b c 2bccos A， b2 c2 a2cacosB，2 2 2cab 2abcosC注1:(I )余弦定理的证明：法一(平面几何法)在 ABC中，作CH AB，垂足为H则在 Rt

6、AHC 中，si nA CHCH:cos A AHAHACbACbCH bsi nA, AH bcosABHAB AHc b cos A在Rt CHB中，由勾股定理有BC2CH2 22 BH 2于是有a2 (bs in A)2 (c b cos A)2 b2s in2 A c2 2bccosA b2 cos2 A b2(sin2 A cos2 A) c2 2bccos A b2 c2 2bccos A同理可证： b2 c2 a2 2cacosB， c2 a2 b2 2abcosC .法二(平面向量法)(U)余弦定理的意义：余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三 角形

7、两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以 变形并适当结合其它知识，则使用起来更为方便、灵活。(川)余弦定理适用的范围:(i) 已知三角形的三条边，可求出其三个内角；(ii) 已知三角形的两条边及它们之间的夹角，可求出其第三条边；(iii) 已知三角形的两条边及其中一条边所对应的角，可求出其另两个角及 第三条边C a2 b22ca '.2 2 2注 2: 余弦定理的变式： cosA C ; cosB2bc2 . 2 2小 a b ccosC 2ab注3:常选用余弦定理判定三角形的形状;注4:求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理 实现边角互化

8、例1.在ABC中，三边长为连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长 例2.如下图所示，在四边形 ABC冲，已知AD CD, AD 10, AB 14，BDA 60°， BCD 135°,求 BC 的长.例3.在ABC中，已知BC 5, AC4,cos( AB)8，则 cosC()A.1116B.16C.16D.316(3) 面积公式：(i )常规方法：SABC夕ha ；(ii )三角函数法:S ABCabsinCacsinB bcsin A ；2 2 2(iii )海伦公式：Sabcp(p a)(p b)(p c) r p.这里，ha为边a的高线；p为ABC

9、周长的一半，即p 2一 ； r为ABC内切圆的半径.例1.在ABC中，若已知三边为连续的正整数，且最大角为钝角.(1) 求该最大角；(2) 求以此最大角为内角，夹此角两边之和为 4的平行四边形的最大面积(参考数据：cos71o 0.25)例2.在ABC中，内角A, B,C对应的边分别是a,b,c，已知a2 c2 2b2.(1)若 Bi，且 A为钝角，求内角A与C的大小；(2)若 b2，求ABC面积的最大值.二、关于三角形内角的常用三角恒等式由三角形内角和定理：ABC ，有A (B C)由此可得到：si nA si n(B C), cos A cos(B C)；又-2 2B C2 ，于是得到：.

10、AB CA . B Csincos， cossin2 2 2 2三、三角形的度量问题：即所谓的求边、角、周长、面积、圆半径等问题1）求角角边的适用定理是正弦定理；（ 2）求边边角的适用定理是正弦定理或余弦定理；（ 3）求边边边、边角边的适用定理是余弦定理 .注：在解决“边边角” （a,b,A） 类型的题目时，若利用正弦定理求角，则应判 定三角形的个数：假定： A 90o ， 若 a b ，则有一解； 若a b，则当a bsi nA时，有两解；当a bs in A时，有一解；当a bsin A 时，无解；假定： A 90o ， 若a b，则有一解； a b ，则无解 .四、三角形形状的判定方法（

11、 1）角的判定；（ 2）边的判定；（ 3）综合判定；（ 4）余弦定理判定 .注：余弦定理判定法：若c是ABC的最大边，贝U： a2 b2 c2ABC 是锐角三角形； a2 b2 c2ABC是钝角三角形； a2 b2 c2ABC是直角三角形.注：关于锐角三角形有以下等价结论：三角形是锐角三角形三内角都是锐角任意两角和都是钝角三内角的余弦值均为正值任意两条边的平方和都大于第三边的平方.五、高考真题整理1. 设ABC的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c 2，b 6，B 120°， 则a （）A.B.2C.3D.,22. 如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值是

12、（）A.518B.C.D.3、在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 （、3b c）cos A acosC，贝Ucos A .14、在 ABC中，B -，BC边上的高等于BC，则cos A.434 55、 ABC的内角A， B， C的对边分别为a， b， c.若cos A -， cosC 一，5 13a 1，则 b .&已知 ABC的三边长分别为3，5，7 ,贝够三角形的外接圆半径等于 .7、在厶 ABC中，已知 B=45 ,D 是 BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6 求 AB的长.8、在 ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c，已知c

13、2,C(1) 若 ABC的面积等于.3，求a,b ;(2) 若 sin C sin(B A) 2s in2A，求 ABC 的面积.9、设函数 f（x） sinxcosx sin2（x ） （ x R）.4（1）求函数f （x）的单调区间；（2）在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若Cf（2）0，c 2，求ABC面积的最大值10、已知向量 m (,sin x)， n (1,sinx3cosx)，函数 f(x) m n.（1）试求函数f（x）的单调递增区间；（2）若ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，内角B满足f （B）3，且b 3，试求 ABC面积的最大值.

14、11、在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且acosA 4，sinB4.(1)求 b ；(2)求 ABC的周长.12、设ABC三个内角A ,B , C所对的边分别为a , b , C.已知c -,3a cosA b cosB .(1)求角A的大小;2.过点P分别N .(2)如图所示，在 ABC的外角 ACD内取一点P，使得PC作直线CA、CD的垂线，垂足分别是M、 大值及此时的取值.13、ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c .已知 2cosC(acosB bcos A) c .(1)求 C ；(2)若c 7， ABC的面积为3 .3，求ABC的周长.214、

15、在 ABC 中，a2 c2 b2 . 2ac.(1) 求B的大小；(2) 求.2 cosA cosC的最大值.15、ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c.已知向量m (a,、3b)与 n (cosA,sin B)平行.(1) 求 A ；(2) 若a 、7 , b 2，求 ABC的面积.16、如图，已知扇形的圆心角 AOB ，半径为4.2，若点C是AB上一动 点(不与点A，B重合).(1) 若弦 BC 4(、3 1)，求 BC 的长；(2) 求四边形OACB面积的最大值.【解析】(1)在 OBC 中，BC 4(、一 3 1)，OB OC 4、2由余弦定理，有OB2 OC2 BC

16、23232 16(42/3)32 V343cos BOC2OB OC2 32642 BOC6于是的长为4孑2.263(2)设AOC，(0,3 )3则 BOC23于是四边形OACB的面积S四边形OACB Saoc Sboc1OA OC sin AOC 1OB OC sin BOC2 21124、2 4、2 sin4 2 4、2 sin()22316sin162os224sin 8,3cos16忌in(6)2又(0，3 )故当6-时，四边形OACB的面积最大，且最大值为16、3317、在厶 ABC中，若 AB 2 , AC , 2BC，求 S ABC 的最大值.【解析】（法2 2 .2由余弦定理，有 cosB -2aca2 4 2a24 a24a4aSabcacsin B21a 2 小 cos2b ad (44T)216a2 16 8a2 a4v16aa4 24a2 1613(a2 12)2 128 16又由三角形三边关系，有:abC，即a颯 2222 a 2血2aCba2'2a故当 a 12，即 a 2