闭区间连续函数的性质学习教案

1、会计学1闭区间连续函数的性质闭区间连续函数的性质第一页，编辑于星期日：二十二点 四十分。一、零点定理和介值定理一、零点定理和介值定理定理定理5.6 ( 零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf第1页/共12页第二页，编辑于星期日：二十二点 四十分。例例1. 证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点

2、,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有则则第2页/共12页第三页，编辑于星期日：二十二点 四十分。0)()()(212xfxff上连续 , 且恒为正 ,例例2. 设)(xf在,ba对任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一点证证:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 则,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21时当xfx

3、f,0)(xf,0)()(21xFxF故由零点定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff当)()(21xfxf时,取1x或2x, 则有)()()(21xfxff证明:第3页/共12页第四页，编辑于星期日：二十二点 四十分。定理定理5.7. ( 介值定理 )设 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点, ),(ba证证: 作辅助函数Cxfx)()(则,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(CfAbxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有第4页/共

4、12页第五页，编辑于星期日：二十二点 四十分。注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .定理定理5.9 在闭区间上的连续函数即: 设, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在闭区间内有间断点, 在该区间上一定有最大定理定理5.8 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 第5页/共12页第六页，编辑于星期日：二十二点 四十分。例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, 第6页/共12页第七页，编辑于

5、星期日：二十二点 四十分。使得至少存在一点,ba推论推论5.1 , )(max,xfMbax)(min,xfmbax 设, ,)(baCxf,Mm，对任意的.)(f例例 .),()(内连续在开区间设函数baxf,)(lim,)(lim) 1 (xfxfbxax如果.),()(Mbaxf内有最大值在则,)(lim,)(lim)2(xfxfbxax如果.),()(mbaxf内有最小值在则第7页/共12页第八页，编辑于星期日：二十二点 四十分。定义定义 （一致连续性）就有时，当两点上的任意使得对于总存在无论它多么小如果对于任意的正数内有定义在区间设2121, 0),(0,)(xxxxIIxf,)()

6、(21xfxf例例 . 1 , 0) 10(1 ,1)(上不是一致连续的（但在上一致连续，在闭区间试证函数aaxxf.,)(,)()(2 . 5上一致连续在则设一致连续性定理定理baxfbaCxf.)(上一致连续在区间则称Ixf第8页/共12页第九页，编辑于星期日：二十二点 四十分。内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式第9页/共12页第十页，编辑于星期日：二十二点 四十分。 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.第10页/