韦达定理浙江版

1、韦达定理1 .本周教学内容：韦达定理2 .重点、难点：韦达定理与推论是重点。难点是如何灵活应用韦达定理与推论。3 .知识回顾2bc设方程ax +bx+c=0(a#0)的两根为x11, x2则x11+x2 =, x 11 x 2 =一,这个方程的根与系数a,b,caa的关系叫做根与系数的关系定理，也叫韦达定理。1.若两个数 x1 , x2满足x1 +x 2 = 二b , x1 x2 = £ ,则x1 , x 2是方程ax2 +bx+c=0 (a$0)的两个根， 11a1a1这个定理称为韦达定理的逆定理。222. x11 , x 2是方程ax +bx+c=0 (a#0)的两个头数根，则必

2、有 A = b -4ac之0,反之亦成立。【典型例题】例1:已知x11, x2是方程x2-3x+1=0的两个根，求x2x2 + x11x2的值。解：x1+x2 =3x1x2 =1原式=x 1 x2x1x2二 3例2：如果a, b是方程x2+x-1=0的两个实数根，求代数式a3+a2b+ab2+b3的值。解：a+b=- 1 , ab= 1 .又 a2 +b2 = (a +b f 2ab = 3,原式=a2 a b b2 a b = a b a2 b2 = -3例 3.若实数 x, y 满足(x+1) 2=33(x+1), 3(y+1)=3 (y+1) 2 ,求上 +、的值。 x y解： (x+1

3、) 2+3(x+1)3 = 0, (y+1) 2+3(y + 1)3 = 0.且= 21 0，若x#y.则x,y为方程t2+5t+1 =0的两实根x+y=-5 , xy=122x y原式二-(x + y 2 - 2xy二23xyxy若x=y ,则原式=2 .，原式=2或23例 4:验证 x1 = J3 + 1 , x2 =2/3 1 为方程 x2 3，3x+5+ J3 =0 的实数根。解：若是，则 x1+x2 = 313, x1yl = 5 + J3以x1,2为根的一元二次方程为 x23x+5+，3 = 0，显然*1,2为给定方程的两实根。例5：请写出一个两个实数根之和为1的一个一元二次方程。

4、解：设x1+x2 =1,x1x2 =k(k为常数，则由韦达定理之逆，得2x x k = 0 .，-1但x 1x2为万程两实根. = 1 一 4k之0 . . k W 4121比如设x=x2 =一.则方程为x -x+=0等等。24例6:已知2 x2 - 5x-3=0,不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根是原方程两根的倒数。11斛： 设所求方程两根为 y1、y2,则y1 = , y2 = , x 'x2x1 x21 y1 y2 -, y1y2 二xx2xx253但 x 1 x2 = , x1x2 = 一一22.所求的方程为y2+5y2=0.即3y 2+5y2=033例7:设x1,

5、x 2为方程(xa) (xb)=cx的实根,求证：关于x的方程(x x1 ) ( x x 2 ) + cx= 0的两实根为a, b 1解：(x-a) (x-b) =cxx2 Ta b c x ab = 0 . x1 x2 = a b c x1x2 = aba b = x1 x2 ab = x1x22x - x1 x2 - c x x1x2 = 0x2 - x1 x2 x x1x21cx =0，命题得证【模拟试题】2111 .若x 3x 1=0的两根是xi, x 2 ,则一 十=x1 x22 .已知x1, x2是方程3 x2 +1 = 4x的两根，不解方程，则 与+与= Xx23 .设x1=2+

6、 J3是方程x2 4x+1 = 0的一个实根，则另一个实根x2 =4 .方程3 x22x2=0的两根差的平方为（28A .一928B.3D.等25 .以方程3 x +2x 6=0的各根的负倒数为根的一个一兀二次万程是（）A. 6 x2 -2x+1 = 0B. 6 x2 + 2x+3=0C. 6 x2 + 2x+1=0D. 6 x2 +2x-3=06.已知方程2 x2 5ax+3b =0的两根之比为 2： 3,方程x2 2bx+8a = 0的两根相等（ab#0）,求证：当 m为任意实数时，方程 ax2 + （b+m1） x+ （m+1） =0 恒有实数根。【试题答案】1. 3282.33. 2- 334. A 5. D6 .设方程 2 x2 5ax+3b=0 的两根为 x1 = 2k, x 2 =3k (k¥0)5x x =5k=-a1 22则由韦达定理2 3x x =6k =-b122丁 ab ¥0,2 /，得 b=a2. 方程 x2 2bx+8a= 0 为 x2 2a2 x+8a = 0. . A =4a (a3 -8) =0.