北师大版八年级上册第一章勾股定理　导学案（无答案）

导学案1勾股定理要点一、勾股定理直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2要点诠释：(1)勾股定理适用前提是直角三角形理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2，a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab应用勾股定理时，注意确定那条是直角三角形的斜边。在RT三角形中，斜边未必一定是c，当∠A=90°时，a是斜边，a2=c2+b2；当∠B=90°时，b是斜边，b2=c2+a2。若没有明确给出直角三角形的两边类型（直角边还是斜边），要分类讨论，以免遗漏。经典例题在Rt△ABC中，∠C=90°已知：a=6，b=8，求c。（2）已知：b=5，c=13，求a。（3）已知：a=8，c=17，求b。（4）已知a：b=3：4，c=10，求a。变式1.如图∠B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，BC=3，则AB的长是多少? 变式2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，连接CE，若AE＝3，BE＝5，则边AC的长为（）A．3 B．4 C．6 D．8能力提升：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明．要点二、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，探索勾股定理时同一个图形的面积用两种方法表示是关键，由面积之间的等量关系，结合图形进行代数变形可推导出勾股定理。例2.在直角三角形中，若两直角边的长分别为3cm，4cm，则斜边长为。变式1：已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长的平方是。变式2：如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为。例3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。变式：如图所示，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，AD是底边上的高，求①AD的长；②ΔABC的面积．例4.如图，三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________变式：如右下图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为第4题图S第4题图S1S2S3能力提升:如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2＝S3图形个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角是直角∠C=90°。要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形。（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形。（3）c未必是最长边，如果a2=b2+c2，那么这个三角形是直角三角形，且∠A=90°。要点四、勾股数我国古代把直角三角形中较短直角边称为勾，较长直角边称为股，斜边称为弦。满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。要点诠释：（1）记住常见的勾股数可以提高解题速度，如（3、4、5）（6、8、10）（15、20、25）（5、12、13）（7、24、25）（8、15、17）（9、40、41）（12、35、37）等。（2）勾股数扩大缩小相同的倍数仍满足勾股定理。经典例题1.有五组数：①25，7，24；②16，20，12；③9，40，41；④4，6，8；⑤32，42，52，以各组数为边长，能组成直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=3：2：5C.a2=c2−b2D.a：b：c=3：4：63.下列说法正确的有（）①△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2②△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形③若△ABC中，a2-b2=c2，则△ABC是直角三角形④若△ABC是直角三角形，则(a+b)(a-b)=c2。4个B.3个C.2个D.1个4一个三角形的三边的比是3：4：5，它的周长是36，则它的面积是______5.如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，则∠A+∠C=度。6.小明画了一个如图所示的四边形，其中AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，∠A=，你能求出四边形ABCD的面积吗？能力提升7.直角三角形中两个直角边为a，b，斜边为c，斜边上的高为h，证明c+h，a+b，h为三边构成的三角形是直角三角形。要点五、勾股定理的简单应用1．一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是。2．如图，一油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，拍出木棒，量得棒上没油部分长0.8m，则桶内油的高度为

A.0.28m

B.0.64m

C.0.58m

D.0.32m3．如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm第1题图第2题图第3题图4.我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈(一丈为10尺)，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深______尺，葭长_____尺．解：根据题意，设水深OB＝x尺，则葭长OA'＝（x+1）尺．可列方程正确的是（）

A．x2+52

＝（x+1）2B．x2+52

＝（x﹣1）2C．x2+（x+1）2

＝102D．x2+（x﹣1）2＝52老师准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿露出水面的部分刚好0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水而刚好相齐，请你帮老师计算河水的深度是多少米？第4题图第5题图巩固练习1.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为（）A.3B.4C.5D.72.若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的（）A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍3.在直角三角形中，若两边的长分别为4cm，5cm，则第三边的平方为.4.一个三角形的三边的比是3：4：5，它的周长是36，则它的面积是.5.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为.6.如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4．则阴影部分的面积等于.S1SS1S2S36题图