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文档简介
1、会计学1随机变量随机变量(su j bin lin)的数学期望的数学期望41第一页,共30页。退出第2页/共30页第二页,共30页。一四二退出 三第3页/共30页第三页,共30页。退出(tuch)返回(fnhu)1. 定性(dng xng)定义 随机变量 X 的平均取值称为其数学期望, 记为() ,D X随机变量X 对其平均取值以偏差平方的形式所给出的平均波动,称为 X 的方差,记为 亦即 () .E X2() () .D XEXE X方差实际上也是一种数学期望,是随机变量减其数学 期望的平方的数学期望. 用较为专业的术语讲,它是随机变量的函数的数学期望. 因此,求随机变量平均取值以及随机变量
2、对其平均取值以偏差平方形式给出的平均波动问题,从本质上而言,归根结底就是如何求随机变量及其函数的数学期望问题.第4页/共30页第四页,共30页。x1m1 + + xkmkkiiimxn1 平均分 =n退出(tuch) 上式表明,将各种不同考分 xi ( i = 1, 2, , k)与其在全体考生中所占的百分比 fi相乘后再相加 结果就是全部考分的平均分 !第5页/共30页第五页,共30页。类似地可解释其还等于在整个平面(pngmin)上的重积分.退出(tuch)返回(fnhu)()( )E Xxf x dx ()( , ) .E Xxf x y dxdy 1()iiiE Xx p 2. 随机变
3、量数学期望 E ( X ) 的定量算法 对离散型变量 对连续型变量11() ;iijjiE Xx p 或或f x dx( ) .【对连续变量求算公式的简短解释】依概率密度的含义,连续随机变量在长为 dx 的区间上因此,该随机变量在整xf x dx( )近似取值 x 的概率应等于个实轴上的平均取值就应等于前二者之乘积在整个实轴上的全部累加之和,即应等于其在实轴上的积分E Xxf x dx()( ) . 第6页/共30页第六页,共30页。退出(tuch)返回(fnhu)3. 六大常见分布的数学期望与分布参数的关系分布符号分布符号数学期望数学期望E ( X )备注备注B ( 1, p )p0-1分布
4、分布B ( n, p )n p二项分布二项分布P ( ) 迫松分布迫松分布均匀分布均匀分布E ( )1 /指数分布指数分布N ( , 2 ) 正态分布正态分布2ab a bU( , )运用数学期望 的定量算法可以证实六大常见分布的数学期望与分布参数的关系如下表所示第7页/共30页第七页,共30页。退出(tuch)返回(fnhu)*1. 随机变量的常见函数、数学期望(qwng)及其名称是 X 与Y 与各自数学期望之差的乘积的数学期望.(), 1,2,kE Xk 【例如】恰是 X 自身的数学期望. X 的一阶原点矩()E X是 X 平方的数学期望. X 的二阶原点矩2()E X X 的二阶中心矩2
5、 () EXE X 是 X 减其数学期望的平方的数学期望. k + l 阶混合中心矩 klEXE XYE Yk l () ( ) , ,1,2, k 阶中心矩 () , 1,2,kEXE Xk X 的二阶混合原点矩是 X 与Y 乘积的数学期望.E XY() X 的1+1阶混合中心矩EXE X YE Y ()( ) k + l 阶混合原点矩 klEX Yk l (), ,1,2, 第8页/共30页第八页,共30页。E g X Yg x y f x y dxdy (,)( , ) ( , ) . 退出(tuch)返回(fnhu) 定理(dngl)一 设一元函数 g (x) 连续,则 ()( ) (
6、 ) .E g Xg x f x dx 当 X 是连续型变量且其一维概率密度为 时( )f x1 ()() ;iiiE g Xg xp 当 X 是离散型变量且一维分布律为 时iiP Xxp 定理二 设二元函数 g (x , y) 连续,则当 (X, Y )是连续型变量且二维联合概率密度为 时( , )f x y11 (,)(,) ;ijijjiE g X Yg xyp 当 (X, Y ) 是离散型变量且二维分布律为 时,ijijP Xx Yyp 2. 函数数学期望的一般算法第9页/共30页第九页,共30页。退出(tuch)( 设 C 是常数(chngsh) )( )E CC ( ) ( )EC
7、XECX()( )( )E X YE X E Y()() ( )E XYE X E Y又当 X,Y 相互(xingh)独立时4)3)()()XCCEE X 1)2)返回【选证】E XYxy f x y dxdy ()() ( , ) xf x y dxdyyf x y dxdy( , ) ( , ) E XE Y()( ) . 若X,Y 相互独立, 则E XYxyf x y dxdy()( , ) XYxyfx fy dxdy( )( ) XYxfx dxyfy dy( )( ) E X E Y()( ) . 第10页/共30页第十页,共30页。退出(tuch)()( )E XE Y231返回
8、(fnhu)试求随机变量 U = 2X + 3Y + 1 与V =YZ4X 的数学期望. 解( )() ;2 53 11144( )()E VE YZX4( )( )( )()E VE Y E ZE X4()( )( ) .11 84 568 Y , Z 相互独立, ()()E UEXY231()()E YZE X4例3-1 设 X, Y , Z 相互独立, E( X ) = 5, E( Y ) = 11, E( Z ) = 8. ()( )()E YZE Y E Z, 第11页/共30页第十一页,共30页。X2349Pi1/85/81/81/841()iiiE Xx p ( )( )( )(
9、 )151123498888 ,308 4221()iiiE Xx p ( )( )( )( )15114916818888 ,1468 EXX2(23)E XE X22 ()3 () .3788 解退出(tuch)返回(fnhu)第12页/共30页第十二页,共30页。iijiiijiE Xx px p323.111()0(0.1)1(0.3)2(0.6) . 1 5jijjjijjE Yy py p322.111( )( . )( . )1 0 62 0 4. 1 4 E XY() E XE Y()( ) .1 51 42 9解 X Y01210.10.10.20.20.30.320 00.
10、10.10.30.3ijijijE XYx y p3211() (0)(1)0.1(0)(2)0(1)(1)0.2(1)(2)0.1(2)(1)0.3(2)(2)0.3 . 2 2 显然(xinrn),一般地讲()() ( ) !E XYE X E Y 退出(tuch)返回jp ip 0.10.30.60.60.4第13页/共30页第十三页,共30页。试求0,( )00,xxef xx 解EXxf x dx( 21)( 21) ( ) xxedx0( 21) EXxf x dx22(1)(1) ( ) xxedx20(1) .1 退出(tuch)返回xxe21 2 0 xe xe xxedx(
11、 21) xxeC(21) xxe21 x2 2 xe xe xxedx2(1) xxxeC2(21) 0 xe xxxe20(21)| 1|) 12(0 xex第14页/共30页第十四页,共30页。试求yxyf x y20112,( , )0, 其其它它XY (1,1)0y = x( )( , )E Yyf x y dxdy 201(12)y xyydxdy 130012xdxy dy 1403x dx 35 解x = 1()( , )E Xxf x y dxdy 201(12)y xxydxdy 120012xxdxy dy 1404x dx 45退出(tuch)返回(fnhu)(1)第1
12、5页/共30页第十五页,共30页。试求yxyf x y20112,( , )0, 其其它它XY (1,1)0y = xE XYxyf x y dxdy()( , ) y xxyydxdy201(12) xxdxy dy130012 x dx1503 12 解x = 12222()() ( , )E XYxyf x y dxdy 22201()(12)y xxyydxdy 12240012()xdxx yy dy 551012()35xxdx 1615 退出(tuch)返回(fnhu)(2)第16页/共30页第十六页,共30页。2 , 01( )0 , Yyyfy 其其它它38 , 2( ) ,
13、0 , Xxfxx 其其它它C. 8 / 3 D. 7 / 3CE Xdxx228()4 , E Yy dy1202( )23 EXYEXE Y8 3 A. 4 / 3 B. 5 / 3退出(tuch)返回(fnhu)第17页/共30页第十七页,共30页。退出(tuch) *例4-6 天若无雨, 水果商每天可赚100元; 天若有雨, 水果商每天损失10元. 一年365天, 贩卖水果地的下雨日约130日. 问水果商在该地卖水果, 每天可期望(qwng)赚多少钱 ?返回(fnhu)21 ()iiiE Xx p 2351303651001()() 0365 235/365,p 水果贩卖地每天无雨与有
14、雨的概率显然依次为解130/365q 从而水果商每天所赚钱数 X 的分布律为60.82 即水果商每天可期望赚 60.82 元 .XiP Xx 100 10130/365235/365第18页/共30页第十八页,共30页。寿命不到(b do)一年的概率显然为 *例4-7 设备的寿命XE( ). 该设备售出一台盈利100元 , 因年内损坏而调换则亏损200元. 求出售(chshu)一台设备的盈利数学期望. 因此,一台设备(shbi)出售的盈利值Y 有分布律从而寿命超过一年的概率即111144400011( )()1.4xxP Xf x dxedxee 11441111(1)P XP Xee .退出
15、返回解 可见YiP Yy 200 10014e 141e 21( )iiiE Yy p)ee 14200003e 第19页/共30页第十九页,共30页。 第 i 站有人下车(xi ch)记为Yi = 1,第 i 站无人下车(xi ch)记为Yi = 0, ( i = 1,2, ,10), 则专线车停车的次数 *例4-8 载有20名旅客的专线车在无下车旅客的车站不停车(tng ch)。设各旅客在指定停靠的10个站下车的可能性相等,且是否下车相互独立,那么若以 X 记专线车停车(tng ch)的次数,则 E(X)= ?.+ 202099100 ()11() 8.78410
16、10 因各站下车的可能性相等,故旅客在任一站下车的概率(gil)为1/10,不下车的概率(gil)为9/10,从而,从而就有iiXY101 iP Y 2090(),10iP Y20911() ,10iiE XE Y .101()() iiiE XE Y =E Y101()()10 () 退出返回解第20页/共30页第二十页,共30页。 .2 122任一弹着点与目标间的距离(jl)显然为 *例4-9 用( X , Y )记炮击的弹着点坐标. 设坐标XN( 0,2), 坐标Y N( 0,2) , 且二者相互独立(dl). 试求弹着点与目标 ( 0, 0 ) 间的平均距离. X 与Y 相互(xing
17、h)独立,且XN( 0,2), YN( 0,2), 可见,弹ZXY22. xyXYf x yfx fye222()221( , )( )( )2 xyE Zxy edxdy222()22221()2 E ZEXYxy f x y dxdy .2222()()( , ) ed d222220012 退出返回解着点与目标间的平均距离应为 从而ed222201 d e2220() ed2220 第21页/共30页第二十一页,共30页。韩旭里等编概率论与数理统计教材第四章 习题四 P112P117 批改题 P112: 1. ( 求离散变量的数学期望 ) P113: 5. 11.( 求连续变量的数学期望
18、与方差 ) 7. ( 利用算子演算(yn sun)性质计算数学期望与方差) 8. 9. (利用独立性简化数学期望的求算 ) 10. ( 求连续变量的数学期望 ) 12. ( 对实际问题求数学期望与方差 )退出(tuch)返回(fnhu)第22页/共30页第二十二页,共30页。退出(tuch)返回(fnhu)P112P113参考答案5. 122232017()( )(2) ,6E Xx f x dxx dxxx dx 221()()() .6D XE XEX 12201()( )(2)1 ,E Xxf x dxx dxxx dx1. 2222211115()( 1) ( )(0) ( )(1)
19、( )(2) ( ) ,82844E X (23)2()34 .EXE X 11111()( 1)( )(0)( )(1)( )(2)( ) ,82842E X 第23页/共30页第二十三页,共30页。退出(tuch)返回(fnhu)P112P113参考答案8. 11300001,0122 .4xxy xxydxdyxdxydyx dx 2 .k ()( , )E XYxyf x y dxdy 7. 2222(32 )3()2( )3 (12)2 (16)172 .DXYD XD Y(32 )3 ()2 ( )3(3)2(3)3 ,EXYE XE YXY (1,1)0y = xx = 11( , )f x y dxdy 10001,0 ,2xxy xkkdxdykdxdy 第24页/共30页第二十四页,共30页。退出(tuch)返回(fnhu)P112P113参考答案10. 22242400111()( )4()| ,488yyE Yy f y dyy edyyye 3 ()()( ) ,4E XYE XE Y9. (5)(5)55( )( )(1)|6 ,yyE Yyf y dyyedyye 1202 ()( )2 ,3E Xxf x dxx dx2115(23)2( )3( ) .288EXY 220011 ()( )2()|
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