闻邦椿非线性振动慢变参数系统的渐近法学习教案

1、会计学1闻邦椿非线性振动闻邦椿非线性振动(zhndng) 慢变参数系慢变参数系统的渐近法统的渐近法第一页，共32页。第1页/共32页第二页，共32页。 对于自治对于自治(zzh)的慢变参数系统的慢变参数系统, 如果干扰力是小量如果干扰力是小量, 则系统的微分方则系统的微分方程式可表示为程式可表示为 (9-1)式中式中 慢变时间慢变时间, ; 小参数小参数; 慢变质量；慢变质量； 慢变刚度；慢变刚度； 非线性作用力。非线性作用力。 在带有慢变参数的振动系统中，固有频率在带有慢变参数的振动系统中，固有频率 是慢变时间是慢变时间 的函数。的函数。 我们假设方程的解有以下形式我们假设方程的解有以下形式

2、 (9-2) dddd, ,dd,ddtMxtkxfxxtxt22 t M k fxxtxt,dd,dd22 xauauacos, , ,122第2页/共32页第三页，共32页。式中式中 和和 是时间是时间 的周期的周期(zhuq)函数函数, 是角是角的以的以 为周期为周期(zhuq)的函数。的函数。 设该非线性系统的等效阻尼比设该非线性系统的等效阻尼比 和等效固有频率和等效固有频率 表示为小表示为小参数参数 的幂级数的形式的幂级数的形式, 即即 当当 求得后求得后, 便可求出便可求出 和和 。 (9-3)a t uaua12 , , , 2 e e eeaaa122122, 1212,a 3

3、221,ddaaata 3221,ddaat第3页/共32页第四页，共32页。式中式中 固有频率固有频率( yu pn l) 和前两章相同，渐近法的核心问题是如何确定和前两章相同，渐近法的核心问题是如何确定 。为了求出上述未知系数。为了求出上述未知系数, 方程的左边表示为上述未知系数的函数方程的左边表示为上述未知系数的函数, 将方程的右边展为泰勒级数将方程的右边展为泰勒级数, 令方令方程两边程两边 的同次幂的系数相等的同次幂的系数相等, 得得 (9-4) kMu u1 21212, , sin22cosdd2,sinddcos2sin2,111111211121112122221101212M

4、addMaaaaaaMMAaMaaaaaaMafuttukaMaMaMafuttuk第4页/共32页第五页，共32页。式中式中 （9-5） 式中式中 和和 是函数是函数 关于位移关于位移 和速度和速度(sd) 的一阶导数。的一阶导数。 fafaaafafaaaaaufaaaMuauauu dxx021211122112112121222 , , cos ,sin ,cos, , cos ,sin ,coscossin, cos ,sin ,cos duMM1ddfxfxfxx第5页/共32页第六页，共32页。为了单值地确定为了单值地确定 的值的值, 要求在要求在 中不包含一次谐波中不包含一次谐

5、波, 利用这一条件进行相应的运算利用这一条件进行相应的运算(yn sun)以后以后, 可求得可求得 (9-6) 由上式可求出方程的第一近似解由上式可求出方程的第一近似解 (9-7)式中式中 (9-8) 121212,uu ua1 , , 120021d,121,ninineafnekau dcos,21,dsin,21dd21,02010201afaMaafaMMMaxacos dddd, ,sindataMMMfa 22020 dd, ,cosd taMfa2020第6页/共32页第七页，共32页。 等效阻尼比等效阻尼比 和等效固有频率和等效固有频率( yu pn l) 可可表示为表示为 (

6、9-9)这时有这时有 (9-10) ea , ea , dcos,2dsin,2,02022020afaMafMaee dddd,ddataMMa atee 2第7页/共32页第八页，共32页。在二次近似解中在二次近似解中, 同样同样 是中不包含是中不包含(bohn)一次谐波，由方程一次谐波，由方程(9-4)第二式得第二式得 (9-11) ua2 , , dcos,21dd121,dsin,21dd1221,12012111121201111112afaMaMMaaaaaaaafaMMMaaa第8页/共32页第九页，共32页。 所以所以(suy), 二次近似解为二次近似解为 (9-12) 式中

7、式中 (9-13)xau atcos, 1 aataaata,dd,dd221221第9页/共32页第十页，共32页。 例例 摆的长度慢变的单摆摆的长度慢变的单摆(dn bi)的微分方程式如下的微分方程式如下 取取 这时这时, 上式可写为上式可写为 ddddddsintmltntlmgl220 sin 163 dddd, ,ddtmltmglft2 ftn ltnlmgl, ,dddddd 22163 gl第10页/共32页第十一页，共32页。 根据前述方法可求得第一近似解为根据前述方法可求得第一近似解为 设初始条件：当设初始条件：当 t=0 时，时， 。对方程。对方程(fngchng)组第二

8、个组第二个方程方程(fngchng)进行积进行积分，得分，得 从第三个方程从第三个方程(fngchng), 可求得可求得 16dd43dd,cos2 atallmlnataaaa0 aa ellnmtlt03 400d/ 11160023 200a elltnmtlttd/d第11页/共32页第十二页，共32页。9. 2 慢变参数非自治系统的渐近法慢变参数非自治系统的渐近法 周期激振力作用下的慢变参数非线性系统周期激振力作用下的慢变参数非线性系统 对于周期激振力作用下的慢变参数系统对于周期激振力作用下的慢变参数系统, 其运动方程式作适其运动方程式作适当当变换之后变换之后, 可表示为可表示为 (

9、9-14)式中式中 慢变时间慢变时间, ; 小参数小参数; 慢变质量；慢变质量； 慢变刚度慢变刚度(n d)； 关于关于 的周期为的周期为 的非线性的非线性函数函数 与慢变参数的自治系统类似与慢变参数的自治系统类似, 慢变参数的自治系统的固有频慢变参数的自治系统的固有频率率 是慢变时间是慢变时间 的函数。的函数。 dddd, , ,dd,ddtMxtkxFxxtxt 22 t M k Fxdxdtd xdt , , ,22 t2 第12页/共32页第十三页，共32页。 首先我们将非线性函数展为富氏级数首先我们将非线性函数展为富氏级数(j sh) (9-15) 设方程的解有以下形式设方程的解有以

10、下形式 (9-16)式中的式中的 和和 是时间是时间 的周期函数的周期函数, 是是 的以的以 为周期的函数为周期的函数, 当当 求得后便可求求得后便可求出出 和和 。 (9-17)FxxtxtFxxtxtennNNi n , , ,dd,dd, ,dd,dd2222 xapquapquapq cos, , , , ,122apq tuapquapq12 , , , , , ,pq 2 1212,a dd, , ,dd, , ,ataaatpqaa 12231223第13页/共32页第十四页，共32页。式中固有频率式中固有频率 。 为了求出为了求出 , 我们采用谐波平衡方法我们采用谐波平衡方法,

11、 即即 (9-18) 方程的一次近似方程的一次近似(jn s)解为解为 (9-19)式中的式中的 和和 是时间是时间 的周期函数的周期函数, 可由下式求出可由下式求出 (9-20) kM 1122, dddd, , ,dd,ddcosddddd, , ,dd,ddcoscostMxtkxFxxtxtpqtMxtkxFxxtxtqx apqqx apq 022202220 sindpq 0 xapqcosa t dd, ,dd, ,ataatpqa 11第14页/共32页第十五页，共32页。 未知函数未知函数(hnsh) 可由下式求出可由下式求出 (9-21)式中式中 为为 上的整数上的整数 (

12、9-22) 11, pqaaMMMeFaei qi q 112020202112dd, , ,sind d pqaaMeFaeiqiq11202020212, , ,cosd d , FaFaaapq0 , , , , cos,sin,cos第15页/共32页第十六页，共32页。 如求方程如求方程(fngchng)的二次近似解的二次近似解, 可设可设 (9-23)式中式中 (9-24)而而 可由下式求出可由下式求出 (9-25)xapquapq cos, , ,1 dd, , ,dd, , ,ataaatpqaa 122122uapq1, , , uapqMemnFaei nmpqn mi n

13、m12220020214 , , , , ,dd, 第16页/共32页第十七页，共32页。式中的式中的n和满足和满足(mnz)以下条件以下条件 (9-26) 和和 可由下式决定可由下式决定 (9-27)式中式中 的周期为的周期为 的周期函数。由此可求出方的周期函数。由此可求出方程的二次近似解可由式程的二次近似解可由式(9-24)(9.27)求求,出。出。 01 mpqn 2 2 pqaaMMaMeFaepqaaaai qi q 22111111112102022211122122dd, , ,sin d d 1112121020212 aaMMaMeFaei qi qdd, , ,cos d

14、d Faf ufaauxx11111 , , ,cossin Fa1 , , ,是 和第17页/共32页第十八页，共32页。干扰力为慢变的非线性系统干扰力为慢变的非线性系统 (9-28)式中式中 。 方程的第一方程的第一(dy)近似解为近似解为 (9-29)式中式中 和和 是时间是时间 的周期函数的周期函数, 可由下式求出可由下式求出 (9-30) Mxtkxf xxtxtEdd.,dd,ddsin222 dd, tt mk和 是常数xacosa t dd, ,dd, ,ataatpqa 11第18页/共32页第十九页，共32页。 为了为了(wi le)求出未知函数求出未知函数 ,我们求我们求

15、 (9-31) 11, , ,aa,sinsincosddsincosdddd11aaatatatx sin2coscos2dd1121122aaaaatx第19页/共32页第二十页，共32页。 方程方程(fngchng)的左端可写为的左端可写为 (9-32)而方程而方程(fngchng)的右端可写为的右端可写为 (9-33) MxtkxMaaMaax addcossincos22111122 cossinsincossincosdsin,sindcos,cossindd,211200200cosEnafnafafafEtxxfnnnaxf af aaa02,cos,sin,cos第20页/共

16、32页第二十一页，共32页。式中式中 (9-34) 和和 可由下式求出可由下式求出 (9-35)由此可求出由此可求出 (9-36) 20022001dsin,1dcos,1nafafnafafnna1 1 sindcos,1220011EafaaM cosdsin,1220011EafaaM sindcos,21,cosdsin,21,20012001maEafaMaMaEafMaa第21页/共32页第二十二页，共32页。于是于是(ysh)一次近似方程具有以下形式一次近似方程具有以下形式 (9-37)利用第八章中已采用的符号利用第八章中已采用的符号, 上式可写为上式可写为 (9-38) sin

17、dcos,2ddcosdsin,2dd200200MaEafaMtMEafMta cosddMEaatae sinddMaEate第22页/共32页第二十三页，共32页。而而 可由下式求出可由下式求出 (9-39)由此可求出方程由此可求出方程(fngchng)的一次近似解与二次近似解。的一次近似解与二次近似解。 ua1 , , , 2001200221dsin,sindcos,cos111,nafnnafnaun第23页/共32页第二十四页，共32页。9.3 应用举例应用举例 例例 分析如下受简谐激励作用的非线性振动器在其激分析如下受简谐激励作用的非线性振动器在其激励力励力幅和激励频率慢变、通

18、过幅和激励频率慢变、通过(tnggu)共振时的强迫振动。共振时的强迫振动。 (1)式中式中 m, n, c, d, E 为正常数。按下式引入无量纲坐标为正常数。按下式引入无量纲坐标 x1 和时间和时间 t1 ： (2)mxtnxtcx dxEdd dd2232sinxdcx tcmt11,第24页/共32页第二十五页，共32页。这样原方程成为这样原方程成为(chngwi)（略去（略去 x1 和和 t1 的下标）：的下标）： (3)其中其中 。 假定系统中摩擦很小假定系统中摩擦很小( )，外力力幅和系统偏离平衡位置，外力力幅和系统偏离平衡位置量也较小量也较小( )。记。记: (4) 系统方程的第

19、一次近似解为系统方程的第一次近似解为: (5)dddd22312xtxtxxEsinbmcEEcdc,1 1Ex1211,fx xExxE( , , )( )sinsin 312)cos( ax第25页/共32页第二十六页，共32页。其中其中 a 和和 由如下第一次近似的微分方程组确定由如下第一次近似的微分方程组确定(qudng) ( ): (6) 先研究系统的平稳状态。这时，先研究系统的平稳状态。这时， ， 此外应有此外应有 。由上式得到振幅和外力频率之间第一次近似时的关系。由上式得到振幅和外力频率之间第一次近似时的关系: (7)dd tt( ),ddddataEtaEa 12111381(

20、 )cos( )( )sinddddatt00,ddt 0aaE222222121384()tg13822a第26页/共32页第二十七页，共32页。 设方程的第一次近似设方程的第一次近似(jn s)解为解为 (10)方程中非线性项为方程中非线性项为 (11) 设慢变质量和慢变刚度为设慢变质量和慢变刚度为 (12)yacosfcyt ddMmLKAELp( )( )( )( ) 13第27页/共32页第二十八页，共32页。 由此得出的幅频响应曲线和相频响应曲线由此得出的幅频响应曲线和相频响应曲线(解和激励均用正弦解和激励均用正弦表示，故相位角改为（表示，故相位角改为（ ），如图），如图 9-1 ( 参数取参数取 值值 )。 现在研究系统通过共振现在研究系统通过共振(gngzhn)的情况。设外力频的情况。设外力频率是时间的线性函数率是时间的线性函数 (8) 把把 值代入方程组值代入方程组, 进行数值积分。在两种进行数值积分。在两种 通过速度的通过速度的情况下情况下( ) 如图如图 9-2 所示所示: 23, 1, 1cm ( ) 0t ( ) 00010001.,.02. 0,01. 01En第28页/共32页第二十九页，共32页。例矿山提升机罐笼与钢绳组成的振动系统的方程例矿山提升机罐笼与钢绳组成的振动系统的方程(fngchng)为为