空间向量及其应用、空间角带详细答案

1、8.5空间向量及其应用、空间角五年高考A组 统一命题.课标卷题组1. 直三棱柱中，分别是，的中点，则与所成角的余弦值为（  ）。A:  B:  C:  D: 答案详解C正确率: 73%, 易错项: B解析:本题主要考查空间向量的应用。建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有，所以，则，所以。故本题正确答案为C。易错项分析：空间中异面直线夹角的解法，用空间向量法解题相对简单，本题易错点是正确建立空间直角坐标系，求出两条直线的方向向量，最后正确应用向量的数量积公式求出异面直线夹角的余弦值。2. （12分）如图，在四棱锥中，且。（1）证明：平面平面；（

2、2）若，求二面角的余弦值。答案详解（1）因为，所以，又因，所以，又因，所以平面，又因平面，所以平面平面。（2）因为，且，所以四边形为平行四边形。取，分别为，中点，连接，则。由（1）知平面，所以，所以，又因，所以为等腰直角三角形，所以。如图，以为原点建立空间直角坐标系，不妨令，则，则，设平面的一个法向量为，则有，设平面的一个法向量为，则有，所以，显然二面角为钝二面角，所以其余弦值为。解析:本题主要考查点、平面、直线的位置关系。（1）根据，先证平面，再证平面平面即可。（2）根据已知可证，然后建立空间直角坐标系，再设各点坐标，代入公式计算即可。注意所求二面角为钝二面角，所以其余弦值为。3. （12分

3、）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，是的中点。（1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值。答案（1）证明：作点为的中点，连接，。如图所示，因为是的中点，所以是的中位线，即，且，因为，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以直线平面。（2）如图所示，取中点，连接，由于为正三角形 ，所以，因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以平面，所以可以作以为原点，以为轴，以为轴，以为轴的空间直角坐标系。不妨设，则。又因为为直角三角形，所以。作，垂足为，所以平面。设，则，。易知即为直线与底面所成角为，所以，解得。因

4、此有，。所以，则，。设平面的法向量为，所以，即，可取，同样可取平面的法向量，所以。因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值为。解析本题主要考查空间几何体，直线、平面的位置关系和空间向量的应用。（1）作点为的中点，连接，利用题目条件证四边形为平行四边形即可得；（2）取中点，连接，作，垂足为，先以为原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，设，根据题目所给直线与底面所成角为先算出，的长度，再分别写出各点的空间坐标，算出平面一个法向量即可求解二面角的余弦值。题目来源：2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）：理数4. （本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面，为线段上一点，为的中点。（1

5、）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值。答案详解（1）连接，作，连接并延长交于点，因为底面，所以，所以，所以平面，因为为的中点，所以为中点，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，即，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，又因为，所以平面平面，所以平面；（2）取中点，连接。因为，所以，可得。以为坐标原点，所在直线为，轴建立直角坐标系，如图所示。则，因为为的中点，则。，。设平面的一个法向量为，则，即，不妨设，则，即，则直线与平面所成角的正弦值为。      .12分解析:本题主要考查点、直线、平面的位置关系，空间直角坐标系。（1）

6、过点作底面垂线，再由已知条件中四棱锥的高与底面垂直，从而得到一组平行线，再利用过点所作垂线垂足作侧边平行线来构造另外一组平行线，使得存在两组相交直线相互平行，即可证得相交直线构成的平面平行，进而得出其中一面上的任一直线与另一平面平行，证毕。（2）以体高在底面的垂足为原点建立空间直角坐标系，利用已知中已经给出的各边数量关系，表示出面的法向量和的坐标，从而求出直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值，再通过法向量方向的判断得出直线与平面的夹角正弦值。5. 本小题满分分）如图，长方体中，点，分别在，上，。过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

7、（）求直线与平面所成角的正弦值。答案详解（1）如图，交线围成的正方形如图所示。（2）如图，以，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系。作，垂足为，所以，因为四边形为正方形，所以，则，所以。则，。所以，。设平面的法向量为，则，得，。取，得。又，设直线与平面所成角为，则。解析:本题主要考查空间向量的应用。（1）根据勾股定理在线段上作点使得，则。（2）建立空间直角坐标系，分别求出和平面的法向量，即可求出和平面的夹角的正弦值。6. （本小题满分12分）如图，四边形为菱形，、是平面同一侧的两点，平面，平面，。（）证明：平面平面；（）求直线与直线所成角的余弦值。答案详解（）连结，设，连结，。在菱形中，不妨设。

8、由，可得。由平面，可知。又，所以，且。在中，可得，故。在中，可得。在直角梯形中，由，可得。从而，所以。又，可得平面。因为平面，所以平面平面。      .6分（）如图，以为坐标原点，分别以，垂直平面向上的方向为轴，轴，轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标系。由（）可得，所以，。      .10分故。所以直线与直线所成角的余弦值为。      .12分解析:本题主要考查空间几何体以及空间中点、线、面的关系。（）先后证

9、得和，利用线面垂直判定定理证得线面垂直，随后即可证明面面垂直；（）建立合适的空间直角坐标系，求出各直线所在方向的向量坐标，利用求得向量的夹角余弦值，取其绝对值即为直线所成夹角的余弦值。7. B 组 自主命题.省（区、市）卷题组1. 如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），分别为，上的点，分别记二面角，的平面角为，则（  ）。A:  B:  C:  D: 答案详解B正确率: 46%, 易错项: C解析:本题主要考查点、直线、平面的位置关系。如图1过点作平面，垂足为，再过点分别作、的垂线段，垂足分别为、，则，。将底面的平面图展开如图

10、2所示，以为原点建立平面直角坐标系，不妨设，则，因为，所以，则：，：，：，根据点到直线的距离公式，知，所以，又显然、为锐角，所以。 2. 如图，已知，是的中点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则（  ）。A:  B:  C:  D: 答案详解B解析:本题主要考查二面角的性质。若将线段平移到线段处，连接、，不妨设， ，所以，已知若，则两等腰三角形和应该相似，而现在，所以，即。综合知，。故本题正确答案为B。3. 如图，三棱锥 中， ，点 分别是 的中点，则异面直线 所成的角的余弦值是

11、          答案解析连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则MEAN，异面直线AN，CM所成的角就是EMC，AN=，ME=EN，MC=，又ENNC，考点：异面直线所成角4. （本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，。（1）求证：为的中点；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的正弦值。答案详解（1）设和交点为，连接。因为平面，平面，平面平面，所以。因为四边形是正方形，所以。在中，所以，即为的中点。（2）取中点，连接，并延长。因为，所以。又因

12、为平面平面，且平面平面，平面，所以平面。因为底面为正方形，所以，因为，以为坐标原点，分别以，为，轴。建立如图所示的坐标系，则，易知平面的法向量。设平面的法向量，则，即，所以可以取，因此。因为二面角是锐角，所以二面角大小为。（3）由（1）及（2）知，所以。设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为。解析:本题主要考查空间向量的应用。（1）记和交点为，利用线面平行的性质定理得到，从而证明为的中点。（2）证明平面，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积求二面角。（3）根据（2）的直角坐标系，利用向量的数量积求直线与平面所成角的正弦值。5. （本题满分15分）如图，已知四棱锥，是以为斜边的

13、等腰直角三角形，为的中点。（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值。答案详解（1）取的中点，连接，因为为的中点，所以，。因为，所以且。所以四边形是平行四边形。所以。又平面，所以平面。（2）过作，交的延长线于点。不妨设，则在和中，设，则易知，解得。过作底面的垂线且与底面交于点，易得，两两垂直，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，取，由题易得，则，。设平面的法向量为，则，令，则，故是平面的一个法向量。设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为。解析:本题主要考查线面平行的判定及线面角的三角函数值的求解。（1）取的中点，由中位线定理得到，由题意得到，所以

14、，且，即可证明是平行四边形，从而，即可证明平面；（2）过作的垂线且交延长线于点，过作底面的垂线且与底面交于点，可证明，两两垂直，建立空间直角坐标系，分别表示出，点坐标，求出平面的法向量和，即可求出与平面所成角的正弦值。6. （本小题满分10分）如图，在平行六面体中，平面，且，。（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值。答案详解（1）在平面内，过点作，交与点。因为平面，所以，。如图以，为正交基底建空间直角坐标系。因为，所以与轴的正方向的夹角为，根据已知的长度得，所以，设与的夹角为，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为。（2）建立坐标系同上，因为平面为平面，所以该平面的一个法向量为

15、，点，所以，设平面的一个法向量为，可得，取，所以，设二面角的平面角为，所以。因为，所以，所以该二面角的正弦值为。解析:本题主要考查空间向量、异面直线所成的角及二面角。（1）根据题干所给的信息建立坐标系，根据坐标系中点的坐标写出与的坐标，由夹角公式即可求得两直线夹角的余弦值；（2）在（1）中建立的坐标系中分别求出平面和平面的一个法向量，由夹角公式即可求得两直线夹角的余弦值，进而得到二面角的正弦值。7. （本小题满分12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点。（1）设是上的一点，且，求的大小；（2）当，时，求二面角的大小。答案详解（1）因为，

16、且，平面，所以平面，又平面，所以，又，因此。（2）如图所示，以为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系。由题意得，故，。设是平面的一个法向量，由可得取，可得平面的一个法向量。设是平面的一个法向量，由可得取，可得平面的一个法向量。所以，因此所求二面角的大小为。解析:本题主要考查点、直线、平面的位置关系、空间几何体及空间直角坐标系。（1）根据已知条件，首先证明平面，进而，又，因此。（2）以为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，分别计算平面和平面的法向量，进而得到两平面夹角的余弦值。8. （本小题满分15分）如图，在三棱台中，已知平面平面，。（1）求证

17、：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值。答案详解（1）延长，交于点，如下图：已知平面平面，因为平面，所以平面，又平面，所以；已知，因为，所以，分别为，中点，所以，。因为平面，平面，所以平面；（2）过作的垂线，垂足为，连接，因为，所以平面，即为二面角的平面角，如下图：因为，所以中，；因为平面，所以，即中，所以，又，所以。因为，所以，所以二面角的余弦值为。解析:本题主要考查点、线、面的位置关系。（1）根据平面平面且，得，根据且为中点，得，即可求证；（2）过作的垂线，垂足为，连接，得为二面角的平面角，根据已知条件求得，的长，即可求解。9. （本小题满分13分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与

18、底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。在如图所示的阳马中，侧棱平面，且，点是的中点，连接、。（）证明：平面。试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只要写出结论）；若不是，请说明理由；（）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值。答案详解（1）因为底面，所以，由底面为长方形，有，而，所以平面。而平面，所以。又因为，点是的中点，所以。而，所以平面。由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为，。（2）由已知，是阳马的高，所以；由（1）知，是鳖臑的高，所以。在中，因为，点是的中点，所以，于是。解析:本题主要考查空间

19、几何体。（1）综合利用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质、直线与直线垂直的判定定理可得到平面，进而证明平面；由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑。（2）由题意可知是阳马的高，是鳖臑的高，在中，列出、的表达式，化简可求得。10. （本小题满分13分）如图，在三棱锥中，底面，。点，分别为棱，的中点，是线段的中点，。（1）求证：平面;（2）求二面角的正弦值；（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长。答案详解如图，以为原点，分别以，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系。依题意可得，。（1），。设为平面的法向量，则即不妨设，可得是平面的一

20、个法向量。又，可得。因为平面，所以平面。（2）易知为平面的一个法向量。设为平面的法向量，则，因为，所以不妨设，可得是平面的一个法向量。因此有，于是。所以，二面角的正弦值为。（3）依题意，设（），则，进而可得，。由已知，得，整理得，解得或。所以线段的长为或。解析:本题主要考查线面平行的判定、二面角、异面直线所成的角及空间向量的应用。以为原点，分别以，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系。（1）求出平面的法向量，由可得平面。（2）根据题意知为平面的一个法向量，再求出是平面的一个法向量，则与夹角的正弦值即为二面角的正弦值。（3）设（），写出，的坐标，结合向量的夹角公式及已知条件，列方程即可求得线

21、段的长。11如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，。（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为线段上的点，且。求直线和平面所成角的正弦值。答案详解（1）取的中点点，连接、，如图所示：根据题意则有，且，又四边形为矩形，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，EG不在平面ADF中，所以平面； （2）连接，如图所示：根据条件可得，所以平面，所以，又，所以为二面角的平面角，所以，所以；（3）如图建立空间直角坐标系：则，设点为，即，所以，设平面法向量为，所以，且，取，所以，所以，所以与平面所成角的正弦值为。解析:本题主要考查点、直线、面的位置关系，空间直角

22、坐标系。（1）取的中点点，做出平行四边形，由线线平行关系推得线面平行关系。（2）先证明面，即可得出为所求二面角的平面角，再通过直角三角形数量关系，即可求出。（3）建立空间直角坐标系，根据已知条件，表示各点坐标，求出平面法向量，然后利用向量的点乘即可求出两向量夹角的余弦值，经过判断平面法向量方向后，即可求出线面夹角的正弦值。 突破方法方法1 求异面直线所成的角的方法例1方法2平行与垂直/直线与平面所成的角例2如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，且平面，分别为，的中点。（1）证明：平面；（2）过点作，垂足为点，求二面角的平面角的余弦值。      &#

23、160;                         答案详解（1）连接，因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以。又因为平面，平面，所以平面。（2）在菱形中，得，。又因为平面，所以，。所以。所以。而分别是的中点，所以，且。取线段的中点，连结，则，所以为二面角的平面角。由，故在中，得。在直角中，得，。在中，得。在等腰中，得。在中，得。所以二面角的平面角的余弦值为。解析:本题主要考查线面平行的证明和求解二面角。（1）欲证明平面，只需证明与平面上的一条直线平行且直

24、线不在平面上。由题可得，故平面。（2）连接，可得，连接，得，取中点，连接和，故可得，则即为二面角的平面角。分别求得的三边长。由余弦定理得。所以二面角的平面角的余弦值为。 方法3求二面角的方法例3如图,直三棱柱中,是棱的中点,(1)  证明:(2)求二面角的大小. (12分) 答案详解解析:分析试题：（1）要证：需要证，进而需要证明.(2) 求二面角的关键是找或做二面角的平面角，取的中点，过点作于点，连接，再证H与D重合，进而得到是二面角的平面角,然后解三角形求角即可.（1）在中，得：同理：得：面(2)面取的中点，过点作于点，连接，面面面 得：点

25、与点重合且是二面角的平面角设，则，即二面角的大小为.考点：线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定与性质，二面角.点评：掌握线线垂直，线面垂直，面面垂直的相互转化的依据是它们的判定与性质定理，求二面角关键是找（或做）出二面角的平面角.方法4求空间中距离的方法例4图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90°，AC=BC=a，D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角M-DE-A为30°。（1）证明：A1B1C1D；（2）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离。答案"解：（1）证明：连结CD 三棱柱ABC-A 1B 1C

26、 1是直三棱柱  平面  CD为C 1D在平面ABC内的射影 ABC中，AC=BC，D为AB中点        。 （2）过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF D、E分别为AB、BC的中点   又    AF为MF在平面ABC内的射影    为二面角 的平面角，  在RtMAF中， ，    作 ，垂足为G    平面AMF 平面MDE平面AMF AG平面MDE 在RtGAF中， ，AF=    即A到平面MDE的距离为    CA平面MDE C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离