高数常用公式定理39571

1、高等数学公式导数公式:(tgx (ctgx (sec (csc (a x(log)-sec 2 x)- csc 2 xx ) :' - sec x .tgxx)- - csc x ctgx广a x ln a1x In a(arcsinx) .二(arccos(arctgx(arcctgx1、彳 _ x 21,1 - x 21- x 21基本积分表：三角函数的有理式积分:tgxdx = -ln cosx +CJctgxdx = ln sin x + CJsecxdx =ln secx+tgx + Cdx.2-cos xdx.2 sin x2 secxdx = tgx C2= csc xd

2、x = -ctgx CJcscxdx =ln cscx - ctgx +Csecx tgxdx = secx Cdx.-22a x1, x c二一 arctg- Ccscx ctgxdx = - cscx Cdx22x -ax -axa、dx* C2ashxdx = chx Cdx22a - xdx1 . a x二ln C2a a - xchxdx = shx C.a2 - x2=arcsin- Cadx,x2 a2=ln(x . x2 a2) CInJI2=sin n xdx =cosn n -1xdx 二I n _2n2vx2 +a2dx = xx2 +a2 +a-ln(x + Jx2 +

3、 a2) +C222Vx2 -a2dx =xx222 a . 4厂-alnx+Ux.a2 -x2dxSa2222 a. x-x arcsin - C2u sin x =r,1 u21 -u2C0sx 二.x u =tg-,2一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦双曲余弦双曲正切x_x e -e:shx 二2x_x, e e:chx 二2x xX1 shx e -e:thxxxchx e esinx /lim=1T Xlim （1 l）x = e = 2.718281828459045J xarshx =ln（xx2 1）archx - _ln（xx2 -1）1 1 xarthx ln 2 1 -

4、x三角函数公式:,和差角公式:和差化积公式:sin（二 ） cos（ < 二 I ）= sin 二，cos !-二 cos 备 sin :tg （:工二 I-）= cos二 cos : "sin 二 sin :tg 二 tg ：1 - tg 二 tg :ctg （、：二 I '）二ctg 二 ctg ： "1ctg l-：,二 ctg.：R a + P a - P sin , “ sin - = 2sincos22R a + P a - P sin 二 一sin - =2 cossin22R o a+Pcos 工 " cos - =2coscos22

5、R ot+P a - P cos: - cos - = 2 sinsin22倍角公式:sin2： = 2sin 二 cos：22cos2 =2cos - -1 =1 2sin2=cos-sin2 二3sin3- =3sin” -4sin -ctg2： =tg2：=,2ctg -12ctg：2tg：3cos3- -4cos ” -3cos：1 -tg2：半角公式:asin & -二1 -cos -a cos 2_1 cos：atg - -21cos：1cos： sin：,1 cos二 sin 二 1 cos：actg - -21 cos：1 cos：sin :1 一 cos 二1 一 c

6、os：高阶导数公式莱布尼兹( Leibniz )公式:n/、(n)-、 i (nJs) (k)(UV) - CnU Vk卫= u(n)v nu(nl)vn(n -1)u(n)v n(n-1) (n-k 1)u(n)v(k) .uv(n)2!k!平面的方程：1、点法式：A(x-X0) B(y - y0) C(z-z0) =0,其中 n =A,B,C, M0(X0,y0,Z0)2、一般方程：Ax By Cz D = 03、截距世方程：X /=1 a b c平面外任意一点到该平 面的距离：d =lAx0 +By0 +Cz0 +DI.A2 B2 C2x = x0 + mt空间直线的方程：x-x0 =

7、-y0 = z一z0 =t,其中s =m,n, p;参数方程：4 y = y0 + nt m n p、z = Zo + pt二次曲面：2221、椭球面：xy ' - J =1 a b c222、抛物面：+L=z,(p,q同号)2p 2q3、双曲面： 222单叶双曲面：、$ J =1 a b c222双叶双曲面：4+ 1=1(马鞍面)a2 b2 c2多元函数微分法及应用全微分：dz = dx dy du = - dx dy - dz ；xfy；x2y；z全微分的近似计算：z dz = fx(x, y)LX fy(x, y)y多元复合函数的求导法：z = fu(t),v(t)dz；z ；:

8、ujz jv亍- t 11* dt；:uftjv Ftz:z ju；z Nz = f u(x, y),v(x, y) 一 二 x. u :x一 v :x当u =u(x, y), v =v(x,y)时，,：:u ,：:u ,du =dx dyx :ydv-:v . N ,二一dx dy一x y隐函数的求导公式:隐函数 F(x,y) =0,dy = -FxdxFy隐函数 F(x,y,z) =0, xFz,2d y二/ FxFx dy2(一)十()dx；xFyFy Fy dx,:z _ _ Fy二y 一 一 Fz隐函数方程组：*x,y,u,v) =0j =FG) =1G(x,y,u,v) =0d(u

9、,v):u1 f(F,G)；v1 ；:(F,G) = - *:xJF(x,v)；xJ：:(u,x):u1f(F,G)；:v1"F,G) - 11 syJ：:(y,v)ZJ：:(u,y)微分法在几何上的应用:x = (t)空间曲线y =中(t)在点M (x0,y0, 4)处的切线方程: lz - - (t)FvGVu uF G干.:V.:G.:v干.:U.:G.:ux -xo 二 y - yoz-zo (to)在点 M处的法平面方程：邛(t0)(x x0)+中'(t0)(y y0) +8'(t0)(z z0) =o若空间曲线方程为：F(x,y,z)=°则切向量

10、7=Fz,Fz Fx,Fx FyG(x,y,z)=0'%y Gz'Gz Gx，Gx Gy'曲面 F (x, y,z) =0上一点 M (xo, yo,z0),则：1、过此点的法向量：n =Fx(xo, yo,zo), Fy(xo,yo, zo), Fz(x0, yo,z。)2、过此点的切平面方程：Fx(xo,yo,zo)(x-xo) +Fy(xo,yo,zo)(y-yo) + Fz(xo,yo,zo)(z-zo) = 03、过此点的法线方程:x x。_ y 一 yo_ z zoFx(xo,yo,zo)Fy(xo, yo,zo) Fz(xo,yo,z°)方向导数

11、与梯度：函数z= f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为：=costP + sinP；:l jx；:y其中邛为x轴到方向l的转角。f 二 f函数z= f (x, y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf(x,y) = i +j；x ；:yf匕与方向导致的关系是：一=grad f (x, y) e,其中e = cosP i +sin中j,为l方向上的 fl单位向量。二 更是gradf (x,y)在l上的投影。Fl多元函数的极值及其求法：设 fx(x0,yo) = fy (x0, y0 ) = 0 令:f xx (x0, y0 ) = A, fxy (x0, y0 ) =

12、 B, fyy(x0,yo) = C=2：A <0,(x。，y。)为极大值AC -B >0时,3/击6 A 0,(xo,y。)为极小值则：,ACB2<0时，无极值AC-B2 =0日t,不确定重积分及其应用:I l f (x, y)dxdy = f (r cos "r sin i)rdrd1曲面z = f (x, y)的面积 A = JJ11 + z1+ z ) dxdy d改! y：(x,y)d二DI I p(x, y)d。Dx：(x,y)d 二M平面薄片的重心：x=M=D, y yM.：(x,y)d。MD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix = y2P(x,y)db,

13、对于y轴I y = Hx2P(x, y)d。平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M (0,0,a),(a >0)的引力：F =Fx,Fy,Fz,其中:；(x,y)xd 二Fx f j，D / 222 2(x y a )2(；(x, y)yd二Fy f pD / 222 /2(x y a )2；(x, y)xd二Fz - - fa 3D / 222 2(x y a )2柱面坐标和球面坐标:x = r cos 二柱面坐标：t y =r sin 8,JJJ f (x, y, z)dxdydz = Jjj F(r,仇 z)rdrd Odz,z = zAJ其中： F (r ,1,z) = f (

14、r cos 工 r sin 二，z)x = r sin : cos?球面坐标：4 y =r sin 中sin日， dv = rd 邛 rsin甲 d日 dr = r2sin 中drd5d<3z = r cos 中J2 二 二r(in f (x, y,z)dxdydz = F(r, ,1)r2sin ；drd d 二- dd : F (r, ,)r2 sin drc-<0001 一 _1 一1重心： x= x： dv, y= y： dv, z= z： dv,其中 M = x=: dvM同MM转动惯量：Ix !(y2 z2)：dv,Iy： iii(x2 z2)：dv,Iz g (x2

15、- y2) ：dvQQ'6曲线积分：第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：3x =y ='一 (t)(a Et W P),则:y = (t)"(x,y)ds= jfN(t)W(t)db2(t)+W "(t)dt(« <P)特殊情况:第二类曲线积分(对坐 标的曲线积分)：设L的参数方程为,x=*(t),则：J川PP(x,y)dx Q(x,y)dy = P:(t) (t) Q ：(t)J (t): (t)dtL ：两类曲线积分之间的关 系：JPdx+Qdy = J(Pcosa +QcosP)ds其中a和P

16、分别为 LLL上积分起止点处切向量 的方向角。Q 沪Q 沪格林公式：(-)dxdy = - Pdx Qd册林公式：(-)dxdy = : Pdx QdyD OX :VLD 二x yL当p = 一y,Q=x,即：学一合=2时，得到 D的面积：A= JJdxdy = 1；Jxdyydx 二x 二yd2 l平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且以=正。注意奇点，如(0,0),应 ；x；y减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：在£Q=史时，Pdx + Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：

17、ex二 y(x,y)u(x,y) = P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常设 x0 = y0 = d(xo'y。)曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds= fx, y,z(x,y). 1 z2(x,y) z2(x, y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：ZJJ R( x, y, z) dxdy =主 J J Rx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号； DxyJP(x, y, z)dydz = ±JPx(y,z), y,zdydz,取曲面的前侧时取正 号

18、； Dyz口Q(x,y,z)dzdx = ±JQx,y(z,x),zdzd为 取曲面的右侧时取正 号。'.二Dzx两类曲面积分之间的关 系：JPdydz+Qdzdx+Rdxdy= H(Pc0st +QcosP +Rcos；')ds ZZ高斯公式：，沪；Q H .111（一一一）dv= ：iPdydzQdzdx Rdxdy= . （Pcos：； Qcos： Rcos ）ds；：x；:y：z rr常数项级数:等比数列：1 q , q2，,，qn工=1 -q1 -q等差数列：1 2 3 n = （n 1）n2调和级数：i J！是发散的 2 3 n级数审敛法:1、正项级数的审

19、敛法 根植审敛法（柯西判 别法）：二：二1时，级数收敛设：PTimn/U",则P>1时，级数发散n-工P=1时，不确定2、比值审敛法：设:= lim"二Un。：二1时,级数收敛,则，P>1时，级数发散P=1时，不确定3、定义法: sn =u1 +u2+un;|imsn存在，则收敛；否则发 散交错级数U1 -u2 +U3 -U4+（或-U1 +u2-u3 +，un A 0）的审敛法莱布尼兹定理：,1、 八, un - unHt一一一人一 如果交错级数满足2那么级数收敛且其和SMu1,其余项rn的绝又t值rn Mun+。lim un =0'5jpc绝对收敛与

20、条件收敛:(1)u1 + u2 +un +，其中 un为任意实数;(2) %| + u2| + U31 +回| +如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数;如果(2)发散，而 (1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数：'、1发散，而 、 七支攵敛； nn,一1 .级数：'、.收敛； np级数：£1/p E 1时发散n p' p . 1时收敛哥级数:一，一一 1x <1时，收敛于1 -x冈士1时，发散对于级数(3)a0 +a1x +a2x2 +anxn +如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全x :二R时收敛数轴上都收敛，则必存 在R,使(

21、卜> R时发散，其中R称为收敛半径。x = R时不定："0时，R求收敛半径的方法：设lim)咄 =P,其中an, an由是(3)的系数，则(P = 0时，R = "1 an P = 时，R=0函数展开成哥级数：函数展开成泰勒级数：f (x) = f(x0)(x -x0)f (x0)(x-x0)2- -一3(x-x0)n2!n!八十f(n 1)( )余项：Rn= - +(x-x0)n* f(x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是：&=0x0 =0时即为麦克劳林公式：f (x) = f(0) f (0)xUSx2-(©xn2!n!一些函数展开成骞级数：mm

22、(m-1) 2 . m(m-1) (m-n 1) n(1 x) 1 mx - x - x(- 1 ： x ： 1)2!n!352n 4sinx =x -(-1/x二 x ：二)35!(2n -1)!f(t) =Ao - :An sin( n - .t，n ) = a-0- 年 (a n cos nx -bn sin nx ) n A2 n A其中， a°=aAo， an=AnSin 中 n， bn=AnCOSn，0t =x。正交性：1 ,sin x , cos x, sin 2 x , cos 2x- sin nx , cos nx ,，任意两个不同项的乘积在一元，n上的积分=0。f

23、 (x) - al - v ' (an cos nx -bn sin nx),周期 =2 -an =1 ( (x) cos nxdx(n=0,1,2。傅立叶级数：其中彳 n*bn = f (x)sin nxdx (n =1,2 ,3一)I n 221 U 一；811。最 $ 一二M(相加)一=二 i_L-L_L一=三(相减)尸尸 尸 24 尸尸 尸 12正弦级数：a n 一0,bn- 2 f (x) sin nxdxn _ 1,2,3,f (x) 一'. bn sin nx是奇函数二 0.一2 .;a,余弦级数：b n 0,a nf ( x) cos nxdxn _0,1,2 Lf (x) 0- +，a n cos nx是偶函数二 0一一 2n微分方程的相关概念：一阶微分方程：y'=f(x, y) 或 P(x,y)dx + Q(x, y)dy = 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy= f(x)dx的形式，解法：g(y)dy =ff (x)dx 得：G(y) = F(x)+C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方 程可以写成包=f(x,y)=5(x,y),即写成丫的函数，解法： dxx设口=丫，则曳=u+xdu, 口+叫=53),.=/分离变量，积分后将2代替u, x