高等代数试题五

1、向量空间一判断题 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法：kaua.kWR,作成实数域R上的向量空间.（）.（2）平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法：k =0, k W R,作成实数域R上的向量空间.（）. 一个过原点的平面上所有向量的集合是V3的子空间.（）.（4）所有n阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间Mn（R）的子空间.（）.n（ Xi,X2，Xn） |£ Xi =1,Xi W R为 Rn 的子空间.（ ）.i <（6）所有n阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间M n （R）的子空间.（）.（ Xi,0，0, Xn） |Xi, Xn W R为 Rn 的子空间.（）.（

2、8）若口1 ,口2, 4, 口4是数域F上的4维向量空间V的一组基，那么口1 ,Of2,a2 +口3,口3 +口4 1234122334是V的一组基.（）.n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基.（）.（10）设a1,a2， 是向量空间V中n个向量，且V中每一个向量都可由 巴,口2，5线性表示，则a1,%，是V的一组基.（）.（11） 设以， &是向量空间V的一个基，如果Pi, A,，Pn与巴,。2,9n等价，则Pi,网,，Pn也是V的一个基.（）.（12） X3 关于基 X3,X3 +x, X2 +1,x+1 的坐标为（1,1,0, 0）.（ ）.（13）设V1,V

3、2,'" ,Vs为n维空间V 的子 空间，且V =V+V2 +Vs .若 dim V1 +dim V2 + +dim Vs = n ,则Vi +V2 + +Vs 为直和.（）.（14）设V1,V2,，Vs为n维空间V 的子空间，且V =V1 +V2 +Vs .若V1 1v2=0,(V1+V2) Qv3=0,，(V1+V2+VsJ)QVs =0,则V1+V2 + +Vs为直和.().（15） 设 V1 ,V2，Vs为 n 维空间 V 的子空间，且 V =V1 +V2+ +Vs . 若Vi n（£ Vj） =0, 则V1 +V2 + +Vs为直和.（）.jT二（16）设

4、Vi,V2,，Vs为 n维空间V 的子空间，且V =Vi +V2 +Vs . 若Vi n（Vj） =0, i / j ,则V1 +V2 中. +Vs 为直和.（）.（17）设V1 ,V2，Vs为n维空间V的子空间，且V=V1+V2+ +Vs.零向量表法是唯一的，则V1 +V2 +Vs为直和.（）.（18）设必，%，”是向量空间V的一个基，f是V到W的一个同构映射，则W的一个基是 f （11）, f （:口,，f （： n）.（）.（19）设V是数域F上的n维向量空间，若向量空间V与W同构，那么W也是数域F上 的n维向量空间.（）.（20）把同构的子空间算作一类，n维向量空间的子空间能分成n类.

5、（）.答案 （1）错误（2）错误（3）正确（4）错误 （5 ）昔误（6 ）£确正确（8）正确（9）正确（10）错误（11）正确（12）错误（13）正确（14）正确（15）正确（16）错误（17）正确（18）正确 （1 9亚确 （2 0船误填空题全体实对称矩阵,对矩B的 作成实数域R上的向量空间.a © b =ab,k 0a = ak,构成R上的向量空间a © b = ab , k。a=:构成R上的向量空间R ,对加法和纯量乘法则此空间的零向量为全体正实数的集合Rt对加法和纯量乘法R R用勺负向量为全体实二元数组对于如下定义的运算(a , b ) (c ,d =)a

6、 c ,b dk( k -1)2 k (a ,b )= ka kb , a2a c),),构成实数域R上的向量空间.则此空间的零向量为 .全体实二元数组对于如下定义的运算：(a , b ) * (c ,d =)a c , ,b，d a c),k( k - 1 ) 2 k (a ,b )= ka kb a ),2构成实数域R上的向量空间.则(a,b)的负向量为 .(6)数域F上一切次数 n的多项式添加零多项式构成的向量空间Fnx维数等于 任一个有限维的向量空间的基 的，但任两个基所含向量个数是 .(8)复数域C作为实数域R上的向量空间，维数等于 ,它的一个基为 .复数域C看成它本身上的向量空间，

7、维数等于 ,它的一个基为 .(10)实数域R上的全体n阶上三角形矩阵，对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间，它的维数等于.(11) 向量 口 =(0, 0, 0,1)关于基 % =(1,1, 0,1),久2 = (2,1, 3,1), «3 = (1,1, 0, 0)a4 =(0,1, 1,1)的坐标为 .(12) x2 +2x +3 关于 F3x的一个基 x3,x3 +x, x2 +1,x +1 的坐标为 .(13)三维向量空间的基 1 =(1,1,0),仪2 =(1,0,1),则向量P=(2,0,0)在此基下的坐标为 .(14) V和W 是数域F上的两个向量空间，V到W 的映射f满

8、足条件, 就叫做个同构映射 .(15)数域F上任一 n维向量空间V都与向量空间 同构.(16) 设 V 的子空间 W1,W2,W3,有 W1W2 =W1 riW3 =W2W3 =0,则 W1+W2+W3直和.答案1 2加法和数重乘法(21(3) (4) (0,0) (5) (-a, a b) (6) n +1 不唯一，相an(n - 1 )等 (8)2 ; 1i,( 9 1 ; 1 ( 1 0 ) (11) (1,0, -1,0)(1210,0,1,2(13X1,1,1 )2(1 4 ) f 是 V 到 W 的双射；对任意 c(,PwV,f(o(+P) = f(o() + f(P)；对任意na

9、 u F,豆 u V,f( oa )= a(f (1 5 F ( 1 6 不一7E是三简答题(1)设V =Mn(R).问下列集合是否为V的子空间，为什么？1)所有行列式等于零的实n阶矩阵的集合 W1；2)所有可逆的实n阶矩阵的集合 W2 ;(2)设L(R)是实数域R上所有实函数的集合，对任意f , g W L ( R),九W R,定义(f g)(x)= f (x) g (x), ( f )(x) =?. f (x), x R对于上述运算L(R)构成实数域R上向量空间.下列子集是否是L(R)的子空间？为什么？1)所有连续函数的集合W1 ；2)所有奇函数的集合W2；3) W3 = f | f L(

10、R), f(0) = f (1);(3)下列集合是否为Rn的子空间？为什么？其中R为实数域.1) W1 = - =(22，,xn) |x1X2 xn =0, Xj R；2) W2 = -' = ( x1 , x2 , xn ) | x1 x2X n = 0, xi , R；3) W3 =0(=际Q2，Xn) |每个分量Xi是整数;设A,X,b分别为数域F上m Mn, n父1, m父1矩阵，问AX = b的所有解向量是F上的向量空间吗？说明理由.下列子空间的维数是几？31) L(2, -3,1), (1,4, 2), (5, -2, 4)三 R ；222) L(x - 1,1 - x ,

11、 x - x)三 F x(6)实数域R上mn矩阵所成的向量空间 M m茹(R)的维数等于多少？写出它的一个基.(7)实数域R上，全体n阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少？(8) 若必，二2,，%是数域F 上n维向量空间V 的一个基，5+ a2 0(步,93 n,ot+1na 他是V画勺一个基吗？,4, n,n , n x -1,x +2, (x -1)( x +2)是向量空间Fzx的一个基吗?(10) 取 R4 的两个向量 6=(1,0,1,0), 口2 =(1,1,2,0).求 R4 的一个含 a1,u2 的基.(11) 在 R3 中求基 5 =(1,0,1), «2 =(1,1

12、, -1), 0(3 =(1,_1,1)到基?1 =(3, 0,1),阳=(2, 0, 0),隹=(0, 2, -2)的过渡矩阵.(12) 在中 F4 求向量 £=(1,2,1,1)关于基 =(1,1,1,1), 口2 =(1,1, -1, -1),0(3 =(1,-1,1,-1) 0t4 =(1,，_1,1)的坐标.(13)设四表示几何空间V3中过原点之某平面rL的全体向量所构成的子空间 ，W2为过原 点之某平面口2上的全体向量所构成的子空间，则叫亚2与叫+W2是什么？ W1 +W2能不 能是直和？(14) 设 W1 =L(5 ,%,%), W2 =L(P1 , P2),求 W1

13、1亚2和叫 +W2 .其中：1 =(1,2, -1, 一2), ： 2 =(3,1,1,1), ： 3 =(-1,0,1,1) ； -1 =(2, 5,-6,5), % = (1,2, -7,3).(15)证明数域F上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们维数相等'ab、(16)设V =|a,b,c W R, W =( d,e) | d ,e W R,都是实数域R的向量空间.问V与炉”W是否同构？说明理由.(17)设5,%,，%为向量空间的一个基，令口 =% +口2 +%,i =1,2-”,门且Wi = L(Pi).证明V =W1 ©W2Wn .答案(1)1) W1不是V

14、的子空间.若A,B W W1 ,| A + B |若未必等于零，W1对加法不封闭2) W2不是V的子空间.因为A乏W3,| A |#0 ,则| A|#0 ,但| A+(A) |=0，对加法不封 闭.1) W1是L(R)的子空间.因为两个连续函数的和及数乘连续函数仍为连续函数2) W2是L(R)的子空间.因为两个奇函数的和及数乘奇函数仍为奇函数3) W3是L(R)的子空间.因为W3非空，且对任意f,gWW3,九WR,有(f - g )(0) = f (0) - g(0) = f(1) g(1) =(f , g)(1)； f (0) =.t.( f (0) f (1) =( f )(1),故 f

15、- g, f 三 W3.(3)1)是.因W1是齐次方程组x1 +x2+xn =0的全体解向量.2) W2不是Rn的子空间.因W2对加法不封闭.3) W3不是子空间.因对数乘运算不封闭.(4)当b00时，AX =b的所有解向量不能构成F上的向量空间.因n维零向量不是AX =b的解向量.当b=0时,AX =0的所有解向量能构成F上的向量空间.(5)1) 维数是 2.因(2, -3,1), (1, 4, 2)线性无关，而(5, -2, 4) =2(2, -3,1) +(1,4,2).2)维数是2.因易证x -1,1 -x2线性无关，但(x 1)十(1 x2)十(x2 x) = 0 .(6) 解 令E

16、j表示i行j列位置元素是1其余是零的mn矩阵.那么易证Ej这mn个矩阵是线性无关的.它们作成Mm而(R)的一个基，故Mm而(R)的维数是m黑n.(7) E.,Eij十Ej ,i, j =1,2, 3，n,i ¥ j,为全体n阶对称矩阵构成的向量空间的一个基其中共有n +1 +2 +(n -1)个向量，故此向量空间的维数 n(n +1) .2(8)解由(二 1 ' ?2," /n,1 '/，1)= ( 1 ,"2 ,/ .)得 | A |=1 ' ( -1)当n为偶数时，| A |= 0 ,故% +口2,1M2 +a3,«n +&#

17、171;1线性相关,它不构成基.当n为奇数时，|A|#0,故«1 +口2,口2 +a3,an +口1线性无关，它构成一个基 解在基1,x,x2之下有12-22(x1,x+ 2，冷 1X)(=2) x(X, ,)1 . 11I0 0 1;因上式右方的3阶矩阵为可逆所以x -1,x +2, (x -1)( x +2)线性无关,它是F2x的一个基.1100-1012100000-1 :0 ,01(10) 解取向量曷=(0, 0,1, 0),即=(0, 0,0,1)，由于因此外,0(2,男,%线性无关，所以向量组是R4的一个基.(11)解由(二 1 ,- 2 , 3 >；( 1； ,

18、2 ,A ) ： , <1：,2=,3 ； ) ；1(；B ,)推出(：1-23 ：( p , 2 , A )b因此所求过渡矩阵为01B =： 212I1I1-1(12)解取F 4的标准基备，82,53,84 .由a,4，%, %到四,0( 2,3,0( 4的过渡矩阵为411111- 1 - 1A =1-11 - 14-1 - 11于是上=(1,2,1,1)关于基%,4,三,%的坐标为21414141< 4 J(13)解由于W1 ,亚2皆过原点,它们必相交,因此或重合,或不重合.若W1与亚2重合，则W1Cw2=W1,W1+W2=W1.若W1与W2不重合,则W1r1W2为一条过原点的

19、直线,而W1 +W2 =V ,彳IW1 +W2不能是直和.(14)解设了 = kq +k2a2 +k3a3 =t1 口十t2 B2 W W1 Q W2为交空间的任意向量.由k1 ：- 1 - k 22 k 1 3 3t : 1-t1 :2 0,2得齐次线性方程组'k1 +3k2 -k3 -2t1 +t2 =02k1 +k2 5t1 2t2 =0-k1 k2 k36 tl 7t2 =0-2k1 k2k3 -5t1 -3t2 =0由行初等变换知方程组的系数矩阵的秩为4 ,解空间的维数为1 ,且求得方程组的一般解为4896k1 = -t2,k2 = -t2, k3 = -t2,k4 = -t

20、2 因此维(W1 W2) =1,维(W1 +W2) = 4 . 7777取t2 =7 ,令亡=-6冉+7 P2便有W1 1亚2 = L(b ,另外显然W1 +W2 = 1(%9293,口).(15)证明 设数域F上两个有限维向量空间V与W的维数均为n ,因V与F n ,W三F n所以V三W .反之，若V三W ,设dim V =n >0,且f是V到W的同构映射.取V的一个基以，” ,% ,易证 f (%), f (%),，f (Ctn)是W 的一个基,故dim W =n .(16) V与W不同构.因dim V =3, dim W =2 , V与W的维数不相等.(17)证明 任取V WV ,

21、若a =a1% +a2a2 +anJ ,那么二=(a1 -a2 -an) ：1 ,。-a3 -an ) ：2 . ( an 工 - an) ： n J 丁 n ： n因此V =W1 +W2 +Wn ,并且V中向量依诸 Wi表示唯一，故V二Wi 二 W2 ；：Wn四计算题 设由 S =(1, 2, 2,_2)皇2=(1, 3, 乂03=(2,，2,5)成 R4的子空间W.试从向量组 艮 =(3, 1, 0, 3)&=(2- 1,0,3%=(3, 4 2,俺),=(1,7,4,中间亚的生成元.A ,在A的行施行初等变换 解 以0tl ,。2 ,口3及H, P2，久，丸为列做成矩阵-12：

22、32313-11- 1 - 47T0200 - 24,10010000-15： 331 6-,150 11 / 20 0- 1/2111 / 20 0-4由于行初等变换不改变列向量间的线性关系由矩阵B知01 =% +%, &=+%,久=2% +%从而 L(P1,p3,P4)W .但由 B 还知民总艮 线性无关，故P1,用，A为W的一组生成元a4 =(1,5,与,1)生成的子空间的一个基和维数.解对下述矩阵施行行的初等变换4110 -6 3-95151515TT3-3-30 一1 261 8-111< 042 6S000'13 0 20000仁213,个极大无关组，因此此变

23、换保持列向量间的线性关系，由右方矩阵知鬼。3是1 , 3L(0(1 ,o(2 ,o(3 ,a4的维数实是2，而外 ,久3是它的一个基(3)在R4中求出向量组ot1,o(2,o(3,o(4,ot5的一个极大无关组，然后用它表出剩余的向量这里：-1 =(2,1, 3,1), ： 2 =(1,2, 0,1),1 3 二(_1,1, 一3, 0), : 4 =(1,1,1,1), : 5 =(0,12, -12, 5) .解对下述矩阵施行行的初等变换121-110)r 112111 2T-130-31 -123I110151 10-10103,000-1-3-101-12T 000 - 2 -6(11

24、0150101101,5001、3000，由右方矩阵知口2,口3,口4是一个极大无关组，并且有-2 - - 3:飞二2：2 5：3 3 :,5(4)求M3(F)中与矩阵A可交换的矩阵构成的子空间的维数及一个基，其中解设这个子空间为W,由于A =I + B ,这里000 'B =000<31b因此与A可交换的3阶方阵，就是与B可交换的3阶方阵，从而W=XM3 ( F) | B X=X.B任取 C 虻 W , C = (cij).由 BC = C B ,可得 c13 =c23 = 0, 3Gl +c21 +c31 = 3c33,3c12 +C22 +C32 =C33,于是C W当且仅

25、当C的元素为齐次线性方程组C2 1 = -3c 1 - cc2 2 二 一3c 1 2- C3 13 c3 2c的解.于是我们得到如下矩阵100 ',010 ',000 '-300,0-30-1001000，<000，000-1它们构成W的一个基,故W的维数是5 .求实数域上关于矩阵 A的全体实系数多项式构成的向量空间V的一个基与维数.其中0、0 ,020 _1、,3i一 2解因。3 =1 ,所以111、223A = CO , A =1= I<1J 1 b易证I , A, A2线性无关.于是任何多项式f ( A)( f (x) W Rx)2 .I , A,

26、A 为的一个基，dim V =3.皆可由I ,A, A2线性表示，故Ct4 =(0, 0,2,1)的坐标；(y1, Y2,Y3, y4)是巴关于基 p1,?2,?3, P4 的坐标,其中 y1 = X1 ,y 2 X2 X1 , y3 = X3 X2,y4 =X4 - X2 .求基 P1，0 2, 03, 0 4 .1 "XoC K c(6)解因已=31,%,%,3)=(口邛2,艮,X3lX4 J（二1，二 2,）3,M）X1Xo2 =(P1,P2,P3,P4)PX3f X1X2X3于是(二 1 ,二2 ,二3 ,二 4,('-1 /-2 ,-3 P4 即 设 必，口2，为

27、是n维向量空间 V的一个基， g,Ot1十口2，31 +a2 +十口n也是V的一个基，又若向量 巴关于前一个基的坐标为（n,n 1,，2,1）,求巴关于后一个基的 坐标.解基。1, 小2，到后一个基的过渡矩阵为11110111P =0011也 00那么nn -1a21100<0-11000-1000 Z nC n -故自关于后一个基的坐标为（1,1，1）.(8) 已知 R3 的一个基为 0tl =(1,1, 0), «2 = (0,0, 2), CC3 = (0, 3, 2).求向量(5 = (5, 8, -2) 关于这个基的坐标.(8)解 设七=Xl2 +X2«2

28、+X3%，的方程组xi =5Xi ' 3 X3 =82x2 2x3 = -2解得 Xi =5, X2 = 2, X3 =1 .故之关于基 «1,«2 ,«3 的坐标(5, 2,1)求R4的一个非零向量t,使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同 解 由标准基勤，功，% , %到基%,。2 ,口3,。4的过渡矩阵为/205613 36P =-1121I1 0 1 3设U关于两个基的坐标为(X1 ,X2, X3 ,X4),则即得齐次线性方程组X +5x3 + 6X 4= 0产 +2X3 + 3x 3+ 6 丁 0-x1 + X 2 + x 3+x r 0x1

29、 +x 3 +2x 4= 0解得 X1 = X2 = X3 = -X4,令 X4 = k # 0, k 乏 R ,则上=(k, k, k, k)即为所求.求:=(X1, X2 , X3, X4)关于基 5, «2,«3 ,«4 的坐标.，21P =-1 r1(10)解由标准基到所给基的过渡矩阵为056336121013那么二(；1， ；2x1X2二(1,： 2,： 3, ： 4)PX2X3 IX3IX4故之关于基 巴，0(2,0(3,0(4的坐标为(y1, y2, y3, y4)这里f 、X1X2X3I"4/91/271 / 3-7/271/3 -1 -

30、4 / 9-1 /-300-1 / 91 / 3/ 9<1/必X3五证明题(1)设W1,W2为向量空间V ( F )的两个子空间1)证明：W1 1w2是V的子空间.2) Wi UW2是否构成V的子空间,说明理由.证明1)显然0 WW1 Qw2 ,即叫Qw2字,任取5 ,a2 W W1 W2,k F ,易知必 +% WW1 1W2,k2 WW1 1W2 , 故Wi QW2是V 的子空间.2)不一定.当W11W2或W21W1时，W1Uw2是V的子空间.但当W1与W2互不包含时，W1 Uw2不是V的子空间.因为总存在CC1 w W 1汽草W及k W W2,0f 2eW1使 豆1 ,口2 W W

31、1 UW2 ,而以 +«2强W1 UW2 ,因为这时«1 +«2更W1 ,«1 +«2更W ,否则与选取矛盾. 设W1,W2为向量空间V的两个子空间.证明：W1+W2是V的即含W1又含W2的最小 子空间.（2） 证明 易知W1 + W24a 1t112 a 浊，q 中V为V 的子空间，且WiWi W2,W2 二 Wi W2.设W为V的包含W1与W2的任一子空间，对任意。W W/5W 2,有£ + £ W W ,即W1 +W2 JW ,故W1 +W2是V的即含W1又含W2的最小子空间 设W1,W2为向量空间V(F)的两个子空间

32、.豆，日是V的两个向量，其中a W2 , ea更W1 ,又B更W2 .证明：1）对任意 k w F , P +ka 乏 W2 ；2）至多有一个k w F ,使得P +ka WW1 .（3） 证明1）任意 k w F ,若 P + ko（ w W2,则 P = （ P + ko（）kct w W2 矛盾，故1）成立.2）当P亡W1时，仅当k =0时，有P + kot w W1 ;当P芝W1时，若存在k1 ,k2 w F , k1 ¥ k2使得3=P +k1ot WW1, a2 = P +k 2a WW,则以 一ct2 = （k1 k2）a w W1 ,因此 ot w W1 ,矛盾，故2

33、)成立.W2 = W1 .(4 )证明 因WiUW2含Wi与W2中所有向量，Wi+W2含一切形如0(1+a2(ot1WW1,ot2EW2)的 向量，因为 W1+W2=WjW,所以 必十0( 2三W1或-1' -2 ' W. 若 ct1 +a2 亡 W1 ,令 ct1 +a2 = P ,则ct2 = P -ot1,故亚2 1 W1 ；若叫 +a2 w W2 ,令%+”2 = 7,则以= '02,故Wi三W2 . 证明：n维向量空间V中，任意n个线性无关的向量都可作为V的一个基.(5)证明 设5 ,ot2，*是V中线性 无关的向量，取V的单位 向量当，82;,，工，则V =

34、l(骂，鸟,，aj ,且风, ct2,，中每一个可由 黑，e2，骂线性表示.由替换定理知以，,，%与备,4,，当等价，所以V中每一个向量可由 风，,，明线性表示，又S ,%，明线性无关,故必,。2，0n可作为V的一个基.（6）设V为n维向量空间,V中有m组线性无关的向量,每组含t个向量，证明：V中存在 n -t个向量与其中任一组组成V的一个基.（6）证明 设V中m组线性无关的向量分别为cti1 ,cti2，Qit （i =1,2，m）, t E n .令VI =L（5i,o（i2,，%）, 则 dimVi=t<n . 因存在 匕正 Vi, （i=1; 2 ,m ,使）冈1，冈2,，4,与

35、线性无关，若t+Kn，令V=1（必1&2,，4,£）,则V：也为V的非平 凡子空间，同理存在 匕=V _V：,i =1,2，m ,而且叫口仁, qtS ,J线性无关，如此 继续下去,可找到系学&上使得51,52,，,。、2,、n上线性无关,故对每个i , 它们都是V的一个基. 设n维向量空间 V的向量组 为 ,口2,，叫 的秩为r，使得k10tl + k20t2+ knun全体n维向量（k1,k2,，kn）的集合为W .证明W是Fn的n_r维子空间. 证明 显然dim Lia,%，） =r ,今设每个叫在L （%«2，5 ）的某个基下的坐标为0ii、ai25

36、 =. , i =1,2，n那么由k/Zi +k2«2 +kn"n =。可得kl ：l - k2： 2- kn： n =。.它决定了一个含n个未知量ki，k2,，kn，r个方程的齐次线性方程组，其系数矩阵（%, %,，4）的秩为r ,故解空间即W的维数为n -r .(8) 设21, a2，an是数域F中n个不同的数,且f (x) = (x a1 )(x _a2丫(x _an).证明多项式组fi(x) = f(x)(i =1, 2，n)是向量空间Fnx的一个基.(x - a i)(8)证明 因dim Fn/x =n ,所以只需证Jf2,fn线性无关.设有ki, k2,，kn亡

37、F使kif . k 2f 2 . kn fn =0(*)由 f j(aj =0, i = j, fi(aj =0 ,因此将 aj 带入(*)得 K fi(a。=0 ,从而 K = 0, (i =1,2-'n)故fi上,fn线性无关,为Fnx的一个基. 设W是Rn的一个非零子空间,而对于W的每一个向量(aa2，an)来说,或者a1 =a2=an =0,或者每一个ai都不等于零.证明：dim W =1. 证明 由W非零，我们总可以取P =(bi ,b2,，bn) W W ,且P=0,那么每个bi #0且P线性无关.今对任意ct =(ai,a2,，an) w W ,若a =0当然口可由P线性

38、表示；若o( ¥ 0而a "P WW ,由于其第一个分量为0 ,由题设知a =亘日.故B可作为W的一个基，bibi且 dim W =1.(10)证明：x2 +x,x2 _x, x+1是F2x的一个基，并求2x2 +7x +3关于这个基的坐标（10） 证明：dim F2 x =3, x2 +x, x2x, x+1由基1, x, x2表示的演化矩阵为001、A = 1-11<11Q但A可逆，故x2十*,*2-*,*+1是52*的一个基.2x2 +7x +3关于这个基的坐标(3, -1,3),因为3；3 ；A，7 = 1 ,(11)若W1,W2,W3都是V的子空间,求证：W

39、1(W1 W2) W3) =(W1 W2) (W1 W3).(11) 证明：任意 W WW (W1 Hw2) +W3),则0( W1 ,且 0( (W1 Hw2) +W3,因此Q =5 +«3,«1 WW1 nw2,«3 WW3，但 0( W W1 ,知。3 W W1 Hw3 ,故:工三(W1 W2) (W1W3).反之，任意Pw(W11w2)+(W1。W3)P =B1+B2, B1W W1QW2, P2 W wJw 3 ,则P =W1,且 P w(W1 Iwz) +W3,故 P wW1 1(W1 Iwz) +W3).(12)设W1,W2，Ws是n维向量空间V的子

40、空间.如果W1 +W2 +Ws为直和.证明：Wi Wj =i0, i = j,i, j =1,2，s.（12）证明：由川1 +W2 +Ws 为直和，有Wi 门（£ Wj ） =0, i = j ,i, j =1,2,，s ,而 iFWi riW j£W。（£ W ）= 0手 j i j,亏1 2 ,故i=jWiWj u0, i = j,i, j =1,2，s.(13)设W1 ,W2分别是齐次线性方程组x1 +x2+ xn = 0与x1 = x2=xn的解空间.证明：F n = W1 - W2 .（13） 证明 因x1 +x2 +xn =0的解空间的维数为n -1

41、,且一个基为g =（1,1,0，0）,"=（一1,0,1,0，0），*'=（-1,0，0,1），又 xi =X2 I.'=人即方程组x1 -x2 =0x x2 x3 =0xnxn =0的系数矩阵的秩为n -1 ,其解空间的维数为1 ,且一个基为P = （1,1 ；, 1但% ,%, ，P线性无关，它是F n的一个基，且dim F n = dim W1 +dim W2 ,故nF=W1 W2 .(14)证明 每一个n维向量空间都可以表成 n个一维子空间的直和(14)证明：设5 ,02©n是n维向量空间V的一个基，那么L (%), L (Ct2)，L(Bn)都是一维子空间.显然 V = L(L) , L(： 2) 一 丁 L()于是由V中向量在此基下表示唯一，立得结论.(15)证明n维向量空间V的任意一个真子空间都是若干个n_1维子空间的交(15)证明：设W是V的任一子空间,且设外，ct2，0fs为W的一个基,将其扩充为V的一个基产s ,冬十, Pn ,那么令Wi = LQ1 ； 2；二；s L s l", ： ,.s_i?，,n )于是这些Wi,i =1,2，n -s,均为n -1维子空间，且W =W1 Qw2 PlWn,(16