随机变量与分布函数学习教案

1、会计学1随机变量与分布随机变量与分布(fnb)函数函数第一页，共153页。一、随机变量一、随机变量(su j bin (su j bin lin)lin)的定义的定义 (1) 掷一颗骰子(tu z)， 出现的点数 1，2，6. (2) n个产品中的不合格品个数0，1，2，n (3) 某商场一天内来的顾客数0，1，2， (4) 某种型号电视机的寿命 : 0, +) (1) 掷一颗骰子， 出现的点数 1，2，6. (2) n个产品中的不合格品个数0，1，2，n (3) 某商场一天(y tin)内来的顾客数0，1，2， (4) 某种型号电视机的寿命 : 0, +)第1页/共153页第二页，共153页

2、。定义3.1.1 设 =为某随机现象的样本空间， 是定义于概率(gil)空间(, F, P)上的单值实函数，如果对直线上任何一个博雷尔点集B,有 F则称 为随机变量，而 称为随机变量 的概率(gil)分布。.)(w)(w第2页/共153页第三页，共153页。注 意 点(1) 随机变量 是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R=(，) )(w (2) 若 为随机变量，则 均为随机事件.,bak即)(:bwawba第3页/共153页第四页，共153页。若随机变量 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 为离散型随机变量.若随机变量 的可能取值充满某个区间(q jin) a, b，则称 为连续型随

3、机变量.前例中的 , , 为离散型随机变量； 而 为连续型随机变量.两类随机变量(su j bin lin)第4页/共153页第五页，共153页。定义3.1.2 设 为一个随机变量，对任意(rny)实数 x， 称 F(x)=P x 为 的分布函数.(distribution function) 记为 随机变量(su j bin lin)的分布函数第5页/共153页第六页，共153页。二、分布二、分布(fnb)(fnb)函数的性质函数的性质定理3.1.1 分布函数F(x)具有下列基本性质： (1) F(x) 单调(dndio)不降； (2) 有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1； (3)

4、 左连续：F(x-0)=F(x).第6页/共153页第七页，共153页。注 意 点注意(zh y)以下一些表达式：第7页/共153页第八页，共153页。三、离散三、离散(lsn)(lsn)型随机变型随机变量量设离散随机变量 的可能取值为：x1，x2，xn， 称 pi=P( =xi)， i =1, 2, 为 的分布(fnb)列.分布(fnb)列也可用表格形式表示： x1 x2 xn P p1 p2 pn 第8页/共153页第九页，共153页。分布列的基本(jbn)性质 (1) pi 0， (2)(正则(zhn z)性)(非负性)第9页/共153页第十页，共153页。注 意 点 对离散随机变量的分

5、布(fnb)函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯(jit)函数; (2) 其间(qjin)断点均为左连续的; (3) 其间断点即为的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.第10页/共153页第十一页，共153页。x1x2xkPp1p2pk一般，设离散一般，设离散(lsn)型型r.v. 的分布律为：的分布律为：则则X的分布的分布(fnb)函数函数 F(x)=P m+n | m ) = P( n )第18页/共153页第十九页，共153页。巴斯卡分布(fnb)(负二项分布(fnb)巴斯卡分布(fnb)与几何分布(fnb)的关系： 为独立重复的伯努里试验中， “第 r 次成功

6、”时的试验次数. 为从第 i-1 次成功后算起， “首次成功”时的试验次数.i第19页/共153页第二十页，共153页。四、连续型随机变量四、连续型随机变量(su j (su j bin lin)bin lin)连续随机变量的可能取值充满某个区间 (a, b).因为对连续随机变量 ，有P(=x)=0， 所以无法(wf)仿离散随机变量用 P( =x) 来描述连续随机变量的分布.注意离散随机变量与连续随机变量的差别.第20页/共153页第二十一页，共153页。定义(dngy)设随机变量的分布(fnb)函数为F(x),则称 为连续(linx)随机变量，若存在非负可积函数 p(x) ，满足：称 p(x

7、)为分布密度函数，（density function）.第21页/共153页第二十二页，共153页。密度函数的基本(jbn)性质满足(1) (2)的函数都可以(ky)看成某个连续随机变量的分布密度函数.(非负性)(正则(zhn z)性)第22页/共153页第二十三页，共153页。注意(zh y)点 (1) (2) F(x) 是 (, +) 上的连续函数; (3) P(=x) = F(x+0)F(x) = 0; 第23页/共153页第二十四页，共153页。注意(zh y)点 (1) (2) F(x) 是 (, +) 上的连续函数; (3) P(=x) = F(x+0)F(x) = 0; (4)

8、Pab = Pa b = Pa b = Pa b = F(b)F(a).(5) 当F(x) 在x点可导时, f(x) =所以，概率为零的事件(shjin)不一定是不可能事件(shjin)！第24页/共153页第二十五页，共153页。连续型1.密度函数(hnsh) f(x)2. ( 不唯一 )2.4. P( =a) = 0离散(lsn)型1.分布(fnb)列: pn = P( =xn) 2. ( 唯一 ) 2. F(x) = 3. F(a+0) = F(a); P(a b) = F(b)F(a).4. 点点计较5. F(x)为阶梯函数。 5. F(x)为连续函数。 F(a+0) = F(a).

9、F(a+0) F(a).第25页/共153页第二十六页，共153页。例设 求 (1) 常数(chngsh) k. (2) F(x).第26页/共153页第二十七页，共153页。常见常见(chn jin)连续性随机连续性随机变量变量1、均匀分布2、正态分布3、指数分布4、埃尔兰分布5、 分布第27页/共153页第二十八页，共153页。（一）均匀分布（一）均匀分布 U(a,b)实际背景：实际背景： 随机变量随机变量(su j bin lin) X (su j bin lin) X 仅在一个有限区间（仅在一个有限区间（a,ba,b）上取值；）上取值； 随机变量随机变量(su j bin lin) X

10、(su j bin lin) X在其内取值具有在其内取值具有“等可能等可能”性，则性，则 U(a,b)U(a,b)。“等可能等可能”表现在：表现在： 若若acc+l b，则，则 Pc 3 , 则 P(A) = P( 3) = 2/3设 Y 表示三次(sn c)独立观测中 A 出现的次数,则 Y B(3, 2/3)，所求概率(gil)为 P(Y2) =P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例2第31页/共153页第三十二页，共153页。记为 N(, 2),其中(qzhng) 0， 是任意实数. 是位置(wi zhi)参数. 是尺度(chd)参数.（二）正态分布二）正态分布( (normal di

11、stribution) ) 第32页/共153页第三十三页，共153页。yxO第33页/共153页第三十四页，共153页。正态分布的性质(xngzh)(1) p(x) 关于(guny) 是对称的.p(x)x0在 点 p(x) 取得(qd)最大值.(2) 若 固定, 改变, (3) 若 固定, 改变,小大p(x)左右移动, 形状保持不变. 越大曲线越平坦; 越小曲线越陡峭.第34页/共153页第三十五页，共153页。p(x)x0 xx标准(biozhn)正态分布N(0, 1)密度(md)函数记为 (x),分布(fnb)函数记为 (x).第35页/共153页第三十六页，共153页。(x) 的计算(

12、j sun)(1) x 0 时, 查标准(biozhn)正态分布函数表.(2) x 0时, 用若 N(0, 1), 则 (1) P( a) = (a); (2) P(a) =1(a); (3) P(ab) = (b)(a); (4) 若a 0, 则 P(|a) = P(a1.96) , P(|1.96)P(|1/2, 所以(suy) b 0, 反查表得: (1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66而 (a) = 0.0495 1/2,所以(suy) a 0, (a) = 0.9505, 反查表得: (1.65) = 0.9505, 故 a = 1.65例2.5.2第38页/共153

13、页第三十九页，共153页。一般(ybn)正态分布的标准化结论(jiln)1 设 N(, 2),则 N(0, 1).结论(jiln)2: 若 N(, 2), 则第39页/共153页第四十页，共153页。若 N(, 2), 则 P(a) = 第40页/共153页第四十一页，共153页。 设 N(10, 4), 求 P(1013), P(|10|2).解: P(1013) = (1.5)(0)= 0.9332 0.5P(|10|2) = P(8k = Pk, 则 k = ( ).3课堂练习(1)第43页/共153页第四十四页，共153页。 设 N(, 42), N(, 52), 记 p1 = P 4

14、，p2 = P +5, 则( ) 对任意(rny)的 ，都有 p1 = p2 对任意(rny)的 ，都有 p1 p2课堂练习(2)第44页/共153页第四十五页，共153页。 设 N( , 2), 则随 的增大， 概率 P| | ( ) 单调(dndio)增大 单调(dndio)减少 保持不变 增减不定课堂练习(3)第45页/共153页第四十六页，共153页。第46页/共153页第四十七页，共153页。 在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。如: 测量误差； 在稳定条件(tiojin)下产品的各种指标; 某地区人的身高、体重； 大面积考试的分数等第47页/共153页第四

15、十八页，共153页。正态分布的 3 原则(yunz)设 N(, 2), 则 P( | | ) = 0.6828. P( | | 2 ) = 0.9545. P( | | 0.第50页/共153页第五十一页，共153页。指数分布具有指数分布具有(jyu)无记忆性：无记忆性： 如果如果X是某一元件的寿命是某一元件的寿命(shumng)，已知元件已，已知元件已使用了使用了 s小时，它还能继续使用至少小时，它还能继续使用至少 t小时的条件概率小时的条件概率，与从开始时算起至少能使用，与从开始时算起至少能使用 t 小时的概率相等。小时的概率相等。即元件对它已使用过即元件对它已使用过s小时无记忆。小时无记

16、忆。第51页/共153页第五十二页，共153页。例例1 1 机器里安装的某种元件，已知这种元件的使机器里安装的某种元件，已知这种元件的使用寿命用寿命（年）服从参数为（年）服从参数为1/51/5的指数分布，的指数分布，1)1)计算一个元件使用计算一个元件使用8 8年后仍能正常工作年后仍能正常工作(gngzu)(gngzu)的概率；的概率；2)2)一个元件已经使用了一个元件已经使用了3 3年，求它还能再使用年，求它还能再使用8 8年的概年的概率。率。第52页/共153页第五十三页，共153页。（四）埃尔兰分布（四）埃尔兰分布(fnb)（略）（略）第53页/共153页第五十四页，共153页。3.2随

17、机向量(xingling)，随机变量的独立性第54页/共153页第五十五页，共153页。第55页/共153页第五十六页，共153页。F(x, y) = P( 1 x, 2 y)为(1, 2) 的联合分布(fnb)函数. (以下仅讨论两维随机变量)任对实数 x 和 y, 称注意：F(x, y)为(1, 2)落在点(x, y)的左下区域的概率.第56页/共153页第五十七页，共153页。x1x2(x1, x2)第57页/共153页第五十八页，共153页。(1) F(x, y) 关于(guny) x 和 y 分别单调增.(2) 0 F(x, y) 1，且F(, y) = F(x, ) =0，F(+,

18、 +) = 1.(3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别(fnbi)左连续.(4) 当ab, cd 时，有F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0.注意：上式左边 = P(ab, c d).(单调性)(有界性)(左连续性)(非负性)第58页/共153页第五十九页，共153页。若(1, 2) 的可能取值为有限(yuxin)对、或可列对，则称(1, 2)为二维离散随机变量.第59页/共153页第六十页，共153页。称pij = P(1 =xi, 2 =yj)， i, j=1, 2, ., 为(1, 2) 的联合(linh)分布列，其表格(biog)形式如下:21

19、y1 y2 yj x1x2xi p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pi j 第60页/共153页第六十一页，共153页。(1) pij 0, i, j = 1, 2,(2) pij = 1. (非负性)(正则(zhn z)性)第61页/共153页第六十二页，共153页。第62页/共153页第六十三页，共153页。 (1) 确定随机变量(su j bin lin) (1, 2) 的所有取值数对. (2) 计算(j sun)取每个数值对的概率. (3) 列出表格.第63页/共153页第六十四页，共153页。例 将一枚均匀的硬币抛掷4次， 1表示正面向上的次数， 2表示

20、反面(fnmin)朝上次数。求 (1, 2) 的联合分布列.1 20 41 3 2 2 3 14 0P(1 =0, 2 =4)=P(1 =2, 2 =2)=1/4=6/16 P(1 =3, 2 =1)=1/4 P(1 =4, 2 =0)= 0.54 =1/16P(1 =1, 2 =3)=0.54=1/16解：概率(gil)非零的(1, 2) 可能取值对为:其对应的概率(gil)分别为：第64页/共153页第六十五页，共153页。1 012342 0 1 2 3 4列表(li bio)为： 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 01/16

21、 0 0 0 0第65页/共153页第六十六页，共153页。例 设随机变量(su j bin lin) N(0, 1), 解: (1, 2) 的可能取值数对及相应的概率(gil)如下：P(1 =0, 2 =0) = P(| |1, | |2)= P(| |2)= 2 2(2) = 0.0455P(1 =0, 2 =1) = P(| |1, | |2)= P(1| |2)= 2(2) (1)= 0.2719P(1 =1, 2 =0) = P(| |1, | |2) = 0P(1 =1, 2 =1) = P(| |1, | |2)= P(| |1)= 0.6826求 的联合(linh)分布列.第6

22、6页/共153页第六十七页，共153页。列表(li bio)为：1 0 12 0 10.0455 0.2719 0 0.6826第67页/共153页第六十八页，共153页。设随机变量(su j bin lin) 在 1，2，3 ，4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量(su j bin lin) 在 1到X 中等可能地取一整数值。试求（, ）的联合分布列.第68页/共153页第六十九页，共153页。则称 (, ) 为二维连续型随机变量(su j bin lin)。称p(x, y) 为（联合）密度函数。第69页/共153页第七十页，共153页。(1) p(x, y) 0. (非负性) (2)

23、 注意(zh y)：(正则(zhn z)性)第70页/共153页第七十一页，共153页。第71页/共153页第七十二页，共153页。 若每次试验(shyn)有r 种结果：A1, A2, , Ar记 P(Ai) = pi , i = 1, 2, , r记 i 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数.则 (1, 2, , r)的联合分布列为：第72页/共153页第七十三页，共153页。从中任取 n 只，记 i 为取出的n 只球中，第i 种球的只数.口袋(ku di)中有 N 只球，分成 r 类 。第 i 种球有 Ni 只， N1+N2+Nr = N.则 ( 1, 2, , r)的联合(linh

24、)分布列为：第73页/共153页第七十四页，共153页。若二维连续随机变量(su j bin lin) (, ) 的联合密度为：则称 (, ) 服从(fcng) D 上的均匀分布，记为 (, ) U (D) .其中(qzhng)SD为D的面积.第74页/共153页第七十五页，共153页。若二维连续随机变量(su j bin lin) (, ) 的联合密度为：则称 (, ) 服从(fcng)二维正态分布，记为 (, ) N ( ) .第75页/共153页第七十六页，共153页。第76页/共153页第七十七页，共153页。若 (, ) 试求常数(chngsh) A.第77页/共153页第七十八页，

25、共153页。解:所以(suy), A=6=A/6第78页/共153页第七十九页，共153页。若 (, ) 试求 P 2, 1.第79页/共153页第八十页，共153页。解: P 2, 121x2, y1时，p(x, y)=0，所以(suy) p1(x)=0当|x|1时,不是均匀分布2211( , )0 xyp x y 其 它dyxpxx221111)(221x2211( , )0 xyp x y 其 它dyxpxx221111)(第89页/共153页第九十页，共153页。例、设 (, ) N ( ) . 求的边际分布密度函数r ,222121第90页/共153页第九十一页，共153页。 则 N

26、 ( )， N ( ).二维均匀分布(fnb)的边际分布(fnb)不一定是一维均匀分布(fnb).第91页/共153页第九十二页，共153页。三、条件(tiojin)分布对二维随机变量(, ), 在给定取某个值的条件(tiojin)下, 的分布; 在给定取某个值的条件(tiojin)下, 的分布.第92页/共153页第九十三页，共153页。一、条件分布函数|)|(|yxPyxF-在 =y 条件下 的条件分布函数|)|(|xyPxyF-在 =x 条件下 的条件分布函数第93页/共153页第九十四页，共153页。二、离散(lsn)型：条件分布律 定义(dngy)：若 若 0ixP第94页/共153

27、页第九十五页，共153页。证：证：第95页/共153页第九十六页，共153页。01P=j0 09/256/253/51 16/254/252/5P=i3/52/51解解: :( (1)有放回地取球有放回地取球 (2) 无放回地取球无放回地取球 01P=j06/206/203/516/202/202/5P=i3/52/51第96页/共153页第九十七页，共153页。 0 1 2 3 0 1 2 0.840 0.030 0.020 0.010 0.060 0.010 0.008 0.002 0.010 0.005 0.004 0.0010.9000.0800.0200.910 0.045 0.03

28、2 0.0011.0000YX1、求给定条件下，的条件分布列 2、求给定(i dn) 条件下， 的条件分布列 例题(lt)第97页/共153页第九十八页，共153页。定义(dngy) 当-在 =x 条件(tiojin)下 的条件(tiojin)概率密度当)(),()|(2ypyxpyxp, 0)(2yp-在 =y 条件下 的条件概率密度三、连续型：条件三、连续型：条件(tiojin)(tiojin)概率密度概率密度第98页/共153页第九十九页，共153页。第99页/共153页第一百页，共153页。例例设设( , ) 服从单位圆域服从单位圆域122 yx上的均匀上的均匀分布分布(fnb),求求

29、第100页/共153页第一百零一页，共153页。例、设二维连续型随机变量的联合例、设二维连续型随机变量的联合(linh)(linh)密度密度函数为函数为求条件(tiojin)概率(1) (2)第101页/共153页第一百零二页，共153页。 ii) p(xi,yj)= p1(xi) p2(yj) iii) p(x, y) = p1(x)p2(y)则称 与 是独立的，第102页/共153页第一百零三页，共153页。 (, ) 的联合的联合(linh)分布列为分布列为:01 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1问 与 是否(sh fu)独立？解: 边际(binj)分布列分别为: 0 1P 0.7

30、 0.3 0 1P 0.5 0.5因为所以不独立第103页/共153页第一百零四页，共153页。01P=j0 09/256/253/51 16/254/252/5P=i3/52/51解解: :( (1)有放回地取球有放回地取球 (2) 无放回地取球无放回地取球 01P=j06/206/203/516/202/202/5P=i3/52/51第104页/共153页第一百零五页，共153页。已知 (, ) 的联合(linh)密度为 问 与 是否(sh fu)独立？所以(suy) 与 独立。注意：p(x, y) 可分离变量.解: 边际分布密度分别为:所以 与 独立。注意：p(x, y) 可分离变量.第

31、105页/共153页第一百零六页，共153页。2211( , )0 xyp x y 其 它所以(suy) 与 不独立。注意：p(x, y) 不可(bk)分离变量.第106页/共153页第一百零七页，共153页。 (2) 若联合若联合(linh)密度密度 p(x, y) 可分离变量，即可分离变量，即 p(x, y) = g(x)h(y) 则则 与与 独立。独立。 (3) 若若 (, ) 服从服从(fcng)二元正态二元正态 N ( ) 则则 与与 独立的充要条件是独立的充要条件是 r = 0. (1) 联合联合(linh)密度密度 p(x, y) 的表达式中，若的表达式中，若 x 的取值与的取值

32、与 y 的的 取值有关系，则取值有关系，则 与与 不独立不独立.第107页/共153页第一百零八页，共153页。问题(wnt)2：已知二维随机变量 (, ) 的分布，如何(rh)求出 =g (, )的分布？问题1：已知一维随机变量 的分布，如何求出 =g ()的分布？第108页/共153页第一百零九页，共153页。一、Borel函数(hnsh)与随机变量的函数(hnsh)定义3.3.1 设y=g(x)是R到R上的一个映射，若对于一切(yqi)R中的Borel 点集B1均有x:g(x) B1 B1则称g(x)是一元Borel可测函数。注：我们(w men)感兴趣的函数一般是Borel可测函数第1

33、09页/共153页第一百一十页，共153页。多维离散随机变量函数(hnsh)的分布是容易求的： i) 对(1, 2, , n)的各种可能(knng)取值对， 写出 相应的取值. ii) 对的 相同的取值，合并(hbng)其对应的概率.=g (1, 2, ,n),第110页/共153页第一百一十一页，共153页。如果如果g(xk)中有一些是相同中有一些是相同(xin tn)的，把它们作适当的，把它们作适当并项即可并项即可.则则 =g() nnpppxgxgxg2121)()()(一般，若一般，若是离散是离散(lsn)型型 r.v ，的分布律为的分布律为nnpppxxx2121第111页/共153

34、页第一百一十二页，共153页。例例设设 则则= 2 + 3的分布的分布(fnb)列为：列为：406010. 再如：再如： 1 . 016 . 03 . 001则则 =2 的分布的分布(fnb)律为：律为：第112页/共153页第一百一十三页，共153页。例 、设(,)的联合(linh)分布律为-1 2-1125/20 3/202/20 3/206/20 1/20求，Z1=, Z2=min(,)的分布(fnb)律(一一)、离散、离散(lsn)的情形的情形第113页/共153页第一百一十四页，共153页。=a0br+a1br-1+arb0 由独立由独立(dl)性性此即离散此即离散(lsn)型型卷积

35、公式卷积公式r=0,1,2, 例例 若若、 独立独立(dl)，P(=k)=ak , k=0,1,2, P(=k)=bk , k=0,1,2, ,求求=+的的分布律分布律.解解: )()(rPrP第114页/共153页第一百一十五页，共153页。 课堂练习课堂练习 若若和和相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为21,21的泊松分布的泊松分布.第115页/共153页第一百一十六页，共153页。二、单个随机变量函数二、单个随机变量函数(hnsh)的分的分布布解：设解：设的分布的分布(fnb)函数为函数为 F(y)，例例1

36、设设 其它, 040, 8/)(xxxp求求 =2+8 的概率密度的概率密度.F(y)=P y = P (2+8 y )=P = F( )28y28y于是于是 的密度的密度(md)函数函数第116页/共153页第一百一十七页，共153页。例2先求的分布(fnb)函数第117页/共153页第一百一十八页，共153页。结论结论(jiln)： 设设第118页/共153页第一百一十九页，共153页。例例 设随机变量设随机变量(su j bin lin)服从服从 ，求，求=a+b(a0)也服从正态分布也服从正态分布.这个结论很重要这个结论很重要(zhngyo)！说明正态分布对线性变换具有不变性说明正态分

37、布对线性变换具有不变性所以(suy)，YN(a+b,a22)第119页/共153页第一百二十页，共153页。例，设XN(20,32)则Y=-2X-10 N(-50,62)例、XN(0,32)则 -XN(0,32)注意(zh y)：X与-X是不同随机变量，但他们分布(fnb)相同，即同分布(fnb)。第120页/共153页第一百二十一页，共153页。课堂练习课堂练习 设随机变量设随机变量(su j bin lin)在在(0,1)上服从上服从均匀分布，均匀分布，求求=-2ln的概率密度的概率密度.第121页/共153页第一百二十二页，共153页。求求=sin的概率密度的概率密度.课堂练习课堂练习

38、设随机变量设随机变量(su j bin lin)的的概率密度为概率密度为第122页/共153页第一百二十三页，共153页。例例设设 具有具有(jyu)概率密度概率密度 ,求求=2的概率密度的概率密度.求导可得求导可得当当 y0 时时,)()(yPyF)(2yP 注意注意(zh y)到到 =2 0，故当，故当 y 0时，时，解：解： 设设和和的分布的分布(fnb)函数分别为函数分别为 和和 ，第123页/共153页第一百二十四页，共153页。例例 已知随机变量已知随机变量的分布函数的分布函数F(x)是严格单调是严格单调的连续函数的连续函数, 证明证明(zhngmng)=F()服从服从0,1上的均

39、匀分布上的均匀分布.本例的结论在计算机模拟本例的结论在计算机模拟(mn)中有重要的中有重要的应用应用. 第124页/共153页第一百二十五页，共153页。 三、随机向量的函数(hnsh)的分布律 我们先讨论两个随机变量的函数的分布我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题问题(wnt)，然后将其推广到多个随机变量的，然后将其推广到多个随机变量的情形情形. 当随机变量当随机变量(su j bin lin)1, 2, ,n的联合分布已知时，如何求出它们的函的联合分布已知时，如何求出它们的函数数 i=gi(1, 2, ,n), i=1,2,m的联合分布的联合分布? 四、随机向量的变换四、随机向量的变换第

40、125页/共153页第一百二十六页，共153页。1、M=max(,)及及N=min(,)的分布的分布(fnb) 设设，是两个相互独立的随机变量，它们是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数的分布函数(hnsh)分别为分别为F(x)和和F(y),我们来求我们来求M=max(,)及及N=min(,)的分布的分布函数函数(hnsh).连续连续(linx)的情形的情形第126页/共153页第一百二十七页，共153页。又由于又由于和和 相互独立相互独立,于是得到于是得到M=max(,)的的分布分布(fnb)函数为函数为: 即有即有 FM(z)= F(z)F(z) FM(z)=P(Mz)=P(z)P(z)

41、=P(z,z) 由于由于(yuy)M=max(,)不大于不大于z等价于等价于和和都不大于都不大于z，故有，故有 分析分析(fnx)：P(Mz)=P(z,z)第127页/共153页第一百二十八页，共153页。 类似(li s)地，可得N=min(,)的分布函数是下面进行下面进行(jnxng)推广推广 即有即有 FN(z)= 1-1-F(z)1-F(z) =1- -P( z, z)FN(z)=P(N0,0,且. 分别对以上(yshng)两种联接方式写出L的寿命Z的概率密度函数.先求先求,的分布的分布(fnb)(fnb)函数函数: :第133页/共153页第一百三十四页，共153页。(1)(1)串联

42、串联(chunlin). Z=min,(chunlin). Z=min, FZ(z)=1-1-F(z)1-F(z) FZ(z)=1-1-F(z)1-F(z)第134页/共153页第一百三十五页，共153页。(2)并联(bnglin). Z=Max, FZ(z)=F(z)F(z)第135页/共153页第一百三十六页，共153页。 设设和和的联合的联合(linh)密度为密度为 p (x,y), 求求Z=+的密度的密度. 解解: Z=+的分布的分布(fnb)函数是函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(+ z)这里积分这里积分(jfn)区域区域D=(x, y): x+y z是直线是直线x+y =z 左

43、下方的半平面左下方的半平面.2、两个随机变量和的分布第136页/共153页第一百三十七页，共153页。 化成化成(hu chn)累次积分累次积分,得得 固定固定z和和y,对方括号内的积分对方括号内的积分(jfn)作变量作变量代换代换, 令令x=u-y,得得变量变量(binling)代换代换交换积分次序交换积分次序第137页/共153页第一百三十八页，共153页。由概率密度与分布由概率密度与分布(fnb)函数的关系函数的关系, 即得即得Z=+的概率密度为的概率密度为: 由由和和的对称性的对称性, pZ (z)又可写成又可写成 以上两式即是两个以上两式即是两个(lin )随机随机变量和的概率密度的一般公式变量和的概率密度的一般公式.第138页/共153页第一百三十九页，共153页。 特别，当特别，当和和独立独立(dl)，设，设(,)关于关于,的边的边际密度分别为际密度分别为p(x) , p(y) , 则上述两式化为则上述两式化为: 这两个公式这两个公式(gngsh)称为卷积公式称为卷积公式(gngsh) ,或褶积公式或褶积公式(gngsh)第139页/共153页第一百四十页，共1