3 函数展开成幂级数ppt课件

1、函数展开成幂级数函数展开成幂级数 由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。一、泰勒级数一、泰勒级数上节例题上节例题)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收敛域内以域内以f(x)为和函数为和函数问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?定定理理 1 1 如如果果函函数数)(xf在在)(0 xU 内内具具有有任任意意

2、阶阶导导 数数, , 且且在在)(0 xU 内内能能展展开开成成)(0 xx 的的幂幂级级数数, , 即即 nnnxxaxf)()(00 则则其其系系数数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann 且且展展开开式式是是唯唯一一的的. . 证明证明即即内内收收敛敛于于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010逐项求导任意次逐项求导任意次,得得 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即即得得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系数泰

3、勒系数泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的xf 如果如果)(xf在点在点0 x处任意阶可导处任意阶可导, ,则幂级数则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)( 称为称为)(xf在点在点0 x的的泰勒级数泰勒级数. .nnnxnf 0)(!)0(称称为为)(xf在在点点0 x的的麦麦克克劳劳林林级级数数. .问题问题nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定不一定.定义定义 0, 00,)(21xxexfx例如例如在在x=0点任意可导点任意可导,), 2 , 1 , 0(0)0(

4、)( nfn且且 00)(nnxxf的的麦麦氏氏级级数数为为. 0)(),( xs内和函数内和函数该级数在该级数在).()(,0 xfxfx于于的麦氏级数处处不收敛的麦氏级数处处不收敛外外除除 定定理理 2 2 )(xf在在点点0 x的的泰泰勒勒级级数数, ,在在)(0 xU 内内收收敛敛于于)(xf在在)(0 xU 内内0)(lim xRnn. .证明证明必要性必要性,)(能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数设设xf)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn )()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 充分性

5、充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于定定理理 3 3 设设)(xf在在)(0 xU上上有有定定义义, ,0 M, ,对对),(00RxRxx , ,恒恒有有 Mxfn )()(), 2 , 1 , 0( n, ,则则)(xf在在),(00RxRx 内内可可展展开开成成点点0 x的的泰泰勒勒级级数数. .证明证明10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(010收收敛敛在在 nn

6、nxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xRnn故故),(00RxRxx .0的泰勒级数的泰勒级数可展成点可展成点x二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨讨论论).(xf敛敛于于则则级级数数在在收收敛敛区区间间内内收收例例1.)(展展开开成成幂幂级级数数将将xexf 解解,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112, 0 M上上在在,MM xnexf )()(Me nx

7、xnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx例例2.sin)(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x例例3.)()1()(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1

8、, 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 R若设若设内内在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利利用用)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且两边积分两边积分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 即即,)1

9、ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2留意留意: :.1的取值有关的取值有关处收敛性与处收敛性与在在 x);1 , 1(1 收收敛敛区区间间为为;1 , 1(11 收收敛敛区区间间为为.1 , 11 收收敛敛区区间间为为牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式有有时时当当,21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx双阶乘双阶乘2.2

10、.间接法间接法根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过变量代换通过变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分,复合复合等方法等方法,求展开式求展开式.例如例如)(sincos xx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x例例4处处展展开开成成泰泰勒勒级级数数在在将将141)( xxxxf).1()1()(nfx并并求求的的幂幂级级数数展展开开成成 解解)1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 xxxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是,31n .3!)1()(nnnf 故故三、小结三、小结1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法函数