（整理版）高考数学向量与解析几何结合解答题精选

1、09届高考数学向量与解析几何结合解答题精选 平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。3，0，3，0，o为坐标原点，动点m满足：10。1求动点m的轨迹c；2假设点p、q是曲线c上任意两点，且·=0，求的值【解】1由10知：动点m到两定点f1和f2的距离之和为10xqpyo根据椭圆的第一定义：动点m的轨迹为椭圆：2点p、o是上任意两点设p()，q()注意：这是点在椭圆上的一种常规设法，也是椭圆的参数方程的一个应用·=0 得：0

2、 而、都可以用、的三角函数表示，利用可以解得：2.：过点a0，1且方向向量为1，k的直线l与c：相交与m、n两点。1求实数k的取值范围；2求证：·为定值；3假设o为坐标原点，且·12，求k的值。【解】直线l过点a0，1且方向向量为1，k直线l的方程为：ykx1 注意：这里方向向量即直线的斜率将其代入c：，得：由题意：得：注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；此题还可以用圆与直线有两个交点，d<r来解2利用切割线定理可以证明|·|=7,at为切线，t为切点。根据向量的运算：·|·|·cos007为定值。注意：此题也可以设

3、出m、n的坐标，把、用坐标表示，由利用韦达定理来证明3设m，n，那么由得：· 12k1代入检验符合题意3.：o为坐标原点，点f、t、m、p1满足=(1,0),=(1，t)，=,。1当t变化时，求点p1的轨迹方程；2假设p2是轨迹上不同与p1的另一点，且垂直非零实数，使得=·求证：+=1【解】设p1x，y，那么由：=得m是线段ft的中点，得mx，y，又2，t，1x，ty 2xt(y)0 1x·0ty·10化简得：ty 由、得： 注意：这里用了参数方程的思想求轨迹方程；也可以利用向量的几何意义，利用抛物线的定义判断轨迹为抛物线，从而求解。2易知f1，0是抛物

4、线的焦点，由=·，得f、p1、p2三点共线，即直线p1p2为过焦点f的弦设p1、p2,直线p1p2的方程为：yk(x1)代入得： 那么·1，+1注意：这里利用抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离；利用了韦达定理进行证明。经检验：当斜率k不存在时，结论也成立。4.，o为坐标原点，=1，且与的夹角为600，a、o、b顺时针排列，点e、f满足=，点g满足1当变化时，求点g的轨迹方程；2求的最小值。【解】，点g是ef的中点，()()与的夹角为600，|2，·|··cos6001设，那么或不合，舍设gx，y，那么消去得：2×42的最小

5、值为当时等号成立5.如图，点fa，0a>0，点p在y轴上运动，点m在x轴上运动，点n为动点，且·0，1求点n的轨迹c；2过点fa，0的直线l不与x轴垂直与曲线c交于a、b两点，设点ka，0，与的夹角为，求证0<<.【解】1设点p0，p，mm,0，那么m，p，a，p·0 设nx，y，由得 即消去p得： xmpyonf2设ab的方程为：yk(xa)，代入得：，设a、b，那么：a，a，··>0与的夹角为，与不共线，那么0cos>0 0<<x，0、1，y，满足：()()1求点px，y的轨迹方程；2假设直线l：ykxm k

6、m0与所求曲线c交于a、b两点，d0，1且,求m的取值范围。【解】1()() ()·()00 即为所求曲线的轨迹方程。2设a、b，由得： 那么 ， 即：把代入，解得m由得：12()>0把代入化简得：>0 m>4或m<0又m k00>m或m>4为所求的m的取值范围。h3，0，点p在y轴上，点q在x轴正半轴上，点m在直线pq上，且·0，1当p在y轴上移动时，求点m的轨迹方程；2过点t1，0作直线l交轨迹c与a、b两点，假设在x轴上垂直一点e，使,且与的夹角为600，求的值【解】设mx，y，由得p、q由·0得： 点q在x轴正半轴上，x

7、>0即所求的轨迹方程为：x>0抛物线去掉顶点2设直线l：yk(x1)k0，代入得： 设a、b，那么 线段ab的中点坐标为线段ab的垂直平分线方程为：(x) 在中，令y0，得 (与x轴的交点),且与的夹角为600，abe为等边三角形点e到直线ab的距离为|ab|而|ab|= 解得： 代入 从而8.在坐标平面内，设o是坐标原点，点a满足4，2，点集sp|p为平面内的点且满足条件：|pf1|pf2|=21求点a的坐标；2假设p1、p2s，且，又点q满足·,求点q的轨迹方程。【解】设a，那么，4，2，即a2，12由|pf1|pf2|=2得点p的轨迹是以f1、f2为焦点的双曲线的一

8、支即集合s所表示的图形其方程为：p1、p2s，p1、p2都在双曲线上。，即点a、p1、p2三点共线又·知：q是线段p1p2的中点。问题转化为：过点a作直线交双曲线与p1、p2两点，求p1p2的中点q的轨迹方程。按求弦的中点的轨迹方法可得；9.如图，抛物线上有两点a、b，且·0，又0，2，1求证：2假设2·,求ab所在直线方程。【解】由题意得：a、b·0， ，····20即：【解题回忆】此题表达了向量方法证明三点共线问题的一般方法。此题的实质是课本上一道题的改编，原题为：过抛物线的顶点o作两条互相垂直的弦oa、ob，

9、与抛物线交于a、b两点，求证ab必过定点定点为ab与x轴的交点22· b为或，得或ab的方程为：y±x210直线l过点1，0，且方向向量2，2，直线m过原点o，其方向向量为1，k，且·1，中心在原点，焦点在x轴上的椭圆e与直线l相交于a、b两点，点m满足，直线m过点m，椭圆e上存在一点n，与椭圆的右焦点关于直线l对称，求椭圆e的方程。【答案】思考题：xayof·nbced1椭圆a>b>0的右焦点为f，直线l经过点e()，直线l的方向向量为0,1，其中c，a、b为椭圆上的两点，且·<0，点c在l上，且。线段ef的中点为n，求证：，n