（整理版）高考数学知识点讲座考点31曲线与方程

1、加加*号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用曲线方程的概念及求曲线方程的步骤解析几何研究的主要问题：根据条件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质2.“曲线的方程、“方程的曲线的定义：在直角坐标系中，如果某曲线 c 上的点与一个二元方程0),(yxf的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；纯粹性(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点完备性那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线3定义的理解：设 p=具有某种性质(或适合某种条件)的点，q=(x，y)|f(x，y)=0，假设设点 m 的坐

2、标为(x0，y0)，那么用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：(1)mp(xy )qpq(2)(xy )qmpqp0000， ，即；， ，即以上两条还可以转化为它()：(1)(xy )qmp(2)mp(xy )q0000，；，显然，当且仅当且，即时，才能称方程，pqqpp = qf(xy) = 0为曲线 c 的方程；曲线 c 为方程 f(x，y)=0 的曲线(图形)4.求简单的曲线方程的一般步骤：1建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点 m 的坐标；2写出适合条件 p 的点 m 的集合；3用坐标表示条件 pm ，列出方程0),(yxf;4化方程0),(yxf为最简形式；5证明以化

3、简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 上述方法简称“五步法，在步骤中假设化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，那么步骤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程(图形)的步骤：讨论曲线的对称性(关于 x 轴、y 轴和原点)；求截距：方程组，的解是曲线与 轴交点的坐标；f xyy() 00 x方程组，的解是曲线与 轴交点的坐标；f xyx() 00y讨论曲线的范围；列表、描点、画线6.交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组7.曲线系方程：过两曲线 f1(x，y)=0 和 f2(x，y)=0 的交点的曲线系方程是 f1(x，y)f2(x，y)=

4、0(r)8.求轨迹有直接法、定义法和参数法，最常使用的就是参数法例1. 曲线c的方程为f(x,y)=0,点p(x0,y0),那么f(x0,y0)=0是点p在曲线c上的a充分条件 b必要条件 c充要条件 d既不充分又不必要条件答案：c例 2. 11设直线 xy=4a 与抛物线 y2=4ax 交于两点 a，b (a 为定值)，c 为抛物线上任意一点，求 abc 的重心的轨迹方程分析：，是定点，影响 abc 的重心运动的因素是抛物线上的动点，应选点的坐标作参数解：设 abc 的重心为 g(x,y) ,点 c 的坐标为 c(x0,y0),a(x1,y1), b(x2,y2) 由方程组：axyayx44

5、2消去 y 并整理得：x212ax+16a2=0 x1+x2=12a, y1+y2=(x14a)+(x24a)=(x1+x2)8a=4a由于 g(x,y)为 abc 的重心, 343312302100210ayyyyyaxxxxx,ayyaxx4312300, 又点 c(x0,y0)在抛物线上，将点 c 的坐标代入抛物线的方程得：(3y4a)2=4a(3x12a), 即(y34a)2 = 34a(x4a) 又点 c 与 a，b 不重合，x (65)a点评：与动点相关的点的坐标，也是常用的参数，即“点参数 此题用代入消元法消去了两个参数x0,y0,在设点参数时，经常使用这种消元技巧头 头头 头头

6、 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头应重视对化简前方程的检验，检验时要注意观察特殊位置22过原点的直线l与曲线 y=x22x+2 交于 a，b 两点，求弦 ab 中点的轨迹分析：ab 的中点是受 a，b 两点的影响而运动的，而 a,b 的运动是由于直线l的转动而导致的，因此可以选择直线l的斜率 k 作为参数解：设 ab 的中点 m(x,y), a(x1,y1), b(x2,y2), 直线l的斜率为 k(依题意，k 必须存在),且过原点，直线l的方程为：y=kx, 将此式代入 y=x22x+2并整理得：x2(2+k)x +2=0 (1) x1+x2

7、=2+k, x=221xx =22k (2), 又 y=kx (3) 由(2) , (3)消去 k 得：y=2x22x又由于直线l与曲线有两交点，故(1)式中的判别式 0, (2+k)280, 解得 k+222 或 k+22 或 x2 或 x0) 1与c2的方程(1)c1的一个焦点为f(1,0),对应的准线方程为x=1,且曲线c1过点p(3,23);(2)c2的离心率为e=3/3,一条准线方程为y=1/e, 且中心在原点解：用定义法(1)点p到准线的距离为3(1)=4=|pf|, e=1, 曲线c1为抛物线，其方程为y2=4x;(2)e=33, 曲线c2为椭圆, 设c2的方程为: 12222b

8、yax (ab0),那么e=ac33及312eca,可得 a=1, c=33,b2=a2c2=32c2的方程为 2232yx=1例4.abc中，a,b,c所对应的边为a,b,c,且acb,a,c,b成等差数列，|ab|=2,求顶点c的轨迹方程解：|bc|+|ca|=42,由椭圆的定义可知，点c的轨迹是以a、b为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为23, 椭圆方程为13422yx, 又ab, 点c在y轴左侧，必有x0,而c点在x轴上时不能构成三角形，故x2, 因此点c的轨迹方程是：13422yx(2x0，向量(0, ),(1,0)ma n，经过定点 a0，a以mn为方向向量的直线与经过定

9、点 b0，a以2nm为方向向量的直线相交于点 p，其中r求点 p 的轨迹 c 的方程；假设,22a过 e0，1的直线 l 交曲线 c 于 m、n 两点，求enem 的取值范围解：设 p 点的坐标为x，y ，那么),(),(ayxbpayxap又(1,0),(0, ),( , ),2(1,2)nmamna nma故由题知向量ap与向量,().mnyaax平行故又向量bp与向量,2.nmyaax平行故两方程联立消去参数，得点 px，y的轨迹方程是 .2,2)(222222xaayxaayay即22a，故点 p 的轨迹方程为, 12222 xy此时点 e0，1为双曲线的焦点假设直线 l 的斜率不存在，其方程为 x=0，l 与双曲线交于)22, 0(m、)22, 0( n， 此时.21211) 122)(122(enem 假设直线 l 的斜率存在，设其方程为代入, 1 kxy12222 xy化简得 . 014) 1(222kxxk 直线 l 与双曲线交于两点，. 1. 010) 1(8)4(222kkkk解得且设两交点为),(),(2211yxnyxm， 那么.) 1(21,12221221kxxkkxx此时),(),() 1,()