2015年考研数学真题答案(数一-)

1、2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1、设函数f(x)在(-笛,+m)连续，其2阶导函数f “(x)的图形如下图所示，则曲线 y=f(x)的拐点个数为()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】(C)【考点】拐点的定义【难易度】【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由f"(x)的图形可知，曲线 y = f (x)存在两个拐点

2、，故选(C).1 Cv12、设y =e + | x- Ie是二阶常系数非齐次线性效分方程y +ay'+by = ce的一个特解，2.3则()(A) a =-3,b =-1,c =-1.(B) a = 3,b = 2,c =-1.(C) a = -3,b =2,c = 1.(D) a=3,b=2,c=1.【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】1 "1 V0【详解】e2x,-ex为齐次方程的解，所以2、1为特征方程 九2+a九+b=0的根，从而2 3a=(1+2)=3,b=12=2,再将/I解 y=xex代入方程 y3y' + 2y = cex得：

3、c = 1.3、若级数 an条件收敛，则x=邪与x=3依次为哥级数£nan(x-1)n的： n 1n(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点【答案】(B)【考点】级数的敛散性【难易度】qQqQ【详解】因为an条件收敛，故x = 2为哥级数2 an(x-1 f的条件收敛点，进而得 n 1n z1oOZ an(x-1 )的收敛半径为1,收敛区间为(0,2 ),又由于哥级数逐项求导不改变收敛区间，故n 1QOQ0Z nan (x1 n的收敛区间仍为(0,2 ),因而x = J3与x=3依次为哥级数 工nan(x1)n的收敛n 1n 1点、发散点.4、

4、设D是第一象限中曲线 2xy =1,4xy =1与直线y = x, y = J3x围成的平面区域，函数f (x, y)在D上连续，则 口 f (x, y)dxdy =D二1 .(A).2dLsin尸 f (rcos?, rsini)rdr42sin 21二1 .(C)3d所产 f (rcosrsin )dr42sin 2 1二 1(B)2d；： i'si；271 f(rcos1,rsin)rdr412sin21二 1(D 优dgjsn29 f (rcos9,rsin9)dr4J2sin2117【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】/ny不 冗【详解】由y=x得，8=；由y

5、=J3x得，8 = 由 2xy =1 得，2r2 cossin =1, r = 士1,2sin 2，sin 21二1所以 f(x, y)dxdy- 3di si；2。f (r cosu,r sini)rdr2sin2 口1 15、设矩阵A = 1 2（ 4解的充分必要条件为1a ，2a1、b = d ,若集合 建=1,2,则线性方程组Ax = b有无穷多个(A)a 1, d ''' 1(D)a , d 11【答案】（D）【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】111【详解】IA,b】=12aJ4a211 1d310 1 2 !d - p 011a 1d 1a-1 a -

6、2 d -1 d -2Ax =b有无穷多解 u R(A) =R(A,b) <3u a =1 或 a =2且 d =1 或 d = 26、设二次型 ”为心死）在正交变换x = Py下的标准形为2y；+y2 -y2,其中P =(e e, 63),若Q =(e ,-备,牝)，则f (Xi,X2, x3)在正交变换x=Qy下的标准形为(A)2y2y；+y；(B) 2y；+y2-y3(C) 2ylmy(D) 2y；+y2+y；【答案】(A)【考点】二次型【难易度】2 00【详解】由 x = Py ,故 f = xT Ax = yT (PT AP)y = 2y12 + y2 - y；且：PTAP=

7、0 100 0 T _1 0 02 0 0Q=P 001 =PC,QTAQ =CT(PTAP)C = 0-10：010_A 0 1 1T AT T222所以 f =x Ax uy (Q AA)y =2y1 - y2 y3,故选(A)7、若A, B为任意两个随机事件，则(A) P(AB) <P(A)P(B)(B) P(AB)之 P(A)P(B)(O P(AB)VP(A)”B)(D)p(ab”P(A)；P【答案】(C)【考点】【难易度】【详解】P(A) 一 P(AB),P(B) _ P(AB).P(A) P(B)_2P(AB)PAB .： P(A) P(B兀一 P(AB)三 2故选(C)8、

8、设随机变量 X,Y不相关，且EX =2,EY=1,DX =3,则E-X (X+丫 2 )=(A) -3(B) 3(C) -5(D) 5【答案】(D)【考点】【难易度】【详解】E -X (X +Y -2 )=E -X2 +XY -2X 卜E(X2 )+E(XY )-2E(X ) =DX E2 X E X E Y -2E X =5二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸,指定位置上.cIn cosx9、lim 7=x 0 x2-1【答案】-2【考点】极限的计算【难易度】【详解】limx Qln cosxln(1 cosx - 1)二 lim -zx 0x2cosx -12x

9、1 2-x二 lim 2x p x210、5 sin x2(-7 1 cosx十 |x )dx =【考点】积分的计算【难易度】 Qin y 【详解】2( sinx21 cosxTE +|x|)dx=2J02xdx = 411、若函数 z = z(x, y)由方程 ez+xyz+x+cosx = 2 确定，贝U dz (0,1)二【答案】【考点】隐函数求导【难易度】【详解】令 F (x, y, z) =ez+xyz+x+cosx-2 , 贝U Fx'= yz +1 -sin x , Fy = xz , F；= xy ,czFczFy又当 x=0,y=1 时，z=0,所以一= -1,= 0

10、,因而 dz(01) = dx(U,I)次(0,1) Fzy (0,1)Fz12、设c是由平面x + y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则hi (x 2y 3z)dxdydz _Q=1【答案】14【考点】三重积分的计算【难易度】【详解】由轮换对称性，得10 (x+2y + 3z)dxdydz=6 q zdx dydz = 6 0zdz gdxdyWWDz211213©z>2(1-z) dz=3 6(z2z2 +z)dz=：其中Dz为平面z = z截空间区域 W所得的截面，其面积为 1(1- z).所以O (X+2y+ 3z)dxdydz = 6 o zdxdydz =

11、6WW20Hl 0 2-1 2 HI 0 2013、n阶行列式0III0 III2-1【答案】2n1 -2【考点】行列式的计算【难易度】【详解】按第一行展开得2002-1202&= 002200-12= 2(2%= 2n+1- 2= a+(-!)" 1 =2ZJft+2nJ /HJ+ 2) + 2= 22D?i_2 +21+2-2h-f2,"+ 214、设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N(1,0,1,1,0),则P(XYY<0) =【考点】【难易度】【详解】；(X,Y) N(1,0,1,1,0),，X N(1,1)Y N(0,1),且 X,Y 独立 二

12、X -1 N(0,1) P1XY-Y <0= P1(X -1)Y <011111= P1X -1 二0,丫 0.' P1X -10, Y ： 0J =2 2 2 2 2三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸,指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.15、(本题满分10分)设函数 f (x) =x+aln(1+x)+bx sin x , g(x) = kx3,若 f (x)与 g (x)在 xt 0 是等价无穷小,求a , b , k值。【考点】等价无穷小量，极限的计算【难易度】【详解】 f (x) =x aln(1 x) bx sin x23x

13、 x 3:xa x -二 x23a .2 a 33b x x lx,23f(x)与g(x) =kx3是等价无穷小1+a = 0a = -1a1b = 0=' b =22a =kk =.3.16、(本题满分10分)设函数在f(x)定义域I上的导数大于零，若对任意的x0w I ,曲线y=f(x)在点(x0, f (x0)处的切线与直线x =x0及x轴所围成的区域的面积为 4,且f(0) =2,求f(x)的表达式 .【考点】微分方程【难易度】【详解】如下图：x = X0处的切线方程为 l： y= f'(X0)(xX0)+ f(X0)l 与 X 轴的交点为：y = 0 时，x =X0

14、- 丁0),则 AB = f(X0)= x X0, f (X0)f'(X0)因此，S=-|AB f (X0)=上竺！ f (x0)=4 .即满足微分方程：22=，解得：2' " 2 f (x0) ' "y8又因 y(0) =2 ,所以 c=1,故 y =8. 4 -x 17、(本题满分10分) 已知函数f (x, y) = x + y + xy ,曲线C ： x2 + y2 + xy = 3 ,求f (x, y)在曲线C上的最大方向导数. 【考点】方向导数，条件极值 【难易度】 【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且

15、为梯度的模故 81 1一 = 一 一 x c.y 8=2(1 +x)+2Ax 十八y = 0&令(£=2(1 +y) +2九y 十八x = 0可彳导(1,1),(-1,-1) ,(2,-2),(-1,2)出F 22=x +y + xy -3=0I cZ其中 z(1,1) =4,z(1,1) =0,z(2,1) = 9 = z(1,2)综上根据题意可知 f(x,y)在曲线C上的最大方向导数为 3.18、(本题满分10分)(I)设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明u(x)v(x)'= u'(x)v(x) u(x)v(x)'(n)设函数 u1(x)

16、, u2(x).un(x)可导，f (x) = u1(x)u2(x).un(x)，写出 f (x)的求导公式【考点】导数定义【难易度】【详解】,.u x x v x _x -u x v(x)u x v x =蚂爪|u x Lx)-u(x) v x l xu xv(xx) -v(x) 1x 0|_x''=u x v(x) u x v (x)(n)'f (x) - 1u(x) 0(x)1 |un(x)卜=5 (x) (x) |l|un(x) 1 u1(x) Ju2(x)|"un(x) 1= u；(x) 5(x) |l|un(x) - u1(x) 一(x) &

17、;(xHUux) 1?Ill二 u；(x) u2(x) IHun(x) u1(x) u2 (x)川un(x) 1“ u1(x) u2(x)|l| un'(x)19、（本题满分10分）已知曲线L的方程为Jz = 72-x2-y2，起点为a(0,J2,0),终点为B(0,_J2,0),计算曲线积 z 二 X,分 I : Jy z)dx (z2 -x2 y)dy (x2 y2)dz【考点】曲线积分的计算【难易度】X 二cosi,【详解】曲线L的参数方程为y = J2sine,日从三到-三22z =cosi,I 二 Jy z)dx (z2 - x2 y)dy (x2 y2)dz=2 ( .2s

18、in【 cos?)sin ? 2 sin 1 2 cos 二-(cos2 3 2sin2 i)sin i d?2 一1= 2 I ： 2sin 二 sin2 1- sin ? - sin 二 d 二2.2M 2. .M 2 . .1 ：-；2-、2 sin-d - 2 2 sin d - 2 2=二w02 2220、(本题满分11分)设 向量组%, 口2a3是3维向量空间3的一个基，P1 =2% +2。3 ,P2 ="2 ,息=% +(k + 1)%。(I)证明向量组P1,P2,久是3的一个基;(n)当k为何值时，存在非零向量 二在基%,%43与基因，葭久下的坐标相同，并求出所有 的

19、上【考点】线性无关，基下的坐标【难易度】,201 ”【详解】(I)出,久,%)=(%,%,%) 020区k 0 k+120因为022k 02 =22k= 4#0,所以P1,P2,E线性无关,%久是口3的一个基。(n)设 p = 0郃0120, P为从基口匕必到基1,22,3的过渡矩阵，又设0 k + 1,口2, 网下的坐标为x =(X1,X2,X3)T ,则自在基1,尾，3下的坐标为P,x,由X二P即(P -E)x =0-12k2k k并解得X = c,c为任意常数。从而 =-c： 1 c： 3, c为任意常数。21、(本题满分11分)-3-2设矩阵A =-111-2相似于矩阵B = 010(

20、I)求a,b的值.1 .(n)求可逆矩阵P，使得P AP为对角阵.02-3"1 -2 0'A =-13-3相似于B =0 b 0<1-2a；<031；【考点】相似矩阵，相似对角化【难易度】【详解】由0 +3 +a =1 +b +1-3-2-3解得 a =4,b =5fA( )m e -ai=-3=( -1)2( - 一5) =0-1 -4当 1 = '2 =1,('E'A)特征向量1 =一3.，-210当 3 =5,( ' E - A)=1J-23；<00；-3则特征向量3-1所以P =( 1,：2,3)=-1，得 P,AP22、(本题满分设随机变量Xf(x)=I1 J11分)的概率密度为2-xln2 x 0XM0对X进行独立重复的观测，直到第(I)求Y的概率分布；(n)求【考点】【难易度】EY.2l