2015海淀高三数学文科二模试题及答案

1、2015海淀高三数学文科二模试 题及答案海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文）2015.5本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 。（1）在复平面内，复数i2（1 i）对应的点位于（）（A）第一 （B）第二象 （C）第三 （D）第四象第4页共18页(B)x 0, x - 2x。的圆心坐标及半径分别是象限 限(2)已知命题p： x 0,x(A) x 0, x - 2 x(C) x 0,x 1 2 x(3)圆 C:

2、x2 y2 4x 2y 3()象限 限1 2,则为（） x(D)(A)(2,1), ,2(B)(2,1)，拒 (C) ( 2,1),2(D) (2, 1),2(4)右图表示的是求首项为41 ,公差为2的等差数列an前n项和的最小值的程序框图.则睛甲d =处可填写(A(C(B)(D)(5) 已知点 A(a,a)(a 0) B(1,0)O为坐标原点.若点C在直线OA上)且BC与OA垂直)则点C的坐标是(A(2, 2)(B)母 |)(C)拶)打(6在ABC中 若a 3,c 后A '3则b ()(A(B) 6(C)(D)(7设 a 0.23,b log2 03c 10g0.32, 则 (8(A

3、)bac (B)bca x y 4,)已知不等式组x y 2,x 2(C) c ba (D)表示的平面区域为O(0,0),A(1,0).若点M是D上的动点，则明的最小值是(A)等)嘤二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)以坐标原点为顶点，,。)为焦点的抛物线的方程 为.(IO)已知数列%的前项和为S.，尸0(£N*) , 4,4+1 =s，则 4 - q =(11)已知/(x) = cosx-lnx 9 /(工0)= /'(阳)=°(/工演)， 则上。f|的最小值(12)满足cos(a + Q) = cosa+ cos£的"的一组值是.

4、(写第7页共18页出一组值即可)(13)函数W%'的极值点/曲线广巾)在点(%,/(%)处的切线方程是(14)某网络机构公布某单位关于上网者使用网络浏览器44的信息:316人使用八478人使用b ； 104人同时使用力和8；567人只使用a中的一种网络浏览器.则这条信息为(填“真”或“假由是.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、 演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分13分）已知函数f（x） = 4sinx-cos2x （I）求正）；6（II）求函数仆）的最小值.（16）（本小题满分13分）某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情 况，随机抽取男、女生各20名进

5、行测试，记录的数据如T：男生投掷距离（单位：米）9 7 78 7 66 685 5 3 0女生投掷距离（单 位：米） 5 6 7894 6455666 9002445 5 5 5 8已知该项目评分标准为:男生投 掷距离 （米）5.4,6.0)6.0,6.6)6.6,7.4)7.4,7.8)7.8,8.6)8.6,10.0)10.0,)女生投 掷距离 （米）5.1,5.4)5.4,5.6)5.6,6.4)6.4,6.8)6.8,7.2)7.2,7.6)7.6,) 个人得 分（分）45678910（I ）求上述20名女生得分的中位数和众数； （n）从上述20名男生中，有6人的投掷距离低于7.0米，

6、现从这6名男生中随机抽取2名男生，求抽取的2 名男生得分都是4分的概率；（田）根据以上样本数据和你所学的统计知识，试估计该年级学生实心球项目的整体情况 .（写出两个结论即可）P 'D A第16页共18页（17）（本小题满分13分）如图所示）在四棱锥P ABCD中）PD平面ABCD）又AD /AD DC )且 PD BC 3AD 3（I）画出四棱准P ABCD的正视图;（n）求证：平隹PADPCD -（田）求证：棱PB上存在一点E,使得AE/平面PCD,并 求EB的值.1111111-H-1-r1-1 -j一 j111111 - T -1 _ + _ -1L一11111(18)(本小题满

7、分14分)佃满足 (I (n已知数列an是首项为2,公比为2的等比数列，又数列210g2 an) S是数列bn的前n项和.求s；若对任意的n N*,都有"名成立，求正整数an ak值.(19)(本小题满分13分)已知函数f(x) aln x x 2,其中a 0.(I )求f(x)的单调区间；(n )若对任意的xi 1,e)总存在x2 1,叽 使得f(xi)f(x2)4 )求实数a值.(20)(本小题满分14分)._2已知椭圆C： y2 1,点D为椭圆C的左顶点.对于正常数,如果存在过点M(xo,0)( 2 x0 2)的直线l与椭圆C交于A,B两点，使得Saob Saod,则称点M为椭

8、圆C的“分点”(I )判断点M(1。是否为椭圆C的“1分点”，并说明理由;(n)证明：点M (1,0)不是椭圆C的“ 2分点”；(田)如果点M为椭圆C的“2分点”，写出入的取值范围.(直接写出结果)2015.5（1） BA（5） DB二、填空题（共 的小题，第一空(3)(9)(11)y24x(10海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文）答案及评分参考、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）(2) D(4) C(6) C(8) C6小题，每小题5分，共30分。有两空2分，第二空3分）(14)假，由可知只使用一种网络浏览器的人数(13)3 , y 27e是212+374=586,这与矛盾 三、解

9、答题（共6小题，共80分）(15)(共 13 分)解：冗冗 冗 11f() 4sin - cos- 4 6632 2 4 分(n)因为 f(x) 4sin x cos2x24sin x (1 2sin x)6分八.22sin x 4sin x 12(sin x 1)2 3因为所以8分1 sin x 1)、值当 sinx 1)即 x 2k2,k Z 时)f(x)取得最/、13分(16)(共 13 分)解.(I ) 20名女生掷实心球得分如下:7,以7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9,中 位 数 为 8,9.(n)4, 45, 6, 7, 79, 10, 10众数4分7,所为由题意

10、可知，掷距离低于7.0米的男生的得分如下：4)6)6)6.这6名男生分别记为aaabbn从这男生中随机抽取2名男生，所有可能的结果有15种,它们是：(A1,A2),(A1,A3),(A,BJ(A1,B2),(A,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),( A2B)(A,B),(A,B2),(A3,B3),(B,B2),(B,B3),(B2,B3).用C表示“抽取的2名男生得分均为4分”这一事件, 则c中的结果有 3 个，它们是：(A, A2),( A,A3),(A2,A3)P(C) 159分(略13分评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角 度对整个年级学生掷实心球项目

11、的情况进行合理的说明 即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比; 或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建 议.（17）（共 14 分）（I）解：四棱准P ABCD的正视图如图所示(nPDPCD3分)证明：因为 PD平面ABCD)AD平面ABCD)所以AD.5分因为 AD DC, PDA CD D)PD 平面 PCD)CD 平面 PCD)所以AD平面7分因为AD平面PAD)所以平面PAD平面PCD .(田)分别延长CD,BA交于点O)连接PO)在棱PB上取一所以Sn 2 4 +2nn(2 2n)26分第17页共18页(n)令Sn2nn(n 1)2ncn 1Sn(nan 1an1

12、)(n 2) n(n 1) (n 1)(2 n)2n 12n2门 1所以当n 1时，C1 c2；时, 时,c4c5S ak所以 所以.an数列Cn中最大项为Cz和c3.存在k 2或3,使得对任意的正整数 n,都有13分(19)(共 13 分)解：f'(x)当a为(0，a / a x 八1 , x 0.x x2分。时,对x (0,f'(x) 0)所以f(x)的单调递减区间当 a。时)令 f '(x) 0)得 x a.因为 x (0,a)时)f'(x) 0； x (a,)时)f'(x) 0.).所以f(x)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,(I

13、I)用f (x)max, f (乂濡分别表示函数f (x)在1,e上的最大值,最小值.当a 1且a。时)由(I)知：在1,e上)f(x)是减函数.所以 f(x)max f(1) 1.因为 对任意的 xi 1,e,X2 1,%f(xi) f(X2)2f(1) 2 4)所以对任意的x1 1,e,不存在x2 1,e,使得 f(x1)f(x2)4. 8 分当1 a e时)由(I)知：在1,a上)f(x)是增函数)在a,e 上，f(x)是减函数.所以 f(x)max f (a) aln a a 2.因为对 X 1,x2 1,e,f (1) f(x2)f(1) f (a) 1 aln a a 2 a(ln

14、a 1) 3 3)所以 对为1 1,e) 不存在x2 1,e) 使得 f(x1)f%) 4.10分当 a e 时,令 g(x) 4 f (x)(x 1,e).由(I )知：在1,e上，f(x)是增函数，进而知g(x)是减函 数.所以 f(x)min f(1) 1, f(x)maxf(e) a e 2)g(x)max g(1) 4 f(1) g(x)min g(e) 4 f (e).因为 对任意的x1 1,e,总存在x2 1,e,使得f(x1)f(x2) 4 ,即f(x1)g%)所以f(1)g(e),即f(1) f(e)4,f(e) g(1), f(e) f(1) 4.所以f(1)f(e)a e 3 4,解 得a e 1. 13 分综上所述，实数a的值为e 1.(20)(共 14 分)(I )解：点M(1Q)是椭圆C的"1分点”，理由如下：1分当直线I的方程为x 1时，由4 y21可得A(1泉B(1,%(不妨假设点A在x轴的上方)所以Saob1唇叵,Saod2 ". 22,222所以Saob Saod ,即点M (1,0)是椭圆C的"1分点” .4分(n)证明：假设点M为椭圆C的"2分点"则存在过点M的直线l与椭圆C交于A,B两点，使得Saob 2S aod .显然直线l不与y轴垂直,设