电路分析第五章

1、第5章 互感电路及理想变压器第5章 互感电路及理想变压器5.1 互感及互感电压 在交流电路中，如果在一个线圈的附近还有另一个线圈，则当其中一个线圈中的电流变化时，不仅在本线圈中产生感应电压，而且在另一个线圈中也要产生感应电压，这种现象称为互感现象，由此而产生的感应电压称为互感电压。这样的两个线圈称为互感线圈。第5章 互感电路及理想变压器12i1N1N22111(a)12i2N1N22212(b)互感磁链 ：由一个线圈中电流所产生的与另一个线圈相交链的磁链，如21。 而21则称为互感磁通。21221121122222211111,NNNN的变化引起。互感电压，由121iu两线圈的磁通相互交链的关

2、系称为磁耦合。第5章 互感电路及理想变压器互感系数为1212121212iMiMM12=M21=M 互感的大小反映一个线圈的电流在另一个线圈中产生磁链的能力。互感的单位与自感相同，也是亨利(H)。第5章 互感电路及理想变压器 一般情况下，两个耦合线圈的电流所产生的磁通， 只有部分磁通相互交链，彼此不交链的那部分磁通称为漏磁通。 两耦合线圈相互交链的磁通越大，说明两个线圈耦合得越紧密。 为了表征两个线圈耦合的紧密程度， 通常用耦合系数k来表示， 并定义 21LLMk 式中，L1、L2分别是线圈 1 和 2 的自感。由于漏磁通的存在， 耦合系数k总是小于 1 的。 k值的大小取决于两个线圈的相对位

3、置及磁介质的性质。 第5章 互感电路及理想变压器(a)(b)K1 全耦合K0 无耦合第5章 互感电路及理想变压器如果选择互感电压的参考方向与互感磁通的参考方向符合右手螺旋法则，则根据电磁感应定律，有tiMtdutiMtdudddddd2121212121由此可见，互感电压与产生它的相邻线圈电流变化率成正比。 第5章 互感电路及理想变压器则 2sincosddm1m1121tMItMItiMu同理2sinm212tMIu当线圈中的电流为正弦交流时，如 tIitIisin,sinm22m11互感电压可用相量表示为 2M2121M121IjXIMjUIjXIMjU式中，XM=M称为互感抗，单位为欧姆

4、()。 第5章 互感电路及理想变压器12i1u21 21 11(a)ABCD12i1u21 21 11(b)ABCD 为了表示线圈的相对绕向以确定互感电压的极性，常采用标记同名端的方法。5.2 互感线圈的同名端第5章 互感电路及理想变压器5.2.1 同名端的标记原则及测定 互感线圈的同名端是这样规定的：如果两个互感线圈的电流i1和i2所产生的磁通是相互增强的，那么，两电流同时流入(或流出)的端钮就是同名端；如果磁通相互削弱，则两电流同时流入(或流出)的端钮就是异名端。同名端用标记“”、 “*”或“”标出，另一端则无须再标。第5章 互感电路及理想变压器A(a)B*CD*1234*56*(b) 同

5、名端总是成对出现的，如果有两个以上的线圈彼此间都存在磁耦合时，同名端应一对一对地加以标记，每一对须用不同的符号标出。第5章 互感电路及理想变压器测定同名端电路RSUSAiL1CL2DBmV第5章 互感电路及理想变压器5.2.2 同名端的应用 同名端确定后，互感电压的极性就可以由电流对同名端的方向来确定，即互感电压的极性与产生它的变化电流的参考方向对同名端是一致的。i1u12i2M(a)ABCDi1u12i2M(b)ABCD第5章 互感电路及理想变压器 在互感电路中，线圈端电压是自感电压与互感电压的代数和，即 tiMtiLutiMtiLudddddddd12222111若电流为正弦交流，可用相量

6、表示为 12222111IMjILjUIMjILjU自感电压 、 的正、负号取决于本端口电压与电流的参考方向是否关联，若关联，取正号，否则取负号。互感电压 、 的正、负号取决于同名端的位置和端口电压的参考极性，若变化电流是从同名端流入的，则其互感电压在另一线圈的同名端是“+” 极性，当这个极性与其端口电压的参考极性一致时，取正号，否则取负号。tiLdd11tiLdd22tiMdd2tiMdd1第5章 互感电路及理想变压器 例 写出下图(a)、 (b)所示互感线圈端电压u1和u2的表达式。 i1u1L1u2L2i2M(a)i1u1L1u2L2i2M(b)tiMtiLutiMtiLuddddddd

7、d12222111tiMtiLutiMtiLudddddddd12222111第5章 互感电路及理想变压器 例例 在图(a)所示电路中，已知两线圈的互感M=1H， 电流源i1(t)的波形如图(b)所示，试求开路电压uCD的波形。 第5章 互感电路及理想变压器tiMudd1CD根据i1的参考方向和同名端位置， 有 由图 (b)可知：0t 1s时，i1=10t A， 则 V10d)10(dCDttMu 1t 2 s时，i1=(-10t+20) A，则 V10d)2010(dCDttMut 2 s时，i1=0, 则 0CDu第5章 互感电路及理想变压器第5章 互感电路及理想变压器5.3 互感线圈的连

8、接及等效电路5.3.1 互感线圈的串联互感线圈的串联 互感线圈的串联具有两种接法顺向串联和反向串联。第5章 互感电路及理想变压器ILjIMLLILILIMILjUUUs2112121)2(jjjj式中 MLLL221s在图示电压、电流参考方向下，根据KVL可得线圈两端的总电压为 Ls称为顺向串联的等效电感。故电路可以用一个等效电感Ls来替代。 1. 互感线圈的顺向串联第5章 互感电路及理想变压器 2. 互感线圈的反向串联在图示电压、电流参考方向下，根据KVL可得线圈两端的总电压为 ILjIMLLjIMjILjIMjILjUUUf212121)2(Lf称为反向串联的等效电感。故电路可以用一个等效

9、电感Lf来替代。 MLLL221f式中 第5章 互感电路及理想变压器根据Ls和Lf4fsLLMMLLL221sMLLL221f可以求出两线圈的互感M为第5章 互感电路及理想变压器 例例 将两个线圈串联接到 50 Hz、60V的正弦电源上， 顺向串联时的电流为2 A，功率为 96W，反向串联时的电流为2.4 A，求互感M。 解解 顺向串联时，可用等效电阻R=R1+R2和等效电感Ls=L1+L2+2M相串联的电路模型来表示。根据已知条件，得 2429622sIPsRIULH057. 050218sL第5章 互感电路及理想变压器 反向串联时，线圈电阻不变， 由已知条件可求出

10、反向串联时的等效电感 H022. 050277244 . 260f2222ffLRIUL所以得 mH75. 84022. 0057. 04fsLLM第5章 互感电路及理想变压器5.3.2 互感线圈的并联 互感线圈的并联也有两种接法，一种是两个线圈的同名端相连， 称为同侧并联，如图 (a)所示； 另一种是两个线圈的异名端相连， 称为异侧并联， 如图 (b)所示。 L2M(a)L1L2M(b)L1IU1I2IIU1I2I第5章 互感电路及理想变压器在如图 所示的电压、电流参考方向下，由KVL有 21122211IIIIMjILjUIMjILjUIMjIMLjIIMjILjUIMjIMLjIIMjI

11、LjU2222211111)()()()(1. 互感线圈的同侧并联第5章 互感电路及理想变压器 同侧并联的互感线圈可以用下图所示无互感的电路等效，从而消去这种处理互感电路的方法称为互感消去法，并将此无互感等效电路称为去耦等效电路。两个互感线圈同侧并联时的等效电感为 MLLMLLL221221第5章 互感电路及理想变压器2. 互感线圈的异侧并联在如图所示的电压、电流参考方向下，由KVL有 21122211IIIIMjILjUIMjILjUIMjIMLjIIMjILjUIMjIMLjIIMjILjU2222211111)()()()(第5章 互感电路及理想变压器异侧并联互感线圈的去耦等效电路两个互

12、感线圈同侧并联时的等效电感为 MLLMLLL221221第5章 互感电路及理想变压器对两个互感线圈只有一端相连的电路进行互感消去法第5章 互感电路及理想变压器对图（a）为同名端相连的情况，在图示参考方向下，可列出其端钮间的电压、电流方程为 211222321113IIIIMjILjUIMjILjUIMjIMLjUIMjIMLjU22231113)()(211222321113IIIIMjILjUIMjILjUIMjIMLjUIMjIMLjU22231113)()(第5章 互感电路及理想变压器对图（b）为异名端相连的情况，在图示参考方向下，可列出其端钮间的电压、电流方程为 21122232111

13、3IIIIMjILjUIMjILjUIMjIMLjUIMjIMLjU22231113)()(第5章 互感电路及理想变压器 例例 在如图所示的互感电路中，ab端加 10 V的正弦电压，已知电路的参数为R1=R2=3，L1=L2=4 , M=2。 求cd端的开路电压。aR2cbdL2L1R1M1IabUcdU第5章 互感电路及理想变压器 解解 当cd端开路时，线圈 2 中无电流，因此，在线圈 1 中没有互感电压。以ab端电压为参考，电压 V010abU则 A1 .5324 j3010R11ab1LjUIV3 .104 .13109 .364101 .5322 jjab1cdUIMU第5章 互感电路

14、及理想变压器 例例 图所示具有互感的正弦电路中，已知XL 1=10 , XL2=20, XC=5，耦合线圈互感抗XM=10，电源电压, RL=30 , 求电流。 V020SU2I第5章 互感电路及理想变压器去耦等效电路及其相量图Aj12 j4)30j30()5 j10j()30j30()5 j10j(20jS1UIA452)30j30()5 j10j(5 j10j12II第5章 互感电路及理想变压器5.5 理想变压器理想变压器 变压器是一种利用互感耦合实现能量传输和信号传递的电气设备。它通常由一个初级线圈和一个或几个次级线圈所组成。 初级线圈(也称原绕组)接电源， 次级线圈(也称副绕组)接负载

15、。 能量通过磁耦合由电源传递给负载。 如果变压器的线圈绕在用铁磁性物质制成的铁芯上，就叫做铁芯变压器， 这种变压器的电磁特性一般是非线性的。而空心变压器是指以空气或以任何非铁磁性物质作为芯子的变压器， 这种变压器的电磁特性是线性的。第5章 互感电路及理想变压器 理想变压器是一种特殊的无损耗、全耦合变压器。它作为实际变压器的理想化模型, 是对互感元件的一种理想化抽象, 它满足以下三个条件: （1） 耦合系数k=1, 即无漏磁通。 （2） 自感系数L1、L2无穷大且L1/L2等于常数。 （3） 无损耗, 即不消耗能量, 也不储存能量。 u2u1i1i2n1第5章 互感电路及理想变压器5.5.1 理

16、想变压器的变压作用理想变压器的变压作用u1N1N2i2u2i1铁芯变压器若铁芯磁通为, 则有 tNutNudddd2211理想变压器的变压关系式为 nNNuu2121式中n称为变比, 它等于初级线圈与次级线圈的匝数比, 是一个常数。 第5章 互感电路及理想变压器5.5.2 理想变压器的变流作用理想变压器的变流作用 互感线圈模型L1L2Mu1i1u2i222211211jjjjUILIMUIMIL第5章 互感电路及理想变压器因为理想变压器k=1, 即 , 则 21LLM 222121122111jjjjUILILLUILLIL22211112)(UILLjILjLL得 联立求得 nLLUU212

17、1第5章 互感电路及理想变压器又由电压关系式可得 212111ILLLjUI由于理想变压器L1, 因而nLLII11221为理想变压器的变流关系式。 理想变压器吸收的瞬时功率恒等于零。 即 0122222211iuinnuiuiup第5章 互感电路及理想变压器 在进行变压、变流关系计算时, 要根据理想变压器符号中的同名端来确定变压、变流关系式中的正、负号。原则是: （1） 两端口电压的极性对同名端一致的, 则关系式中冠正号, 否则冠负号； （2） 两端口电流的方向对同名端相反的, 则关系式中冠正号, 否则冠负号。 第5章 互感电路及理想变压器n11I2I1U2U21211InIUnU第5章 互感电路及理想变压器5.5.3 理想变压器的阻抗变换理想变压器的阻抗变换2L2IZU输入阻抗为若在次级接一负载ZLL22222211i1ZnIUn