第14章静电场中的导体和电介质(cheng)无注解

1、第第 14 14 章章 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质 导体内有大量的自由电荷，导体内有大量的自由电荷，在电场的作用下，导体表面出在电场的作用下，导体表面出现感应电荷。现感应电荷。(1).静电平衡静电平衡0E EE EE E外场外场0E感应场感应场E导体内部的场导体内部的场E14-1 14-1 导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件 当导体内部和表面都无电当导体内部和表面都无电荷定向移动的状态称为荷定向移动的状态称为静电平静电平衡状态。衡状态。(2).静电平衡条件静电平衡条件1）导体内部场强为）导体内部场强为0。 2）导体表面的电场强度的方向与导体表）导体表面的电场强度的方向与导体

2、表 面垂直。面垂直。+ +Eld证明：在导体内任取两点，证明：在导体内任取两点，电势差为电势差为BAABVVVBAlEdAB静电平衡时静电平衡时 E = 0, 0BAVVBAVV 即导体为等势体，导体表面为等势面。即导体为等势体，导体表面为等势面。 由静电平衡条件可知，导体为由静电平衡条件可知，导体为等势体，等势体，导体表导体表面为面为等势面。等势面。(1). . 静电平衡时导体内无净电荷，所有电荷分布于静电平衡时导体内无净电荷，所有电荷分布于 外表面。外表面。证明：在导体内作高斯面证明：在导体内作高斯面iiSEqSE)(01d内静电平衡时静电平衡时E = 0= 0，0)(iiq内面内电荷是否

3、会等量异号？面内电荷是否会等量异号？缩小高斯面缩小高斯面与静电平衡条件矛盾。与静电平衡条件矛盾。, 0iiq0E所以静电平衡时导体内无净电荷。所以静电平衡时导体内无净电荷。00d)(内，iSqSE对空腔导体，空腔内无电荷，对空腔导体，空腔内无电荷，S即电荷仍分布在表面上。即电荷仍分布在表面上。内表面上有电荷吗？内表面上有电荷吗？0d BAABlEV若内表面带若内表面带等量异号等量异号电电荷荷所以内表面不带电。所以内表面不带电。S+-AB+矛盾矛盾0, 0d)(内iSqSE而导体是等势体而导体是等势体0d BAABlEV 空腔导体具有静电屏蔽作用。例如：高压带电空腔导体具有静电屏蔽作用。例如：高

4、压带电作业人员穿的导电纤维编织的工作服。作业人员穿的导电纤维编织的工作服。q若空腔内有电荷，若空腔内有电荷，q2S00d)(1内，iSqSEqq内qQ1S电荷电荷仍仍分布在表面上。分布在表面上。内表面上有电荷吗？内表面上有电荷吗？00d)(2内，iSqSE 结论结论: 当空腔内有电荷当空腔内有电荷 时时,内表面因静电感应出内表面因静电感应出现等值异号的电荷现等值异号的电荷 ，外表面有感应电荷，外表面有感应电荷 （电荷（电荷守恒）。守恒）。qqq+E 为表面电荷面密度为表面电荷面密度 作钱币形高斯面作钱币形高斯面2）导体表面电场强度与电荷面密度的关系）导体表面电场强度与电荷面密度的关系0dSSE

5、S0SSE0E 表面电场强度的大表面电场强度的大小与该表面电荷面密度小与该表面电荷面密度成正比。成正比。0E+EE;,0E注意：注意：1.E不是单由面积不是单由面积S产生的，是整个导体产生的。产生的，是整个导体产生的。2.E 是导体表面附近的场强。是导体表面附近的场强。 对于孤立导体，电荷面密度与导体表面的曲率半对于孤立导体，电荷面密度与导体表面的曲率半径成反比。径成反比。1R2R球球 1 电势电势10114RqV211014 RqR011R3） 导体表面电荷分布导体表面电荷分布球球 2 电势电势20224RqV222024 RqR022R因为两导体电势相等，即因为两导体电势相等，即21VV0

6、22011RRCRR11R2R导体表面尖锐处导体表面尖锐处 R小，小， 大，表面大，表面E也大；也大；RE1导体表面平滑处导体表面平滑处 R大，大， 小，表面小，表面E也小；也小；如避雷针、尖端放电。如避雷针、尖端放电。+带电导体尖端附近电场最强。带电导体尖端附近电场最强。 带电导体尖端附近的电场特带电导体尖端附近的电场特别大，可使尖端附近的空气发生别大，可使尖端附近的空气发生电离而成为导体产生放电现象，电离而成为导体产生放电现象，即即尖端放电尖端放电 。 尖端放电会损耗电能尖端放电会损耗电能, 还会干扰精密测量和对通还会干扰精密测量和对通讯产生危害讯产生危害 。 然而尖端放电也有很广泛的应用

7、然而尖端放电也有很广泛的应用 。尖端放电现象的利与弊尖端放电现象的利与弊对非孤立导体无对非孤立导体无关系。关系。RE1 由于静电感应，电场力使电荷移动，导体表面的由于静电感应，电场力使电荷移动，导体表面的电荷重新分布，使导体内的电场仍保持为电荷重新分布，使导体内的电场仍保持为 0 。(1).若腔内无电荷若腔内无电荷 空腔内表面无电荷空腔内表面无电荷, ,全全部电荷分布于外表面。部电荷分布于外表面。14-2 14-2 外电场中外电场中的导体的导体 注意：注意：腔外带电体与腔外表面电荷在腔内场腔外带电体与腔外表面电荷在腔内场强总贡献为零。强总贡献为零。+qQqqq(2).(2).若腔内有若腔内有

8、q 电荷电荷0)(qq腔内表面有腔内表面有 q 电荷电荷。 由电荷守恒定律，在外表由电荷守恒定律，在外表面上产生等量的正电荷，外表面上产生等量的正电荷，外表面上的电荷为面上的电荷为qQ (1). (1).屏蔽腔外电场屏蔽腔外电场E外电场外电场 空腔导体可以屏蔽外电场空腔导体可以屏蔽外电场, , 使空腔内物体不受外使空腔内物体不受外电场影响。电场影响。 这时这时, ,整个空腔导体和腔内的电势也必处整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等。处相等。E空腔导体屏蔽外电场空腔导体屏蔽外电场 接地空腔导体接地空腔导体将使外部空间不受将使外部空间不受空腔内的电场影响。空腔内的电场影响。接地导体电势为零。接地导

9、体电势为零。 (2). (2).屏蔽腔内电场屏蔽腔内电场qq+q 例例1 1 有一块大金属平板有一块大金属平板, ,面积为面积为S, ,带有总电量带有总电量Q , ,在其在其近旁平行放置第二块大金属近旁平行放置第二块大金属板板, ,此板原来不带电。求静电此板原来不带电。求静电平衡时平衡时, ,金属板上的电荷分布金属板上的电荷分布 及其空间周围的电场分布。及其空间周围的电场分布。 如果将第二块金属板接如果将第二块金属板接地地, ,情况又如何情况又如何? ? 1 1 2 2 3 3 4 4QEEE解解 不计边缘效应不计边缘效应, ,电荷均匀分布在表面上。电荷均匀分布在表面上。由静电平衡条件得由静电

10、平衡条件得032SQ21043由高斯定理得由高斯定理得由电荷守恒定律得由电荷守恒定律得0222204030201pE 1 1 2 2 3 3 4 4Q. .PEEE解解联立方程得联立方程得电场分布电场分布在在区区在在区区在在区区SQE02SQE02SQE02 1 1 2 2 3 3 4 4Q. .PEEESQSQSQSQ2,2,2,24321如把第二块金属接地如把第二块金属接地, ,则有则有 1 1 2 2 3 3 4 4Q. .PEEE04电荷守恒电荷守恒SQ21由高斯定理由高斯定理032金属板内金属板内P点的电场为点的电场为0 00321解得解得0, 04321SQSQSQE0201E03

11、E1R2R3Rqq 例例2 有一外半径有一外半径 和内半径和内半径 的金属球壳，在球壳内放一半径的金属球壳，在球壳内放一半径 的同心金属的同心金属球，若使球壳和金属球均带有球，若使球壳和金属球均带有 的正电荷，问：的正电荷，问：两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？ cm101Rcm72Rcm53RC103q解解 根据静电平衡的条件求电荷分布。根据静电平衡的条件求电荷分布。)(031RrE0S2232d,qSERrR作球形高斯面作球形高斯面2S2024rqE1S2Sr作球形高斯面作球形高斯面1S1R2R3R)(031RrE)(423202RrRrq

12、E根据静电平衡条件根据静电平衡条件)(0213RrRE0d0S33iiqSE00S412d,4qqSERrii)(421204rRrqE3Sr4Srqqq20dlEVO112233dddd43201RRRRRRlElElElEV1031. 2)211(431230RRRqVO1R2R3Rqqq2)( 031RrE)(423202RrRrqE)( 0213RrRE)( 421204rRrqE(1).孤立导体：导体周围无其它带电体或导体。孤立导体：导体周围无其它带电体或导体。(2).孤立导体电容孤立导体电容VqCVq写成等式写成等式VqC定义电容定义电容半径为半径为R的带电球体的电势的带电球体的电

13、势RqV04114-3 14-3 电电 容容单位：法拉，单位：法拉，F1微法微法（ F）=10-6F1皮法（皮法（pF）= 10-6 F例例 如果地球当成电容，其电容为多大？（地球半径如果地球当成电容，其电容为多大？（地球半径 为为 6.4106 m）解解VqC R04Rqq04612104 . 61085. 84(F)14001= 10-12 F 孤立导体的电容很小，用它作电容器不适合。用孤立导体的电容很小，用它作电容器不适合。用两个导体组成的电容器可实现较大的电容。两个导体组成的电容器可实现较大的电容。ABqqq为一个极板带电量的绝对值。为一个极板带电量的绝对值。ABVqC 电容器电容电容

14、器电容AVBVQQ（1）平板电容器平板电容器dS+ + + +QQ-SQE00两带电平板间的电场强度两带电平板间的电场强度 设两导体板分别带电设两导体板分别带电QSQdEdV0两带电平板间的电势差两带电平板间的电势差dSC0平板电容器电容平板电容器电容（）同心球形电容器同心球形电容器球形电容器是由半径分别为球形电容器是由半径分别为 和和 的两同心金的两同心金属球壳所组成。属球壳所组成。1R2R 设内球带正电（设内球带正电（），外球带负电（），外球带负电（）。）。QQrrQE420)(BARrRBARRlrrQlEV20d4d)11(40BARRQ122104RRRRCARBRrP*（3）同轴圆

15、柱形电容器同轴圆柱形电容器lBRAR 设两柱面带电分别为设两柱面带电分别为+ +q 和和 - -q ，则单位长度的带电，则单位长度的带电量为量为 。 lq/ABRRRRlQrrVBAln22d00)(,20BARrRrEABRRlCln20电容电容nnCqCqCqCq2211有有(1).(1).电容器串联电容器串联特点：特点：nqqqq21nVVVV21由由CqVnCCCC1111211C2CnC1V2VnVV1q2qnqnCCCC111121说明说明1 1）电容越串容量越小。）电容越串容量越小。2 2）可提高电容耐压程度，外加电压由各电容器分压。）可提高电容耐压程度，外加电压由各电容器分压。

16、若面积若面积S相同，相当于将极板间距增大。相同，相当于将极板间距增大。dSC0(2).(2).电容器并联电容器并联特点：特点：nVVVV21nqqqq211C2CnC1q2qnq由由CVqnnVCVCVCCV2211nCCCC21nCCCC21说明说明1 1）电容越并越大，若极板间距）电容越并越大，若极板间距 d 相同，电容并联相相同，电容并联相 当于增加面积当于增加面积 S 。dSC02 2）可提高电容器的容量。）可提高电容器的容量。电介质就是绝缘体。电介质就是绝缘体。特点：电介质内无自由电荷。特点：电介质内无自由电荷。 将电介质放入电场，表将电介质放入电场，表面出现极化电荷面出现极化电荷介

17、质的介质的极化。极化。0E EE EE E00外场外场0E E退极化场退极化场E E介质内部的场介质内部的场E E极化电荷极化电荷14-4 14-4 电介质的极化电介质的极化 极化场极化场E 削削弱外场弱外场 E0 ，但不能抵消外场。但不能抵消外场。0EEE无无 E0 0 时分子不显电性，时分子不显电性，有有E0时呈现极性。时呈现极性。(1).无极分子无极分子与有极分子与有极分子正负电荷中心重合，正负电荷中心重合，每个分子的电偶极矩为零每个分子的电偶极矩为零。无极分子电介质：氢、甲烷、石蜡等。无极分子电介质：氢、甲烷、石蜡等。正负电荷中心不重合，正负电荷中心不重合，每个分子的电偶极矩不每个分子

18、的电偶极矩不为零为零。无。无 E0 时分子呈现极性。时分子呈现极性。有极分子电介质：水、有机玻璃等。有极分子电介质：水、有机玻璃等。HpHO 正负电荷中心拉开，正负电荷中心拉开， 形成电偶极子，介质表面形成电偶极子，介质表面出现极化电荷。出现极化电荷。pqq0E(2).电介质的极化：电介质在外场中，在与外场电介质的极化：电介质在外场中，在与外场E0 0垂直的表面层里出现正负电荷层，这些电荷不能自垂直的表面层里出现正负电荷层，这些电荷不能自由移动，称为由移动，称为束缚电荷或极化电荷。束缚电荷或极化电荷。这种现象称这种现象称电电介质的极化。介质的极化。无极分子的极化称为无极分子的极化称为位移极化，

19、位移极化，有极有极分子的极化称为分子的极化称为取向极化。取向极化。a.无极分子的位移极化无极分子的位移极化 无外场时介质中的电偶极子排列杂乱无外场时介质中的电偶极子排列杂乱, ,宏观不显宏观不显极性。在外场作用下发生转向。极性。在外场作用下发生转向。0EFFb.有极分子的转向极化有极分子的转向极化0E E在介质表面产生极化电荷。在介质表面产生极化电荷。描写电介质极化程度的物理量。描写电介质极化程度的物理量。定义：单位体积内的电偶极矩矢量和。定义：单位体积内的电偶极矩矢量和。VpP分子: :电极化强度电极化强度p: :分子电偶极矩分子电偶极矩的的单位：单位：2mCPP14-6 14-6 电介质中

20、的静电场电介质中的静电场0EEE实验证明：实验证明： 在各向同性的电介质中在各向同性的电介质中EP0ee为为电介质电介质的的极化率极化率, ,与与E无关无关, ,仅与的仅与的电介质电介质种类有关种类有关, ,为纯为纯数，无单位。数，无单位。注意注意: :上式只在上式只在E不太强时成立。不太强时成立。0E EE EE E00外场外场0E E退极化场退极化场E E介质内部的场介质内部的场E E极化电荷极化电荷真空中的高斯定理真空中的高斯定理0dqSES0qq00dqqSES介质中介质中S1EPS2+0- + -0000d)(qSPES00d)(qSPES则有电介质时的高斯定理变为则有电介质时的高斯

21、定理变为定义定义电位移矢量电位移矢量PED0)(0d内SSqSD 有电介质时的高斯定理：通过电介质中有电介质时的高斯定理：通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面所包围任一闭合曲面的电位移通量等于该面所包围的自由电荷的代数和。的自由电荷的代数和。 上式虽然从平行板电容器推得，但普遍适上式虽然从平行板电容器推得，但普遍适用，是静电场的基本定理之一。用，是静电场的基本定理之一。 介质中的电极化强度介质中的电极化强度 ，代入式，代入式 得得 PED0EP0eEEED0e0e0)1 (令令e1 称为称为相对介电常相对介电常数数，或或介电常介电常数数。ED0D、E、P之间的关系之间的关系EP0eED

22、0e1EP) 1(0EPD0（任何介质）（任何介质）（均匀介质）（均匀介质）ED0 极化电荷所激发的场也是有势场，环路极化电荷所激发的场也是有势场，环路定理仍成立定理仍成立LlE0dEP+0- + -0 对充满相对介电常数为对充满相对介电常数为 的电介质的无限大平行的电介质的无限大平行板电容器，设自由电荷密度为板电容器，设自由电荷密度为 0，介质表面的束缚，介质表面的束缚电荷密度电荷密度 。S 由有电介质时的高斯由有电介质时的高斯定理定理SDSSDS0d0D0000EDE0000000CVqdEqEdqVqC0EE 0CC01VV+ + + + + + - - - - - - + + + +

23、+ + + + + + +- - - - - - - - - - -V0EEE4.由由求求 。P5.由由baablEVd求求Vab 。6.由由abVqC 求求C。2.由由求求E。ED03.由由求求P。PED01.由由求求D。)(0d内SSqSD例例1 将电荷将电荷 q 放置于半径放置于半径为为 R 相对介电常数为相对介电常数为 的的介质球中心，求：介质球中心，求：I I 区、区、IIII区的区的 D、E、P 及及 V。IIIRq球面上各点球面上各点D大小相等，大小相等，,d/ SD1cos 024qrD204 rqD解解 在介质球内、外各作半径为在介质球内、外各作半径为 r 的高斯球面。的高斯

24、球面。0cosdqSDSRqIIIrr)(0d内SSqSD由由ED0III0ERqIIIrr204 rqDI I区：区：214 rqD IIII区：区：224 rqD I I区：区：011DE IIII区：区：204rq022DE 204rq0E由由EDP0I I区：区：1011EDP1142rq2244rqrqIIII区：区：2022EDP2244rqrq0aalEVd由由arEdRqIIIrRRrrErEVdd211rrqrrqRRrd4d42020I I区：区：RRrrrqrrqVd4d420201RqRrq004114rrEVd22rrqrd420rq04IIII区：区：RqIIIr例

25、例2 平行板电容器极板面平行板电容器极板面积为积为 S，充满，充满 1、 2 两种两种介质，厚度为介质，厚度为 d1 、 d2。 . .求电容求电容 C； . .已知板间电压已知板间电压 V，求，求 0、E、D、P。d1d12d2解解 . .设电容带电量设电容带电量 q VqC 2211dEdEq2211dEdEqC220011000ddS22110ddSd1d12d2上面结果可推广到多层介质的情况。上面结果可推广到多层介质的情况。也可视为两电容器串联也可视为两电容器串联1101dSC2202dSC21111CCC2121CCCCC22110ddS串联串联d1d12d2. .已知已知 V，求，

26、求 0 0、E、D、P。解解Sq022110ddSSV22110ddV1001E1022110ddV12211ddVSCVd1d12d22002E2022110ddV22211ddV1101ED10010022110ddV2202ED200200021DD11P101122P2011或由或由EDP0也可算出也可算出P1 1 、P2 2 。d1d12d2例例3 已知球型电容器内外半已知球型电容器内外半径分别为径分别为R1和和R2，其间充满，其间充满 1、 2 两种介质，两种介质两种介质，两种介质交界面的半径为交界面的半径为R。. .求电求电容容 C；. .若内外两介质的若内外两介质的击穿场强分别

27、为击穿场强分别为E1和和E2，且，且E1 E2，为合理使用材料，为合理使用材料，最好使两种电介质同时击穿。最好使两种电介质同时击穿。试求此时试求此时R的大小。的大小。解解 用用D的高斯定理求出各区域的的高斯定理求出各区域的D、E为为1R2RR 1 2ACB1001220 10022202,0,0,44,44AABBCCrRDEQQRrR DErrQQRrR DErr 电容器两极板的电势差和电容为电容器两极板的电势差和电容为 22110011221212221 1001 212ddd11111144RRRBCRRRVElElElQRRRRRRRR RQRR R1R2RR 1 2ACB 00 1

28、2 121212221 14QRRRCVRRRR R 要求场强同时达到击穿值要求场强同时达到击穿值E1和和E2（ E1 E2 ）, ,则对于内层介质则对于内层介质10120114BrRQEER 即即2001114QR E 对于外层介质对于外层介质022024CrRQEER 把把Q0代入，得代入，得11122ERRE1R2RR 1 2ACB 电容器带电可看成从一个极板移动电荷到电容器带电可看成从一个极板移动电荷到另一个极板，外力作功使电容器带电。另一个极板，外力作功使电容器带电。移动移动 dq 作的元功作的元功qVWddqqqdEV极板带电量从极板带电量从 0 到到Q 作功作功QWW0dQqV0

29、d14-7 14-7 电场的能量电场的能量CqV QqVW0dQqCq0dCQ221外力作功等于电容器能量的增量，外力作功等于电容器能量的增量，0eeUUWqqqdEV00eU初态能量初态能量CQ221WU e2e21CVU QVU21e例例1 平行板电容器带电量为平行板电容器带电量为 q，极板面积为，极板面积为 S，将，将极板间距从极板间距从 d 拉大到拉大到 2d ，求外力作功，求外力作功 W。解解 作功作功0eeUUW,2020eCqUCqU22e,00dSCdSC200eeUUWdSqdSq0202222Sdq0220外力作正功，电容器能量增加。外力作正功，电容器能量增加。例例2平行板

30、电容器的极板是边长为平行板电容器的极板是边长为 a的正方形，间距的正方形，间距为为 d，两板带电，两板带电Q。如图所示，把厚度为。如图所示，把厚度为d、相对、相对介电常数为介电常数为的电介质板插入一半。试求电介质板所的电介质板插入一半。试求电介质板所受电场力的大小及方向。受电场力的大小及方向。解解 选取坐标系选取坐标系OX，如图所示。，如图所示。当介质板插入当介质板插入x距距离时，电容器的离时，电容器的电容为电容为OxXd)1()()(000 xadadxadaxaxC此时，电容器的储能为此时，电容器的储能为) 1(22)(022exaadQCQxU而电介质未插入时，电容器的储能为而电介质未插

31、入时，电容器的储能为20220e22adQCQU 当电介质插入当电介质插入x时，电场力时，电场力F 对电介质板对电介质板所作的功等于电容器储能的增量所作的功等于电容器储能的增量, ,有有202e) 1(2) 1()(xaadQxxUF插入一半时，插入一半时，x= =a/2 ,/2 ,则则2302) 1() 1(2)2(adQaFF( (a/2)/2)的方向沿图中的方向沿图中X 轴的正方向。轴的正方向。2e21CVU 20)(21EddSSdE2021体VE2021由由ED0有有体VEU20e21体EDV21体VD0221体EDVU21e体VD02212e011dd22VVUE VED V 体体

32、体体单位体积内的电场能量。单位体积内的电场能量。体VUuee2021EueED210221 D体体VVuUdee解解 能量分布在整个空间，能量分布在整个空间，RRVrrrqrrRqrVEUd4)41(2d4)41(2d22220002230020e体体RqRqRq020202203840例例1 计算均匀带电球体的静电能，设球的半径为计算均匀带电球体的静电能，设球的半径为R，所带电量为，所带电量为q，球外为真空。，球外为真空。练习练习 真空中有一带电的球体和一均匀带电真空中有一带电的球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的总电量都相球面，如果它们的半径和所带的总电量都相等，则它们的静电能（等

33、，则它们的静电能（ ）A. 球体的静电能等于球面的静电能球体的静电能等于球面的静电能B. 球体的静电能大于球面的静电能球体的静电能大于球面的静电能C. 球体的静电能小于球面的静电能球体的静电能小于球面的静电能D.不能确定不能确定例例2 同轴电缆由内径为同轴电缆由内径为 R1、外径为外径为R2的两无限长金属的两无限长金属圆柱面构成，单位长度带圆柱面构成，单位长度带电量分别为电量分别为 + + 、 - - ，其，其间充有间充有 电介质。电介质。求求 两柱面间的场强两柱面间的场强 E；电势差电势差 V； 单位长度电容单位长度电容 ；单位长度贮存能量。单位长度贮存能量。2R1R2R1R解解 极板间作高为极板间作高为 h 半径半径为为 r 的高斯柱面，由介质中的高斯柱面，由介质中高斯定理高斯定理0dqSDrhhrhD2rD2场强场强0DE r02极间电压极间电压21dRRrE21d12RRlEV120ln2RR21d20RRrr单位长度电容单位长度电容h 长电容长电容12VhC)/ln(2120RRh2R1Rrh单位长度电容单位长度电容hCc)/ln(2120RR单位长度贮存能量单位长度贮存能量长长度为度为h时