3.2角动量的时间变化率力矩续ppt课件

1、5.1 5.1 角动量角动量 转动惯量转动惯量上讲上讲1.1.角动量角动量vmrprL 质点质点自自旋旋轨轨道道LLvmrvMrLiiiicc 质点系质点系定轴刚体定轴刚体 JmrLiiiz 2* *必须指明参考点，角动量才有实际意义。必须指明参考点，角动量才有实际意义。2. 2. 转动惯量转动惯量 iiimrJ2mrJd2 积分元的选取积分元的选取积分限的确定积分限的确定5.2 5.2 角动量的时间变化率角动量的时间变化率 力矩力矩( (续续) )一、质点角动量的时间变化率一、质点角动量的时间变化率FrtL ddprL=由由：质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩质点角动量的时间变化率等

2、于质点所受的合力矩FrM 二、力矩二、力矩1. 1. 对参考点的力矩：对参考点的力矩：2. 2. 对对z z轴的力矩轴的力矩: :对参考点的力矩在对参考点的力矩在z z轴上的投影。轴上的投影。 FrMzxyzyFxFM 注意：力矩求和只能对同一参考点或轴进展；注意：力矩求和只能对同一参考点或轴进展； 合力与合力矩的区别。合力与合力矩的区别。三、质点系角动量的时间变化率三、质点系角动量的时间变化率由个质点由个质点 组成的质点系，组成的质点系，Nm,m,m211m2m3m12F21F13F31F32F23F外外1F外外3F外外2Fo3r1r2r各质点对参考点各质点对参考点o o点的角动点的角动量分

3、别为量分别为12,NL LL 各质点受力情况如图各质点受力情况如图d?dLt质点系角动量质点系角动量的时间变化率的时间变化率12dd()ddNLLLLttddiiiiLrFMt质点角动量的时间质点角动量的时间变化率变化率内内外外内内外外内内外外NNNMMtLMMtLMMtL dddddd222111 iiiiiiMMtLLt内内外外dddd两边求和得两边求和得由图可知由图可知0 iiM内内1 2 12f21f1m2m1r2rdo?于是于是外外外外iiFrMtL idd质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和外力矩的矢量和 ( (合外力矩合外

4、力矩 ) )注意注意1 1： 合外力矩合外力矩 是质点系所受各外力矩是质点系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。的矢量和，而非合力的力矩。外外M注意注意2 2：质点系内力矩的作用：质点系内力矩的作用不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量在系内各质点间的分配。在系内各质点间的分配。 例例 质量为质量为 ，长为，长为 的细杆在水平粗糙桌面上的细杆在水平粗糙桌面上绕过其一端的竖直轴旋转，杆的密度与离轴距离成正绕过其一端的竖直轴旋转，杆的密度与离轴距离成正比，杆与桌面间的摩擦系数为比，杆与桌面间的摩擦系数为 ，求摩擦力矩。，求摩擦力矩。 mL 解：解：rkr

5、rmddd 设杆的线密度设杆的线密度kr 22d2d2Lrmrm,Lmk 得得2021ddkLrkrmmL 由由omdfdzr rrLmgmgfd2dd2 frMdd mgLrrLmgMML 32d2d022 2d2dLrmrm omdfdzr 实际意义实际意义ff rRo半径半径 R ，质量，质量 m 的匀质圆盘，与桌的匀质圆盘，与桌面间摩擦系数面间摩擦系数 ，求摩擦力矩求摩擦力矩等效等效kr 简化模型：简化模型：长长 R ，线密度，线密度 总质量总质量 m 的细杆的细杆omd fdzr四四. . 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律tLMdd 外外tLMzzdd 由由 JLz zzdLddM

6、=(J)= J= Jdtdtdt得得 JMz 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律力矩的瞬时效应是产生角加速度力矩的瞬时效应是产生角加速度比较比较 JMamFzJ是物体转动惯性的量度。是物体转动惯性的量度。m是物体平动惯性的量度。是物体平动惯性的量度。改变物体平动状态的原因改变物体平动状态的原因FzM改变物体绕轴转动状态的原因改变物体绕轴转动状态的原因地位相同地位相同 JMz 刚体定轴转动问题刚体定轴转动问题平动问题平动问题amF 矢量式矢量式标量式标量式例例1: 1: 一定滑轮的质量为一定滑轮的质量为 ，半径为，半径为 ，一轻绳，一轻绳两边分别系两边分别系 和和 两物体挂于滑轮上，绳不伸两物体挂

7、于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。m1m2mr2m1mrm知：知：0021 , r,m,m,m求：求： ?t 思路：思路：质点平动与刚体定轴转动关联问题质点平动与刚体定轴转动关联问题十六字诀十六字诀先求角加速度先求角加速度 解：在地面参考系中，分别以解：在地面参考系中，分别以 为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律 和刚体定轴转动定律建立方程。和刚体定轴转动定律建立方程。m,m,m21考虑：考虑：

8、?TT?aa2121 2m1mrm1T1agm1)(amTgmm1:11111 向向下下为为正正2a2Tgm2)(amgmTm2:22222 向上为正向上为正r+1T2TNmg四个未知数：四个未知数：三个方程三个方程 ？ ,T,T, aaa2121 绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：)(ra4 解得解得 rmmmgmm 212121 rmmmgtmmt 2121210 滑轮滑轮 m：以顺时针方向为正方向：以顺时针方向为正方向)(mrJrTrT321221 如图示，两物体质量分别为如图示，两物体质量分别为 和和 ，滑轮质量，滑轮质量为为 ，半径为

9、，半径为 。知。知 与桌面间的滑动摩擦系数与桌面间的滑动摩擦系数为为 ，求，求 下落的加速度和两段绳中的张力。下落的加速度和两段绳中的张力。 1mm2mr2m 1m2m1momr 解：在地面参考系中，选取解：在地面参考系中，选取 、 和滑轮为研究和滑轮为研究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得： 1m2m练习练习1.2m2Tagm2gm2 N1m1Tagm1列方程如下：列方程如下： ramrr )TT(amgmTamTgm 22122211121可求解可求解o1T2TxNyN向里向里+ +例例2. 质量为质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂

10、直于盘的固定的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为 m、长为、长为 l 的匀质柔软绳的匀质柔软绳索如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长差索如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长差为为 s 时，绳的加速度的大小。时，绳的加速度的大小。解：在地面参考系中，建立如图解：在地面参考系中，建立如图 x 坐标，设绳两端坐标分别为坐标，设绳两端坐标分别为x1，x2，滑轮半径为，滑轮半径为 r 有：有：rxxBBABAAl 21,xlmm,xlmm2BB1AA rlmm AB21xxs ox1x2sMABA B rxm用隔

11、离法列方程：（以逆时针方向为正）用隔离法列方程：（以逆时针方向为正）2221rmMrJJJABABM amTgmAA 1JrTrT 21amgmTBB 2T1JT2r.CAT1mAg.CBT2mBgBAoox1x2sMABA B rxmCBCA解得：解得：l )Mm(mgsa21 ra 又又：21xxs ox1x2sMABA B rxmCBCA5.3 5.3 角动量定理角动量定理一、角动量定理的微分形式一、角动量定理的微分形式1.1.质点质点MFrtL dd由由：tMLdd 得：得：2.2.质点系质点系tJJMdd 轴轴由由：tMJdd轴轴得得： 外外由由：MtLddtMLdd外外得得： 3.

12、3.定轴刚体定轴刚体二、角动量定理的积分形式二、角动量定理的积分形式tLMdd tLMdd 外外 JM 轴轴积分形式积分形式 （有限时间过程）（有限时间过程）微分微分形式形式质点质点质点系质点系定轴定轴刚体刚体瞬时瞬时效应效应 JJtMtt2121dd轴轴LLtMLLtt 2121ddLLtMLLtt 2121dd外外tMJdd轴轴 tMLdd tMLdd外外 注意注意1. 力矩对时间的积累：角冲量冲量矩）力矩对时间的积累：角冲量冲量矩）定义：定义： 21dtttM效果：改变角动量效果：改变角动量3. 同一式中，同一式中， 等角量等角量 要对同一参考点或同一轴计算。要对同一参考点或同一轴计算。

13、 ,J,L,Mp一定时间过程的变化量与一定时间过程的变化量与 对应对应 21dtttF时间变化率与时间变化率与 对应对应F2.比较：比较：L一定时间过程的变化量与一定时间过程的变化量与 对应对应 21dtttM时间变化率与时间变化率与 对应对应M三、角动量定理的应用举例三、角动量定理的应用举例旋进旋进(进动进动)录象录象角动量定理角动量定理 分钟分钟1.1.回转仪实验：回转仪实验： 如图所示的杠杆陀如图所示的杠杆陀螺仪。当陀螺仪高速旋螺仪。当陀螺仪高速旋转时，移动平衡物转时，移动平衡物B B，杆，杆不会倾斜，而是在水平不会倾斜，而是在水平面内绕面内绕O O旋转。这种运动旋转。这种运动称为旋进运

14、动，它是在称为旋进运动，它是在外力矩作用下产生的回外力矩作用下产生的回转效应。转效应。(1) 假设假设 时：时： 在重力矩在重力矩 作用下，作用下， 陀螺将绕垂直于黑板的轴转动，陀螺将绕垂直于黑板的轴转动， 即倒地。即倒地。0 Lgmrc （2当时：当时： 重力矩重力矩 ， 将不改变将不改变 的大小，的大小， 只改变只改变 的方向。的方向。 使陀螺绕竖直轴旋转使陀螺绕竖直轴旋转旋进旋进0 LLLgmrc L2.陀螺陀螺oLL dLgmrMc tLMdd 重力矩始终不改变角动量的大小，只改变角动量的方重力矩始终不改变角动量的大小，只改变角动量的方向。形成角速度矢量不断向外力矩方向靠拢的趋势。向。形成角速度矢量不断向外力矩方向靠拢的趋势。最终效果：陀螺绕竖直轴旋转最终效果：陀螺绕竖直轴旋转旋进旋进)(LMtLLt sindsinddd旋进角速度：旋进角速度：Lcrgm oLLd dL oL L d dtdd L o3.3.车轮的旋进车轮的旋进oLL MLd讨论：讨论：改变改变 的方向，旋进方向是否改变？的方向，旋进方向是否改变？