八年级数学上册全等三角形单元培优测试卷

1、八年级数学上册全等三角形单元培优测试卷一S八年级数学轴对称三角形填空题（难）1. 在等腰磁中，肋丄證交直线 必于点以 若 QLBG则磁的顶角的度数为【答案】30。或150。或90°【解析】试题分析：分两种情况：8C为腰，8C为底，根据直角三角形30。角所对的直角边等于 斜边的一半判断出ZACD=30°,然后分AD在MBC内部和外部两种情况求解即可.解：BC为腰，VAD丄 BC 于点 D t AD= - BCt2：.ZACD=30° t如图1 I AD在"BC内部时，顶角ZC=30o f如图 2 , AD 在AABC 外部时，顶角 ZACB=I80

2、6; - 30o=150o ,图3DlAD=-BCl：.AD=BD=CD t：.ZB=ZBAD t ZC=ZCAD t ZBADZCAD= - ×180o=90o ,2顶角 ZaAC= 90° ,综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30。或150。或90。.故答案为30°或150°或90° .点睛：本题考查了含30。交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的 关键.2. 在 RtABC 中，ZABC=90o r AB=3 I BC=4t 点 JF 分别在边 AB J AC ±,将AAEF 沿直 线EF翻折，点A落在点P

3、处，且点P在直线BC上则线段CP长的取值范围是【答案】<CP5【解析】【分析】根据点E、F在边AB、AC ±,可知当点E与点B重合时，CP有最小值，当点F与点C重 合时CP有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.【详解】如图，当点E与点B重合时，CP的值最小，A此时 BP=AB=3,所以 PC=BC-BP=4-3=1 r 如图，当点F与点C重合时，CP的值最大,A此时CP=AC ,RtABC中，ZABC=90o f AB=3 , BC=4,根据勾股左理可得AC=5,所以CP的最大值为5 , 所以线段CP长的取值范围是1CP5 ,故答案为1CP<5.【点睛】本题考查了折

4、叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确左出点 E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键.3. 如图，AABC中，ZBAC = 90°，AD丄BC, ZABC的平分线BE交AD于点F，AG平分ZDAC.给岀下列结论：（DZBAD = ZC;ZEBC = ZC ；AE=AF;FGIIAC:EF = FG .其中正确的结论是.【答案】©©【解析】【分析】 根据等角的余角相等即可得到结果，故正确：如果ZEBC=ZC,则ZC=-ZABC,由于ZBAC=90°,那么ZC=30o,但ZC不一定等于30。，故错误：2由BE、AG分别是

5、ZABC. ZDAC的平分线，得到ZABF=ZEBD.由于ZAFE=ZBAD+ZFBA, ZAEB=ZC+ZEBD,得到ZAFE=ZAEB,可得正确：连接 EG,先i正明 ABNWZGBN,得到 AN=GN,证出aANEaGNF,得ZNAE=ZNGF,进 而得到GFAE,故正确：由AE=AF, AE=FG,而AAEF不一泄是等边三角形，得到 EF不一定等于AE,于是EF不一定等于FG,故错误.【详解】V ZBAC=90o , AD丄BC,ZC+ZABC=90o , ZC+ZDAC=90o , ZABC+ZBAD=90o ,ZABC=ZDAC, ZBAD=ZC,故正确； 若ZEBC=ZCt 则Z

6、C=IZABC,2V ZBAC=90° ,那么ZC=30° ,但ZC不一定等于30° ,故错误；VBE. AG分别是ZABC. ZDAC的平分线，: ZABF=ZEBD,VZAFE=ZBAD+ZABF, ZAEB=ZC+ZEBD,又 TZBAD=ZC, ZAFE=ZAEf, AF=AE,故正确：VAG是ZDAC的平分线，AF=AE,.AN丄BE, FN=EN,1 ABN 与厶 GBN 中,ABN = ZGBN. BN = BN,AANB =乙 GNB = 90° ABN GBN (ASA), AN=GN,又 VFN=EN, ZANE=ZGNF,ANEGN

7、F (SAS), ZNAE=ZNGf,.GF"AE,即 GFAC,故正确；V AE=AF, AE=FG,而厶AEF不一泄是等边三角形，.EF不一定等于AE, EF不一泄等于FG,故错误.故答案为：.【点睛】本题主要考査等腰三角形的判定和性质立理，全等三角形的判圮和性质左理，直角三角形 的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键.4. 如图，在ZVB4中，ZB = 20o, Ai = A1B ,在AB上取点C,延长A人到儿， 使得1A =A1C;在上取一点D ,延长AA2到£，使得A2A3=A2Di 按此做法进行下去，第n个等腰三角形的底角ZA”的度数为【答案】（-,802【

8、解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求岀ZBAIAO的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的 性质分别求出ZCA2A1, ZDA3A2及ZEAaAj的度数，找出规律即可得出第n个等腰三角形的 底角ZAn的度数.【详解】解：AOBAI 中，ZB=20% A0B=AiB,ZBA AO=180O-ZB 180°-20°2 _ 2=80°,VAiA2=AiC, ZBAI AO 是厶AiA2C 的外角,=40°： ZCA2Ai=同理可得,ZDA3A2=20% ZEA4A3=10第n个等腰三角形的底角ZAn=【点睛本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，

9、根拯题意得出ZCA2A1, ZDA3A2及ZEA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键5. 如图，ZMON=30°,点A】、A2、A-在射线ON上，点B- B2, B-在射线OlVI上， A1B1A2, A2B2A3, A3B3A.均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记6,第2个等边三角形的边长记为S 以此类推，若0A1 = 3,则。2二, 02019=【答案】6：3×22018.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得岀A1B1 A2B2A3B3,以及a2=2a1=6,得出 a3=4a, a4=8a a5=16a.进而得出答案.【详解】V A1B1A

10、2是等边三角形，AAiBi=A2Bit Z3=Z4=Z12=60%Z2=12O%VZMON=30°,Zl=180o-120o-30o=30o,又 VZ3=60% Z5=180o-60o-30o=90%VZMON=ZI=30% OAI=AIBi=3 9A2Bi=3,V A2B2A3. A3B3A4是等边三角形，Zll=Z10=60 Z 13=60%VZ4=Z12=60AAIBlA2B27A3B3, BA27B2A3»Z1=Z6=Z7=3O% Z5=Z8=90o,a2=2a=6>a3=4a,aa=8a,as=16a>以此类推：a2oi9=22l8a1=3x22l故答

11、案是：6： 3×22018.【点睛】此题主要考査了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得岀a2=2a1=6, a3=4a1, a4=8a1, a5=16a1.进而发现规律是解题关键.6. 如图,点AbC在同一直线上, ABD和ABCE都是等边三角形,AEZCD分别与BD,BE交于点EG,连接FG,有如下结论：AE=CDZBFG= 60° ；EF=CG ；AD丄CDFGIl AC其中，正确的结论有（填序号）【答案】【解析】【分析】M ABE A DBCt 贝ZBAE= BDC t AE=CD I 而可证到ZABF竺 DBG I 贝IJ有 AF=DG t BF=BG

12、I 由 ZfSG = 60° 可得ZiBFG 是等边三角形，证得ZBFG = ADBA = 60Q I 则有FGIl ACt由Z CDB30o I可判断AD与CD的位置关系【详解】'ABD 和ZkBCE 都是等边三角形， BD = BA=AD I BE = BC=ECl Z ABD = Z CBE二 60° T 点人 BS C 在同一直线上， Z DBE 二 180° 60° 60° 二 60° ,二 Z ABE 二 ZDBC 二 120° 在AABF和ADBC中，BD = BAV z<ABE = zDBC I

13、 ：. ABE DBCr ：. BAE= BDC t . AE = CD t .正确； BE = BC±,abf 和 AdbgZBAF = ZBDG中 # < AB = DBr ：. ABF 卜 DBG I ：. AF=DG r BF 二 BG ZABF = ZDBG = 60°. Z FBG = 180° - 60° - 60o = 60o f /. BFG 是等边三角形 f .,. Z BFG=60o I ：.正确；. AE=CDlAF=DGI ：. EF=CG 二正确；/ Z ADB = 60° ,而 ZCDS=Z EAB30o ,

14、 .,. AD 与 CD 不一定垂直 f .,.错误. BFG 是等边三角形，. Z BFG=60。, /. AGFB = A DBA = 60o , /. FGIl AB I ：.正确. 故答案为®【点睛】本题考查了等边三角形的判立与性质、全等三角形的判左与性质、三角形外角的性质、平 行线的判定和性质,证得 DBC是解题的关键.7. 如图，在AABC中，P, O分别是BC, 4C上的点，PR丄AB PS丄AC,垂足 分别是/?, S ,若AQ = PQ, PR = PS,那么下而四个结论：AS = AR： QPllAR 、厶BRP竺 QSP；BR = QS ,其中一泄正确的是（填写

15、编号）【答案】®,【解析】【分析】连接AP,根据角平分线性质即可推出，根据勾股定理即可推出AR=ASt根据等腰三角 形性质推岀ZQAP=ZQPA,推出ZQPA=ZBAP,根据平行线判左推出QPZZAB即可：在 RtBRP和RtAQSP中，只有PR=PS.无法判断厶BRP幻AQSP也无法证明BR=QS .【详解】解：连接AP TPR丄AB, PS丄AC, PR=PS,点P在ZBAC的平分线上，ZARP=ZASP=90a , ZSAP=ZRAPi在 RtARP 和 RtAASP 中，由勾股左理得：AR2=AP2-PR2, AS2=AP2-PS2tVAP=AP. PR=PS,： AR=AS

16、,正确： VAQ=QP, ZQAP=ZQPa,VZQAP=ZBAPt ZQPa=ZBAP,QPAR,正确： 在 RtBRP 和 RtQSP 中，只有 PR=PS,不满足三角形全等的条件，故错误； 故答案为：.【点睛】本题主要考査了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得出点在角 平分线上是解题的关键.8. 等腰三角形一边长等于4, 一边长等于9,它的周长是【答案】22【解析】【分析】等腰三角形有两条边长为4和9,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要 应用三角形的三边关系验证能否组成三角形：【详解】解：因为 4+4=8<9, 0<4<9+9=18,&

17、#176;腰的不应为4,而应为9,等腰三角形的周长=4+9+9=22.故答案为22.【点睛】本题主要考査了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将 三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去9. 已知等边ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC,交直线BC于点E,ZABC的平分4线BF交CD于点F,过点A作AH丄CD于H,当EDC=30o ,CF=-,则DH=2【答案】亍【解析】VABC是等边三角形, AB=BC f ZABC= ZACB= Z BAC=60o.VDE=DC r ZEDC=30o ,ZDEC=ZDCE=75o , Z

18、ACF=75o-60o=15o.VBF 平分ZABC f ZABf=ZCBRAB=BC在AABF 和ZkCBF 中，ZABF=ZCBF IBF=BFtoABFCBF , AF=CF ,ZFAC=ZACF=15o ,/. ZAFH=I5o+15o=30o.VAHlCD ,112AAH=-AF=-CF=-223VZDEC=ZABC+ZBDE rZBDE=75o-60o=15o ,. ZADH=I5o+30o=45o ,ZDAH=ZADH=450 r. 2/.DH=AH=-32故答案为;点睛：本题考查了全等三角形的判左与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅 助线的作法.10如图，在AABC

19、中，AB=AC, D、E 是ZkABC 内两点，AD 平分ZBAC, ZEBC=ZE=60° , 若 BE=6cm, DE=2cm,则 BC=cm.【答案】8cm.【解析】【详解】解：如图，延长ED交BC于M延长AD交BC于N,作DFBC,VAB=AC, AD 平分ZBAC,'AN丄BC, BN=CN,VZEBC=ZE=60°,BEM为等边三角形，EFD为等边三角形，TBE=6cmt DE=2cmtDM=4,VBEM为等边三角形，ZEMB=60T AN 丄 BC,ZDN M =90°,ZNDM=360,.,.NM=2.BN=4,BC=8.二、八年级数学轴对

20、称三角形选择题(难)11. 已知点M(2,2),且OM=22 ,在坐标轴上求作一点P，使 OMP为等腰三角形，则点P的坐标不可能是()A. (2 2 ,0)B. (0,4)C. (4,0)D. (0,8 2 )【答案】D【解析】【分析】分类讨论：OM=OP: MO=MP; PM=PO,分别计算出相应的P点，从而得岀答案.【详解】T M(2,2)z且0M=2T,且点P在坐标轴上当 OM=OP = 22 时P点坐标为：(±2,),(,±2任),A满足:当 MO = MP = 22 时：P点坐标为：(4,0),(0,4), B满足;当PM=PO时：P点坐标为：(2,0),(0,2

21、), C满足故答案选：D【点睛】本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键.12. 在平而直角坐标系中，等腰MBC的顶点久B的坐标分别为(OfO)X (2,2),若 顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有()个.A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】要使AABC是等腰三角形，可分三种情况(若AC=AB I若BC=BA I若CA=CB)讨 论，通过画图就可解决问题.【详解】若AC=AB I则以点&为圆心为半径画圆，与坐标轴有4个交点； 若BC=BA I则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点(A点除外)； 若CA=C8 ,则点C在

22、M的垂直平分线上.'：A (0,0) ,8(2,2), ：.AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点综上所述：符合条件的点C的个数有8个.故选D 【点睛】本题考查了等腰三角形的判立、垂直平分线的性质的逆左理等知识，还考査了动手操作的 能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键13. 如图，在射线Q4, OB上分别截取OAi = OBl,连接AlBIt在BiAit 上分别截 取B1A2=B1B29连接A2B29按此规律作下去，若ZAxBlO = a9则ZAloBlOO =()aUaaA-rrB. C. D.2,°292018【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形两底角相等用表示岀ZA

23、2B2O ,依此类推即可得到结论.【详解】解:.BA2=BB, ZAIBlO = a , 同理 ZA3BiO = *x =事 ,ZA4B4O =00Bloo =尹 »故选：B.【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求岀相邻的两个角的 差，得到分母成2的指数次幕变化，分子不变的规律是解题的关键.14. 点A的坐标是（2, 2）,若点P在X轴或y轴上且AAPO是等腰三角形，这样的点P 共有（）个A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，要使AAOP是等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边 时，作OA的垂直平分线，和坐

24、标轴岀现2个交点：当OA是腰时，则分别以点0、点A为 圆心，OA为半径画弧，和坐标轴岀现6个交点，这样的点P共8个.【详解】如图，分两种情况进行讨论:和坐标轴的交点有2个:当OA是腰时，以点0为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A为圆心,OA为半径画弧，和坐标轴出现2个交点：满足条件的点P共有8个, 故选：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的左义，坐标与图形的性质，解题的关键是根据OA为腰或底两种 情况分类讨论，运用数形结合的思想进行解决.15. 如图,ABC中,4C = DC = 3, BD垂直ZBAC的角平分线于ZE为AC的中点，则 图中两个阴影部分而积之差的最大值为（）【答案】

25、C【解析】【分析】首先证明两个阴影部分而积之差=Sg然后由DC丄AC时，&（：£）的而积最大求出结论即 可.【详解】延长BD交AC于点H设AD交3E于点0A9： AD丄 BH, ZADB=ZADH90 ：. ZABD+ZBAD=90 ZHZHAD=90°T ZBAD=ZHAD, ：. ZABD=ZH. ：.AB=AH9：AD丄8H, ：. BD=DH.9：DC=CA. :ZCDA=ZCADVZCD+ZH=90% ZCDA十上CDH=90°, /.ZCDH=ZH9 /.CD=CH=AC. 1 1 BD=DH9 AC=CH, S、CDH= SaADH = SA

26、AS“24 _ _ 1 .ViAE=ECl Sf = SAeM 9 : .SxdfSmbe 4V SOBD SAOE-SADB SABE=SADH - SCDH-SACD.1 9VAC=CD=3. 当DC丄人C时，ZkACD的而积最大，最大而积为一×3×3 = 一2 2故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转 化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题.16如图，四边形ABCD中，Z BAD=I20% ZB = ZD=90。，在BC. CD ±分别找一点A. 130°B. 120°则Z AM

27、N÷Z ANM的度数为()C. IlOoD. 100°【答案】B【解析】 根据要使AAMN的周长最小.即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关 于BC和ED的对称点AS A",即可得出Z AAxM+Z AJJ=Z HAAr=60%进而得出Z AMN +Z ANM = 2(Z AAzM÷Z A)即可得出答案：如图，作A关于BC和ED的对称点/V, A，连接AWz,交BC于M,交CD于N则/VA即为 AMN的周长最小值作DA延长线AH./ Z BAD = I20% Z HAA' = 60°. Z AA,M + Azl = Z H

28、AAz=60o. Z MArA = Z MAA Z NAD = Z A，且Z MArA÷Z MAAf = Z AMN,Z NAD + Z A" = Z ANW Z AMN + Z ANM = Z MAjA÷Z MAAz+Z NAD÷Z A"=2(Z AAzM + Z A = 2×60o = 120o. 故选B.17.如图，四边形ABCD中，Z C=50> ZB=ZD=90= E, F分别是BC, DC ±的点，当 AEF的周长最小时，ZEAF的度数为()B. 6(D 80°A. 50°【答案】D【解

29、析】【分析】【详解】 作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H,连接GH,交BC. CD于点J F,连接AE、AF,则此时 AEF的周长最小，由四边形的内角和为360。可知,Z BAD=360o-90o-90o- 50o=130o,即Z 1+Z 2+Z 3=130°，由作图可知,Z 1=ZG, Z 3=Z H, AAGH 的内角和为 180°,则2 (Zl+Z3) +Z2=180oO,又联立方程组，解得Z 2=80°.故选D.x / E C考点：轴对称的应用：路径最短问题.18如图，点f Q分别是边长为4cm的等边AABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A, 点Q从顶点B同时出发，且速度都为lcms,连接AQ、CP交于点下而四个结Q§秒时，APBQ为直角三角形，正确的有几个(【答案】C【解析】【分析】 等边三角形ABC中，AB二BC,而AP二BQ,所以BP=CQ 根据等边三角形的性质，利用SAS证明ABQCAP ； 由ABQCAP根据全等三角形的性质可得ZBAQ=ZACP,从而得到ZCMQ=60° ； 设时间为t秒，则AP=BQ=tcm , PB= ( 4-t) cm,当ZPQB=90°时，因为ZB=60所以 PB二2BQ,即4t=2t故可得岀t的值，当ZBPQ=90&#