费马定理教学文案

1、费马定理精品资料定理及其证明一、，一人一 (c,c)， 一、一 ，、人人一，费马定理：设f(x)在c的某邻域内有定义，而且在这个领域上有f(x) f(c)(其中f(c)为局部最大值)或者 f(x) f(c)(其中f(c)为局部最小值)，当f(x)在c处可导时，则有f (c) 0.证明：因为假设f (c)存在，由定义可得左导数f-(x)和右导数f (c)均存在且满足：f-(c) f (c) f (c)当 xc 时，f(x)f(c)0,所以 f'limf(x)f(c)0xcx cxc当 xc 时，f(x)f(c)0,所以 f'(c)limf(x)f(c)0xcx cxc所以f (c

2、) 0以上是对于f (x)f(c)这种情况进行的证明，同理也可证明f (x) f(c)这种情形罗尔定理：设f(x)在a,b上连续，在a,b上可导，若f (a) f (b),则必有一点 'c a, b 使得 f (c) 0 .证明：分两种情况，若f(x)为常值，结论显然成立.若f(x)不为常值，根据最大、最小值定理(有界闭区间 a,b上的连续函数f(x)具有最大值和最小值)可知，f(x)必在a,b内某一点c处达到最大值或最小值，再有费马定理可得，f (c) 0 .拉格朗日中值定理：设f(x)在a,b上连续，在 a,b上可导，则一定有一点 、 f (b) f (a)a, b 使 f ( )

3、 -.b a证明：分两种情况，若f(x)恒为常数，则f'(x) 0在a,b上处处成立，则定理结论明显成立.若f(x)在a,b不包为常数时，由于f(x)在a,b上连续，由闭区间连续函数的性质，f(x)必在a,b上达到其最大值M和最小值m ,有一种特殊 情况f(a) f(b)时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理.考虑一般情形，f(a) f(b) .做辅助函数 (x) f(x) f(b) f(a)x.由连续函数的性质及 b a导数运算法则，可得 (x)在a,b上连续，在a,b上可导，且(b) bfaf(b) a ,这就是说(x)满足刚刚的特殊情况，因此在 a,b b a内至少有一点 ,

4、使得()f' f(b) f 0 .即f' ff.定 b ab a理得证.柯西中值定理：若f (x)和g(x)在a,b上连续，在a,b上可导，且g (x) 0 ,则f (b) f(a)f一止存在a,b 使 .g b g ag证明：首先能肯定g(a) g(b),因为如果g(a) g(b),那么由拉格朗日中值定' 、 - - 、 , 、 . . . . . - 理，g(x)在a,b内存在零点，因此与假设矛盾.还是做辅助函数F(x) f(x) f(b) f(a)gx g a g b g a朗日中值定理，可以证明定理成立.由F a F b ,再由拉格1阶连续导数，那么在此邻域内有

5、f x f 0f0x 3x2 . f2!n 0 n!Rn x .其中f n 1Tn 1R x xn 1!是介于0与x之间的某个值.证明：做辅助函数f t2!f n tn!tn.由假设容易看出泰勒中值定理：若f(x)在x 0点的某个邻域内有直到仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9t在0,x或x,0上连续，且 0t -f t fx tn!Jx tn1n 1!化简后有tn 1f-x t n .在引进一个辅助函数 n!f t 2t x t x t2!对函数 t和t利用柯西中值定理得到是介于0与x之间的某个值，此时有 0Rn x , x0,f n 1n!J f t 2t x t f tx t

6、-f t x2!n ,代入上式，即得f n 1 nR x xn 1!定理证明完毕.这是函数f x在x0点的泰勒公式，同理推导可得f xx0点附近的泰勒公式Rn xf x0 f x0x xon 1 xof x02x x02!nfx。n!xxo是介于xo与x之间的某个值.其中定理问关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基 本定理。这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理 .应用（判别函数单调性、求不定式极限、证明不等式和等式、证明终止点的存在 性、证明方程根的存在性与唯一性、利用泰勒公式求近似值）证明方程根的存在性把要证明的方程转化为f x 0的形式.对方程f x 0用下

7、述方法：（1）根的存在定理若函数f x在区间a,b上连续，且f a f b 0,则至少 存在一点a,b , f 0.（2）若函数f x的原函数F x在a,b上满足罗尔定理的条件，则f x在 a,b内至少有一个零值点.（3）若函数f x的原函数F x在x0处导数也存在，由费马定理知 F' x0 0 即 f x00.（4）若f x在区间a,b上连续且严格单调，则f x在a,b内至多有一个零 值点.若函数在两端点的函数（或极限）值同号，则 f x无零值点，若 函数在两端点的函数（或极限）值异号，则 f x有一个零值点.(5)用泰勒公式证明根的存在性.(6)反证法.(7)在证明方程根的存在性的

8、过程中,经常用到拉格朗日定理,积分中值定 理，有时也用到柯西中值定理来证明满足方程的存在性所需的条件，然 后利用上的方法来证明方程根的存在性.例1若f x在a, b上连续，在a,b内可导a 0 ,证明：在a,b内方程 22_ '2xfb fa b a f x至少存在一个根.证明：令 Fx f b fax2 b2 a2 f x显然F x在a,b上连续，在a,b内可导，而且_22 _F a f b a b f a F b根据罗尔定理，至少存在一个，使_22 一 '2 f b f a b a f x至少存在一个根.证明不等式不等式是数学中的重要内容和工具。在微分学中，微分中值定理在证

9、明不等 式中起着很大的作用.(1)拉格朗日定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数(值)的不(2)泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数(值)或低阶导函数(值)的不等式.例2求证ln 1 x x x 1精品资料分析：根据不等式两边的代数式选取不同的 F x，应用拉格朗日中值定理得出一个等式后，对这个等式根据x取值范围的不同进行讨论，得到不等式.证明：当x 0时，显然ln x 1 x 0设x 0对ft lnt在以1与1 x为端点的闭区间上用拉格朗日中值定理，有介于1与1 x之间的，使f 1 x f 1 f 1x1,即x1In 1 x 一当 x 0时，01 , 1,但此时注意ln

10、x 1与x均为负值，所以仍有ln 1 x x ,即对x1不等式包成立.一 一，1 ,当x 0时， 0,0 1 ,所以有ln 1 x x.注：学会把隐藏的条件找出来，即ln10,然后就可以利用定理，这个结仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢#果以后可以作为结论用.例3证明当ba e时，abba证法一分析：要证ab ba成立，只要证bln alnba成立，只要证bln a ln aaln aalnb成立，只要证ln b b ln b成立，只要证证明：设f xb ln xx0成立,x a, b由f x在a,b上连续，在a,b内可导，且精品资料x ln xf' x J En2 0 ,知f

11、 x在a,b上严格递减，xx由 af a f b ,即 Ina Jn_b 成立，知 bln a alnb 成立,a b即In ab lnba成立，所以ab ba成立.证法二ln aa证明：要证ab ba,只要证lnb 冷一成乂 bln xx在a,b上连续，在a,b内可导,仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13且f x 0于是ln aln bln a ln ba b故原式成立.注：证明某些不等式时，可转化为区间两端点函数值大小的比较或化为右 边为0的不等式，转化为区间内任意一点函数值与端点函数值或与趋于端点极 限值的比较，然后利用单调性证明.能用单调性定理证明的不等式，都可用拉格 朗日

12、中值定理证明，因为单调性定理就是拉格朗日中值定理证明的.相同的一道题可以有多种解法.讨论函数的单调性，并利用函数的单调性求极值利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性，其方法是：若函数f x在a,b上连续，在a,b内可导，则有：如果在a,b 内f x 0,则f x在a,b上单调增加；如果在a,b内f x 0,则f x 在a,b上单调减少.另 外，f x在a,b内除有个别点外，仍有f x 0 （或f x 0）,则f x在a,b上仍然是单调增加（或减少）的，即连续函数在个别点处无导数并不影响函 数的单调性.再利用函数的单调性及函数图像上峰值点与各值点的性质，便可以很方便地求出函数的极值。

13、其方法为：确定函数的定义域，并求出f' x ,然后求出定义域内的所有驻点，并找出f x连续但f' x不存在的所有点，讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近f'的符号变化情况，从而确定函数的极值点，并求出相应的极大值或极小值.例4求证x 0时，ln 1 x证明：令f x ln 1 x因为f x在0,上连续，在0,内可导，且1 12xx 1 x当x 0时，f x-0,所以当x x0时，f x是单调增加的.故当x 0 时，ff 00,00 ,从而ln 1的极值.In x解：函数的定义域为0,11,.而0,lnx 1 人 In x 1y E令y 0,即。T解得驻点x e,且该函数在

14、定义域内没有导数不存在的点、r .1 r'一.一'当x e时，y 0;当x e时，y 0 .所以，x e是函数f x的极小值点，其极小值为f e e.利用函数的单调性可证明某些不等式注：在求极值时，若极值的怀疑有导数不存在的点时，只能用列表法求极限对于有些求极限的题， 如果使用洛必达法则，则求导数的计算量很大.微分 中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效的方法.其方法是对极 限题中的某些部分构造辅助函数，使用微分中值定理，然后求出极.11例6 求limn2an an 1，其中 a 0.n解：对f x ax应用拉格朗日中值定理，有11lim n2 an an 1 n=

15、lim n2 ax ;nx=limnn2a In an n 1=ln a其中泰勒公式泰勒公式事实上就是含有高阶导数的微分中值定理.它不仅在理论分析中具有很重要的作用，下面的例子说明它的应用.例7求lnx在x 2处的泰勒公式.解由于ln x = ln 2x 2 =ln 2 ln 1因此11lnx ln2 x 2222 22精品资料求近似值微分中值定理为我们提供了一种计算近似值的方法，只要构造出一个适当的 函数,应用微分中值定理就可以得出其近似值.例8求V0.97的近似值.解：V097是函数f xVX在x 0.97处的值.令X0 1,x xo x,即x 0.03.由微分中值定理得 一'.0

16、.971. x x 10.031=1 10.030.9852用来证明函数恒为常数导数是研究函数性态的重要工具，但用导数研究函数性态的着眼点在局部 范围.而在整体上或比较大的范围运用导数这一工具来研究函数性态，主要工具还是微分中值定理，它是应用导数研究整体性问题的重要工具.证明函数包为 常数这是函数的整体性质，在这个应用中微分中值定理很实用.例9设f' x在0,1上连续，f' c 0, c 0,1且在0,1内包有一，.一，f x k f x .其中k为小于1的常数，试证：f x为常数函数. '证明： x 0,1，不妨设c x,则x c 1,而fc 0,所以有JJJf xf x f c，''=f 1 x ck f' i ,其中 c i x .k一. 一' "其中同理f k f k1 k ck f k 1 , c k 1 k ,k 1,2, ,n所以f' x k f' 1 k2 f' 2kn f'其中c n 1 .又f' x在0,1上连续，从而f' x有界.故lim kn f' n 0 n-'.-'一f x lim f x 0. n即f'x 0（当c x时同样成立