概率论及数理统计多维随机变量ppt课件

1、第三章第三章 多维随机变量多维随机变量 普通地，我们称n个随机变量的整体X=(X1, X2, ，Xn)为n维随机变量或随机向量. 3.1二维分布函数二维分布函数定义的二维分布函数。的二维分布函数。为随机变量为随机变量则称则称对任意的对任意的),(),(),(,YXyYxXPyxFRyx性质3. ()1;( ,)0,(, )0F,F xFy 2.0 F(x,y) 11. F(x,y)是变量是变量x,y的单调不减函数。的单调不减函数。对于恣意对于恣意y,x1x2,F(x1,y) F(x2,y)对于恣意对于恣意x,y1X2)假设二维随机变量假设二维随机变量X,Y具有概率密度具有概率密度2211222

2、11221()2() 2(1)2121( , )21xxyyf x ye那么称那么称 X,Y服从参数为服从参数为其中其中均为常数均为常数,且且, 0, 0211|,21211212(, ) (,)X YN ,2121的二维正态分布的二维正态分布.记作记作二维正态分布二维正态分布3.2 二维随机变量二维随机变量X,Y分布函数为分布函数为F(x,y),而而X,Y都是随机变量，各自具有分布函数，分别都是随机变量，各自具有分布函数，分别记为记为FX(x)和和FY(y),依次称为依次称为X,Y关于关于X和和关于关于Y的边缘分布函数。的边缘分布函数。( )()XFxP Xx( )()YFyP Yy(,)(

3、 ,)P Xx YF x (,)(, )P Yy XFy 二维离散型随机变量的边缘分布密度二维离散型随机变量的边缘分布密度,),(ijjipbYaXPi, j =1,2, 设设X,Y为离散型随机变量，为离散型随机变量，那么那么(X,Y)关于关于X、Y的边缘概率分布分别为的边缘概率分布分别为, 2 , 1,)(ipaXPpjijii, 2 , 1,)(jpbYPpiijij边缘分布密度边缘分布密度XYa1a2.ai.b1b2.bjp11p21.pi1.p12p22.pi2.p1jp2j.pij.pjpip1 p2 pjp1p2 .pi .1例例1：设袋里有五个同类产品，其中有两个是：设袋里有五个

4、同类产品，其中有两个是正品。现依次抽取两个正品。现依次抽取两个,设设X、Y份表示第一次、份表示第一次、第二次抽取的产品。在无放回抽取和有放回第二次抽取的产品。在无放回抽取和有放回抽取两种情况下分别求抽取两种情况下分别求X,Y的关于的关于X,Y的的边缘分布密度。边缘分布密度。设设X,Y的分布密度为的分布密度为f(x,y),那么关于那么关于X和和关于关于Y的边缘分布密度分别为的边缘分布密度分别为dyyxfxFdxdxfXX),()()(dxyxfyFdydyfYY),()()(二维延续型随机变量的边缘分布密度二维延续型随机变量的边缘分布密度随机变量的独立性随机变量的独立性 假设二维随机变量假设二维

5、随机变量X,Y满足满足,对恣意对恣意x,y有有)()(),()()(),(yFxFyxFyYPxXPyYxXPYX即 那么称那么称X,Y相互独立相互独立 .离散型离散型jipppjiij,对一切延续型延续型yxyfxfyxfYX,)()(),(例例2 知知X、Y独立独立,完成下面表格。完成下面表格。XY12p.j123pi.1/81/81/61例例4：设：设X,Y在区域在区域G0y2x+2,-1x 0，那么称，那么称为在为在Y=yj条件下随机变量条件下随机变量X的条件概率函数的条件概率函数.P(X=xi|Y=yj)=)(),(jjiyYPyYxXPjjipp，i=1,2, 结合分布结合分布边缘

6、分布边缘分布 条件分布是一种概率分布，它具有概率条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率，正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质具有概率的一切性质., 0)|(jiyYxXP例如：例如：1)|(1ijiyYxXPi=1,2, XY10101/103/103/103/10例例1 知知X,Y的分布密度如下，分别求在的分布密度如下，分别求在X=1和和X=0条件下，条件下，Y的分布密度。的分布密度。延续型延续型r.v的条件分布的条件分布00|0( -)0.lim(| -)(, -)lim( -)X(|),( | ).X YP yYyP Xx yYyP

7、 Xx yYyP yYyYyP Xx YyFx y 设对于任意给定的，有若存在，则乘此极限为在条件下 的条件概率分布函数。记作或定义定义dyyxfyxfxfyxfxyfXXY),(),()(),()|(| 设设X和和Y的结合概率密度为的结合概率密度为 f (x,y),边缘概率密度为边缘概率密度为 ，那么对一切，那么对一切使使)(),(yfxfYX0)(xfX 的的x , 定义知定义知 X=x下，下，Y 的条件的条件密度函数为密度函数为dxyxfyxfyfyxfyxfYYX),(),()(),()|(|同样，对一切使同样，对一切使 的的 y, 定义定义0)(yfY为知为知 Y=y下，下，X的条件密度函数的条件密度函数 .定义定义 例例2：设二维随机变量：设二维随机变量X,Y的分布密度为：的分布密度为：)2()1 (21exp121),(2222yxyxyxf求求(X,Y)关于关于X和和Y的条件分布密度。的条件分布密度。例例3 3：设