10个导数题极值点的偏移

1、10个导数题（极值点的偏移）（1）极值点偏移的问题1. 已知/（x） = lnx-dx,（a为常数）（1）若函数T（x）在x = l处的切线与x轴平行，求"的值；当0 = 1时，试比较与/（丄）的大小；m/（X）有两个零点®心证明：召变式：已知函数/（x） = In x-ax1, &为常数。（1）讨论f（x）的单调性；（2）若有两个零点心心，试证明：X）x2>e2. 已= x2 +ax + sin , x e （0,1）;2（1W（X）在定义域内单调递增，求d的取值范围；（2）当a二-2时，记f（x）取得极小值为f（x（）若/（舛）=/、（七）,求证+花>

2、;2兀3. 已= lnx-ax2 +x,(a e R)2若/'(1)=0,求函数f(x)的最大值；(2) 令g(x)=f(x)-(ax-l),求函数g(x)的单调区间;(3) 若d二-2,正实数片吃,满足/(西)+ /(x2) + Arv2 =0,证明：x +x2 > +4. 设a0,函数f (x)二lnxpx, g(x)二.nx-x + 证明：当x>l时，g(x)>0恒成立;(2) 若函数f(x)无零点，求实数&的取值范围；(3) 若函数f(X)有两个相异零点Xi，£,求证：x,%2 >e25. (a) =x-2a-aInx,fez e R。

3、求f(x)的单调区间；(2) f(x)有两个零点州*2，且西 <与(i) 指出a的取值范围，并说明理由；(ii)求证：禹“<8/6. 设函数 f(x) = eT - ax + a(a e R),其图象与 x 轴交于 A(x, 0), B(x2 > 0)两点，JL xX Xi.(1)求d的取值范国：(2) 证明:f (、陌)<0 ( f(x)为函数/(x)的导函数)；，求(3)设点C在函数y = f(x)的图象上，且为等腰直角三角形，记(11)的值.【解】(1 ) /r(A)= ex-</ 若“WO,則广(x)>0,则函数f(;v)是单调增函数.这与題设矛盾所

4、以a>09令f '(X)= 0 ,則 x = In “。当xln“时,fx) < 0 , f(x)是单调减函数;%Aln “时,f(x) > 0, f(x)是单调增函数;于是当x = na时，/(入)取得极小值.因为函数 f (x) = ev - ax + a(a E R)的图象与 x 轴交于两点 A(xx » 0), B(x?，0) (%i < x 2),所以/(lnu)=t/(2-hu/)<0,即</>e2.此时，存在/(l) = e>0；存在 3In a > na > /(31n a) = ay 3a In a

5、 + a > / 3/ +a > 0,又由f(x)在(yo, ln“)及(Ina, +x)上的单调性及曲线在R上不间斷，可知</>e2为所求取值范国。因为尸妙+“ = 0 '两式相减得“=竺二e v：, -cix2 + a = 0,xi xig(s) = 20 则g心)=2 - 0+旷)<0,所以g(s)是单调减函数,则有 g(r)vg(O) = O,而壬 >0,所以 r|y-)<Oo又厂(朗=疋-“是单调增函数，且与 所以广(厶兀)<0。(3)依题意有 L 一 处;+“ = 0,则“(壬一 1) = Z >0=>x. >

6、;!(/ = !, 2)o= 90° ,所以曲+.0于是C=心旺-1心2-1)，在等腰三角形磁中,显然X + X兀=' J ： (召,x2), yQ =/(xo)<O,由直角三角形斜边的中线性质，可知警丄=-儿，所以儿+工彳=0,即。存一号(舛+兀2)+。+害所以 ajg _1心2 T) - y(A-j + 兀2)+ " += 0 ,即"J(X| 1)(兀2 1)_ 号(西 一 1) + (兀2 -1) +所以皿_号(1+严)+ *(尸_1) = 0,(%2 - 1)-(召 - 1)_0即“ = +二,所以(</-1)(/-1) = 2. t

7、17. 已知函数 fx) = xcx(xeR)(I )求函数/(X)的单调区间和极值;(II) 已知函数y = g(x)的图象与的数y = /(x)的图象关于直线x = l对称，证明当x>l 时，f(x)>gM(III) 如果召工兀2,且/(Xl)= /(兀2)，证明X +X2 >2(I )解：(x) = (l-x)ex令 f(x) =0,解得 xh当x变化吋，f, (x), f (x)的变化情况如下表X(p,l)1(l,+oo)f (x)+0f(x)/极大值所以f (x)在(y>,1)内是增函数.在(1,乜)内是减函数.函数f (x )在x = 1处取得极大值f (1

8、)且f(1)=-(II) 证明：由题意可知g(x) =f (2-X),得g(x) = (2x)严令 F(x) =f (x) g (x),即 F(x) = xex + (x - 2)ex2于是 F'(x) = (x-1)(小-2一1)严当 X > 1 Dt, 2x2>0,从而又严 >0,所以 F' (x) >0,从而函数 F(x) 在1,+°°)是增函数。又 F (1) =e,-e, =0,所以 x>l 时,有 F (x) >F(1) = 0,即 f (x) > g (x).Ill)证明：(1)若(X _1)(兀2_1

9、)=0,由(I)及 f(Xx) = f(X2),则召=%2 =1 与X工兀矛盾。若3 - 1)(X2 -1) >0,由(I)及f(X1) = f(X2),得召=尤2与召H兀2矛盾。根据(1) (2)得(a,-1)(x2-1)<0,不妨设召 <1,兀>1.由(II )可知,f (x2)>g(x2),则 g(x2) = f (2-x2),所以 f (x2) > f (2-x2),从而 f (x/)>f (2x2)因为x2 > 1,所以2-x2 < 9又由(I )可知函数f (x)在区间(-8, 1) 内事增函数，所以坷2-x2 ,即x +x2

10、> 2o8. 已知函数f(x) = hi x-ax2 +(2-6r)x(12 分)(l)讨论心)的单调性；(II)设日0,证明：当0 <x<-时，f(l + x)> /(1-X)；aaa(III) 若函数y= f (x)的图像与x轴交于B两点，线段力0中点的横坐标为xo,证明： f (Ab) <09. 已知函数f(x) = ex(I )求/(朗的单调区间;(II)证明：当 f(X) = f(x2) (x x2)时，%)+ x2 < 0(l + x)=xe(1 +jc)当"(oo,0时，广(x)>0= /(x)单调递增;当xe0, + oo)时

11、,f(x)<Q9y = f(x)单调递减.所以，y = f(x)在在(一8,0上单调递增；在xe0, + co)上单调递减. o (II)由(I )知，只需要证明：当x>0时f(x) < f (x)即可.-xi + x11 + xl + x寸(17)。令g(x)= (1 一 x)0 _ 1 一 x,x > 0 => g(x) = (1 2x)e2x 一 1 令心)=(1- 2x)e2x -1 => hx) = (1- 2x)e2x = -4xe2x < 0, => y = hM在(0, + s)上单调递减=> /?(x) < /?(O

12、) = 0 => y = gM在(0, + s)上单调递减=>g(x)vg(0) = 0=>y =(l-x)e2t-l-x在(0, + s)上单调递减，fix = Wjv = 0. l + h=> fW f(-x) <0=> f(x) v /(x)所以，/(XI) = f(x2 )且“工 时，可 + x2 < 0.1 0 o 已知函数 f (x) = a In x- x2 o当a = 2时,求函数y = /(a)在1,2上的最大值；2(2) 令g(x) = f(x) + ax,若，=g(x)在区间(0,3)上不单调，求d的取值范国；(3) 当a = 2

13、时，函数h(x) = f(x)-mx的图象与x轴交于两点A(xp0),B(x2,0) 且0VX <勺，又'(x)是h(Q的导函数。若正常数°，0满足条件a + 0 = l,证明： hax + /7x2) <0解厂(切=二-2“土上一,xx函数y = /(x)在*，1是增函数，在1 , 2是减函数，3分所以/U)max = /a)= 21nl-l2=-l.4分(2)因为 g(x) = a In x - x2 + cix ,所以 gx) = -2x + a ,5x分10个导数题（极值点的偏移）（1）因为g（x）在区间（03）上不单调，所以g r（x） = 0在（0,

14、3）上有实数解，且无重根,9v219由 g©) = 0.有° =丄二2(x + 1 + -5-) 4w(O,2), (xe(03)6分x+1x+12又当a = -S时，gx) = 0有重根a=-2,7分综上9*(0 迈)8分, 2(3) : h (x) = 2x-m 9 又/(无)一加x = 0 有两个实根xl9x2 ,x21nx. -x： -/mx. =0,°°:.仁2八，两式相减得2(lnxj -Inx2)-(X|* 一若)=加(“一心),21nx9 -x； -mxy =0"=2(叽,)_a+Q10分于是 hax + fix.) = _2(aq + 俊 J_+(坷 +心)QX + px2X| 一 x222(ln a- - In a )八“=! +(2&_1)(曲_“)ax + px2 xx 一 x211分. p > a,:. 2a <1,. (2a 一 l)(x2 -x)< 0.要证：li（ax+px