坐标系与参数方程

1、坐标系与参数方程1 / 17第一节坐标系1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换4：的作用下，点P(x, y)对应到点P (x , y),称4为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点0(极点)，自极点O引一条 射线0 x(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通 常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.图1(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段0M的长度p和从Ox到0M的角度0来刻画，这两个数组成的有序数对(p,称为点M的极坐标.其中p称 为点M的

2、极径，0称为点M的极角.3.极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x, y)极坐标(p,。互化公式x= pcos 0, y= -in0p =x2 + y2y tan 0=了(x 0)x4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆p= r(0 v M 2兀)圆心为(r,0)，半径为r的圆e/x2rcos项兀c兀-2冥2坐标系与参数方程2 / 17一Tt-一圆心为r, 2 ,半径为r的圆叩2rsin 0（0 0咒）5.直线的极坐标方程(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为a,则直线l的极坐标方程是止项p R).(2)直线l过点M(a,0)且垂直丁极轴，则直线l的极坐标方程为fcos

3、 A兀.兀a 2知2 ._.兀一一. . .、一一.(3)直线过M b, 2且平行丁极轴，则直线l的极坐标万程为psin 0= b(0 9b0)x= acos 4),(4为参数)y=bsin 4)温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几 何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x, y)到M0(x0,y0)的距离.重点1坐标系与参数方程1.极坐标和直角坐标互化的前提条件是：(1) 极点与直角坐标系的原点重合；(2) 极轴与直角坐标系的 X 轴正半轴重合;注意判断点P所在的象限(即角 的终边的位置)，以便正确地求出角，在转化过程中注意不要漏解，特别是在填空题和解答题

4、中，则更要谨防漏解.2. 消去参数是参数方程化为普通方程的根本途径，常用方法有代入消元法(包括集团代人法)、加减消元法、参数转化法和三角代换法等，转化的过程中要注意参数方程中x, y含有的限制条件，在普通方程中应加上这种限制条件才能保持其等价性3. 参数方程的用途主要有以下几 个方面：(1)求动点(x, y)的轨迹，如果x, y的关系不好找，我们引入参变量t后，很容易找.到x与t和y与t的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程 .此时参数方程在求动点轨迹方程中起桥梁作用.(2)可以用曲线的参数方程表示曲线上 一点的坐标，这样把二元问题化为一元问题来解决，这也是圆锥曲线的参数方程的主要功能.(

5、3)有些曲线参数方程的参变量t有几何意义.若能利用参变量的几何意义解题，常会取 得意想不到的效果.如利用直线标准参数方程中t的几何意义解题，会使难题化易、繁题化 简.高考常考角度角度 1若曲线的极坐标方程为2sin 4cos,以极点为原点,立直角坐标系，则该曲线的 直角”坐标方程为 .解析：关键是记住两点：1、x cos , y sin ,2、2x2由已知(3)两种坐标系取相同的长度单位.设点P的直角坐标为(x, y)，它的极坐标为(，)，则互化公式是cos十或sin222x yy；若把直角坐标化为极坐标，求极角tan -x时，应极轴为x轴正半轴建y2即可.坐标系与参数方程4 / 172sin

6、 4cos22x y 4x 2y22 sin0为所求.4 cos22x y 2y 4x,坐标系与参数方程5 / 17角度 2在极坐标系中，点（，一）到圆2cos的圆，心的距离为（A. 2C.2D.3解析： 极坐标（，一）化为直角坐标为2cos22(x 1) y21I).2可化为1，所以（J3 0）22 cos圆心坐3 .故选 D.角度 3 已知两曲线参数方程分别为交 点 坐 标为解：x ；5cosy sin2表示椭圆5联立得52y（2cos ,2sin），即（1,J3）.圆的极坐标方程3 3化为直角坐标方程为为1,0 )2y 2x，即距离公式.5 cossini(y0)2x 4x 5 0(0/

7、3x= 0, 2分、x + y_ 2y = 0,联立x2+y2-W3x= 0,一费x= 0,x2 ,解得或 。v=0y=3y2.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和号,3.4分坐标系与参数方程19 / 17(2)曲线C1的极坐标方程为A o(R, pu 0),其中0V沽 TT.因此A的极坐标为(2sin a, a), B的极坐标为(2 0).(1)求直线I与曲线C1的交点的极坐标(p, ()( p0,0V蛙2湾(2)若直线I与C2相切，求a的值.解(1)曲线Ci的普通方程为y= x2, xe V2,回直线I的直角坐标方程为x + y= 2,2y=x ,联立x+y= 2,x=1,解得y=

8、1x= 2,或(舍去).y=4、- . 一 - 一 . -. -P-Tt .故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1,1),其极坐标为瞻,4 .4分曲线C2的直角坐标方程为x2+ y2+ 2ax 2ay= 0,即(x+ a)2+ (y a)2= 2a2(a0).8分一八、 a+ *21厂 -八由直线I与C2相切，得-r= V2a,故a= 1.10分12. (2017福州质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为坐标系与参数方程24 / 17设点P(0,2), l和C交丁A, B两点,x= 3cos %x解(1)由消去参数a,得9+ y2= 1,y= sina即C的普通方程为%+ y2= 1.2分9r.八 兀匚.一由psin 0 4=寸2,得psin卜pcos 0= 2, (*)x= pcos 0,将代入(*)，化简得y=x+ 2,y= pBin 0一 .Tt一.所以直线l的倾斜角为4.4分项x= tco4，由(1)知，点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(tTty=2+ tsin4为参数),2x= 2 t，即厂(t为参数),2y=2+2tx2代入6 + y2= 1并化简，得5t2+ 18也t+ 27 = 0,9 = (18也)2 4X 5X 27