2008年(湖北.理)含答案

1、绝密启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(理工农医类)本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟祝考试顺利注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名， 准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘巾在答题卡上指定位置。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上，对应题目的答案标号涂写，如写改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字夂答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

2、符合题目要求的。设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b) c=A. (-15,12)B.0C.-3D.-11若非空集合 A,B,C满足A U B=C，且B不是A的子集，贝UA. “ x C ”是“ x A ”的充分条件但不是必要条件B. “x C”是“ x A ”的必要条件但不是充分条件C. “x C”是“ x A ”的充分条件D. “x C”是“ x A ”的充分条件也不是“ x A ”必要条件用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为n，则球的休积为8 :8 232 :A. 3B.3C. 8i 2 兀D. 3Sn(x2 -3x +2 + M-x2 -3x

3、+4)函数f(x)= x的定义域为A.(-,-4) : U 2,+ sB.(-4,0) U (0,1)C. :-4,0U( 0, 1)D. :- 4, 0 U( 0, 1)n5.将函数y=3sin (x- B )的图象F按向量(3 , 3)平移得到图象F'若F'的一条对称轴兀是直线x=4，则0的一个可能取值是551111兀一一兀兀兀A. 12B.12C. 12D. 126将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A.540B.300C.180D.1501 2 x bln(x 2)在(-1,+ ：) 7若 f(x)=2上是减函数，贝U

4、 b的取值范围是A.-1 , + g B. (-1 , + g) C. (-g, -1) D. (-g, -1)8.已知 m N*,a,b R,lim (1 x)m%b若x 0 x,则a b=A . -mB. mC. -1D . 1229. 过点A (11, 2)作圆x y 2x - 4y -164 = 0的弦，其中弦长为整数的共有A.16 条B.17 条C.32 条D.34 条10. 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心 F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以 F为一个焦点的椭圆轨道n 绕月飞行，最终卫星在P点第三

5、次变轨进入以F为圆心的圆形轨道川绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭轨道I和n的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和n的长轴的长，给出下列式子：C3£2a1+c1=a2+c2;a1-c1=a2-c2;c1a2> a1c1; & v a2 .其中正确式子的序号是A.B.C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.11. 设z仁z1-z1(其中z1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是-1，则z2的虚部为.12. 在厶ABC中，三个角 A, B ,C的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+

6、ab cosC 的值为13. 已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x-6x+2,其中x R, a,b为常数，则方程f(ax+b)=0的解集为14. 已知函数f(x)=2x,等差数列ax的公差为2.若f(a2+a4+ab+a2+a1)=4,则Log2f(a1) f(a2) f(a) , f(a10)=.15. 观察下列等式：n 11 2 i n2V,.31 21 21 2i n n n ,424i4n4 J4n3 -丄n,52330n n -4,bn =(-1)n(an -3n 21),ik =ak出nkH2 +aknk +aknkJL +ak/nk +，+印n + a0,可以推测，

7、当x>2 ( k N* )时,17二ak-2=.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. (本小题满分12分),g(x) =cosx_f(sinx) sinx_f(cosx),x (二,).已知函数f(t)= 1 t12(I)将函数 g(x)化简成 As in( 3 x+ $ )+B (A > 0, 3>0,0 , 2 n )的形式;(n)求函数g(x)的值域.17. (本小题满分12分)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有袋中任取一球.E表示所取球的标号.(I)求E的分布列，期望和方差；(n)若 n =a

8、E -b,E n =1,D n =11,试求 a,b 的值.n 个(n=1,2,3,4)现从18.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，平面 ABC丄侧面 A1ABB1.(I)求证：AB丄BC ;19.(本小题满分13分)如图，在以点 O为圆心，|AB|=4为直径的半圆 ADB中， / POB=30 °，曲线 C是满足|MA|-|MB|为定值的动点 M(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(H)设过点 D的直线l与曲线C相交于不同的两点 E、OD 丄 AB , 的轨迹，F.若厶OEF的面积不小于2 ，求直线I斜率的取值范围.20.(本小题满分12分

9、)水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于 为P是半圆弧上一点, 且曲线C过点P.t的近似函数关系式(H)若直线 AC与平面A1BC所成的角为0，二面角A1-BC-A 的大小为$的大小关系，并予以证明.r1(_t2 14t-40)ex 50,0 t <10, V( t)= ”(t10)(3t41)+50,10Yt 兰12.(I)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期以i-1 v tv t表示第1月份(i=1,2,12)同一年内哪几个月份是枯水期？(H) 求一年内该水库的最大蓄水量(取 e=2.7计算).21.(本

10、小题满分14分)2nan n -4,bn =(-1) (an -3n 21), 已知数列an和bn满足：a仁入，an+仁3其中入为实数，n为正整数.(I) 对任意实数 入，证明数列an不是等比数列；(H)试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；(川)设0v av b,Sn为数列bn的前n项和.是否存在实数入，使得对任意正整数 n,都有av Snvb?若存在，求入的取值范围；若不存在，说明理由2008年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工农医类)试题参考答案一、 选择题：本题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分50分.I. C 2.B 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C

11、8.A 9.C 10.B二、 填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分.61_kII. 112. 213.214.-6 15. 12 , 0三、 解答题：本大题共6小题，共75分.16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、 代数式的化简变形和运算能力 (满分12分),、1sinx1cosxg(x) cosx 二,：sinx 一解:(I) 1 sin x-1 cosx|(1s in x)2“1 -cosx)22sin x=cosx 匚 2 sin x 一1 cos2 x?1 -s in x=cosx gcosx1 -cosx + sin

12、 xgsi nx(17 兀 1=x 乏 I 兀i, cosx = cosx, sin x = -sin x,I 12,、1 -sin x1 - cosx.g(x)二cosxsinx_-cosx-sin x二 sin x cos x 217 二 55 二V x , V x(n)由12 得 443si nt 在 4 ' 2上为减函数，在2 3上为增函数,x(当sin V sin 乂,. sin 丄 2n(x 三)< sin 兰 又 34244% 2_ -1< sin(x -)v，一 2-2<，2sin(x ) 2< 3,即424故g(x)的值域为二2-2,-3 -1

13、7.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.(满 分12分)解：(I)的分布列为：0123411131P22010205E =0 - 1 2 丄 3? 4丄=1.5.2 20102052121212321= (0 -1.5)2(1 -1.5)2(2 -1.5)2(3 -1.5)2(4 -1.5)22.75.22010205(n)由 D rfD :得 a2x 2.75 = 11,即卩 a = ：2 又 Er =aE ' b,所以当 a=2 时，由 1 = 2X 1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时，由 1= -2 x 1.5+b，得 b=4.严

14、胡2, b = -2或.b =4即为所求.18. 本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关 系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力(满分12 分)(I)证明：如右图，过点 A在平面A1ABB1内作AD丄A1B于D，贝U由平面 A1BC丄侧面 A1ABB1,且平面 A1BC 侧面A1ABB仁A1B, 得AD丄平面A1BC,又BC 平面A1BC , 所以AD丄BC.因为三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱,则AA1丄底面ABC ,所以AA1丄BC.又AA1 AD=A,从而BC丄侧面 A1ABB1 , 又AB 侧面A1ABB1，故AB丄BC.(H)解法1 :连接CD，则由(I)

15、知 ACD是直线AC与平面4A1BC所成的角,ABA|是二面角 A1 BC A 的平面角，即 ACD 二 J. ABA,二：,si n"型，si n如于是在 Rt ADC中，AC 在Rt ADB中，ABa 0V 日，申V ， ag由 AB v AC,得 sin sin，又2 所以, 解法2:由(I)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AA仁a,AC=b,AB=c,则B(0,0,0),A(O,c,O),CO. b2 -c2,010)1 Aga),于是于是BC =i：b -c ,0,0), BA =(0,c,a),

16、AC =( . b -c , -c,0), AA =(0,0, a).设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则n BA =0,cy az = 0,由 In:.BC = 0,得'C x = 0,可取n=(0,-a,c)，于是n=ac>0,AC与n的夹角-为锐角，则-与互为余角任n §ACacsin 日一cos戸=in 片 ACb Ja? +c2所以a、a2 c2于是由cv b,得ac v ab、a2 c2.a2 c20v d,v ,即sin x sin '又2所以x :19. 本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、

17、不等式的解法以及综合解题能力.(满分13分)(I)解法1 :以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则 A (-2, 0), B (2, 0) , D(0,2),P O'3,1),依题意得| MA | - | MB | = | PA | - | PB |= (23)2(2 - .、3)1 = 2、2 AB | =4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实平轴长为a,虚半轴长为b，半焦距为c,则 c= 2, 2a= 2、2 , a2=2,b2=c2-a2=2.2 21曲线C的方程为22.解法2:同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得|MA | -

18、| MB | = | PA | - | PB |v| AB |= 4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.x2y2-j =1(a 设双曲线的方程为 a b>0, b>0).1J)DxX22 xa2b2(®212221-k2) k ( - "' 3 ,-1 )U( -1, 1 )U( 1,3 ).若厶OEF面积不小于22，即SAOEF - 2' 2，则有(n )解法1:依题意，可设直线I的方程为y = kx+2，代入双曲线 C的方程并整理得(x2-4kx-6=0.直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,设E ( x, y), F(x2,y2

19、)，则由式得4k62公必2x1+x2= 1 - k1 一 k，于是而原点O到直线I的距离d=1 k ,2 2则由 a b =4.解得 a2=b2=2,曲线C的方程为2广1k2式0,广k式±1,=(_4k)24 6(1 -k2)0u一 、3 ： k ： 、3.二,(1k2)(X1 -X2)2I EF |= . (X1 -X2)2 (y1 X2)21 -k22 2 3-k2-1 k2 .(X1 X2)2 -4x1X2 = 1 k21 d EF2 SA DEF=f"22 2 3-k22、2 J3-k21 -k21 -k222 3一 k _22=k4-k2-2M,解得.2 乞 k2

20、.1-k2综合、知，直线I的斜率的取值范围为八2 , -1 U (1-,1) U (1, -2). 解法2:依题意，可设直线I的方程为y= kx+2，代入双曲线C的方程并整理, 得(1-k2)直线I与双曲线2一 1-k -0, 一=5)2x2-4kx-6=0.C相交于不同的两点 E、F,4 6(1 -k2) 0.二 k ( - 3 , -1)U( -1 , 1 )U( 1 ,3 ).设E(x1,y1),F(x2,y2),则由式得-k21-k2.(x1 X2)2 -4X1X2| x1-x2 | =当E、F在同一去上时(如图 1所示),S ODF 'S ODESA OEF =一 OD j

21、x1 -X2=-|od2'Xi X2 ；当E、F在不同支上时(如图S .OEF=S a SA ODE=1OD (为 + x2)2OD2综上得由丨0D |= 2及式，得SA OEF=2、2、3-k21-k21-OD * X2,SA OEF= 2若厶OEF面积不小于2 ' 2,即S OEF -2 2,则有2 2 "-k _2.2= k4 -k2 乞 0,解得-2 乞k1-k2-.2.综合、知，直线|的斜率的取值范围为2 , -1 u( -1, 1)U( 1,2).20. 本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知 识解决实际问题能力(满分

22、12分)-4解: (I)当 0vt 乞 10 时，V(t)=(-t2+14t-40) e 50 ： 5°, 化简得 t2-14t+40>0,解得 tv 4,或 t > 10,又 0v t -10,故 0vt v 4.当 10v 1<12 时，V (t)= 4 (t-10) (3t-41) +50v 50, 化简得(t-10) (3t-41 )V 0,41解得 10< t v 3，又 10< t-12,故 10< t-12.综合得 0<t<4,或 10<t12,故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月. (n)(

23、I)知：v(t)的最大值只能在(4, 10)内达到.1t12311tc4 (_：t2 +；t+4) = ；c4 (t+2)(t8),由 V'(t)=424令V '=0,解得t=8(t=-2舍去).当t变化时，V' (t)与V (t)的变化情况如下表：t(4,8)8(8,10)V'+0-V(t)J极大值由上表，V(t)在t = 8时取得最大值 V(8) = 8e2+50-108.52(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考 查综合分析问题的能力和推理认证能力，(满分14分)(