2008年(湖北.文)含答案

1、绝密启用前2008年普通咼等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(文史类)本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.祝考试顺利注间事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上指定位置2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效3. 填空题和解答题用 0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出

2、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设 a=(1, -2),b =(-3,4),c=(3,2),则(a 2b) q =A. (-15,12)B.0C.-3D.-11312. (2x2)的展开式中常数项是2x21051A.210B.C.D.-105243. 若集合 P=1,2,3,4, Q=xO£X w5,x R,贝UA. “x R ”是“x Q ”的充分条件但不是必要条件B. “x R ”是“x Q ”的必要条件但不是充分条件C. “R ”是“Q ”的充要条件D. “R”既不是“xQ ”的充分条件也不是“ xQ ”的必要条件4用与球必距离为1的平面去截面面积为二,则球的体积

3、为A.32 二8 :B.3C.8、2D.8. 2:35在平面直角坐标系 xOy中，满足不等式组的点(x,y)的集合用阴影表示为下列图中的26.已知f(x)在R上是奇函数，且f(x，4) = f(x),当“ (0,2)时，f(x) = 2x,则彳(7)=A.-2B.2C.-98D.987. 将函数y =sin(x-v)的图象F向右平移一个单位长度得到图象3轴是直线x ,则二的一个可能取值是15511A. 二B.-寫C. :1212128. 函数 f (x)=丄1 n( x2 -3x 2)-x2 -3x 4 的定义域为xF',若F '的一条对称11D.- 理12A.(-二，-42,

4、：)B. (-4,0) 一 (0,1)C.-4,0)(0,1D.-4,0) 一 (0,19.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛,其中至少有一名女生入选的组队方案数为A.100B.110C.120D.18010. 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在 月球附近一点P变轨进入以月球球心 F为一个焦点的椭圆轨道 I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以 F为一个焦点的椭圆 轨道n绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以 F为圆形轨道川绕月飞行，若用2g和2C2分别表示椭圆轨道I和n的焦距，用2d和2a2分别表示椭圆轨道I和n的长轴的长，给出下列式子：印印-g

5、 =a2-C2；Ga?乜心；9： 2.其中正确式子的序号是a a：A.B.C.D.、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上11. 一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有 200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 12. 在厶ABC中，a, b, c分别是角A，B，C所对的边，已知 a = . 3,b = 3,C = 30 ,则A = .13. 方程2公x2=3的实数解的个数为 .14. 明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是

6、0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一准时响的概率是.“X = 3 + 4cos 日15. 圆C''(二为参数)的圆心坐标为 ，和圆 C关于直线y = -2 +4si n 日x-y=0对称的圆C'的普通方程是 .三、解答题：本大题共6分小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. (本小题满12分)xxx已知函数 f(x)二 sin cos cos22.222(I)将函数 f (x)化简成Asin (x) B(A 0, 0,0, 2 )的形式，并指出f (x)的周期；亠17兀(n)求函数f(x )在二，上的最大值和最小值1217. (

7、本小题满分12分)3 2 2已知函数f(x) =x mx - m X 1 (m为常数，且 m>0)有极大值 9.(I)求m的值；(n)若斜率为-5的直线是曲线y二f (X)的切线，求此直线方程.18. (本小题满分12分)如图，在直三棱柱 ABCAB1C1中，平面 ABC丄侧面A,ABB|.(I)求证： AB _ BC;(n)若AA = AC = a,直线AC与平面A BC所成的角为日,二面角 A-BC-A的大小为:求证：.219. (本不题满分12分)如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为

8、10cm ,广告面积最小?20 (本小题满分13分)已知双同线2y2 -1(a0,b0)的两个焦点为b2F :( -2,0), F :(2,0),点 P(3, .7)的曲线C上.(I)求双曲线C的方程；(H)记O为坐标原点，过点 Q (0,2)的直线I与双曲线C相交于不同的两点 E、F，若OEF的面积为2、2,求直线I的方程 21.(本小题满分14分)2 已知数列an和bn满足：a1 = ',a n 1 ax n 4n,bn = (-1)n(an-3n 21),其3中为实数，n为正整数.(I)证明：当 = -18时，数列bn是等比数列；(H)设Sn为数列bn的前n项和，是否存在实数，使

9、得对任意正整数 n,都有Sn -1 2若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由2008年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文史类)试题参考答案一、 选择题：本题考查基础知识和基本运算第小题5分，满分50分.I. C2.B3.A4.D5.C6.A7.A8.D9.B10.B二、 填空题：本题考查基础知识和基本运算，第小题5分，满分25分.Ji、II. 1012.30。(或一)615. (3, 2), ( x+ 2) 2+( y 3) 2= 16 (或 x2 + y2+ 4x 6y 3= 0)三、解答题：本题共 6小题，共75分.16. 本小题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最

10、值等基本知识和运算能力 (满分12分)解：(I)+"1-2 = (sin x +cosx)2 22sin(x 心.242故f(x)的周期为2k n k Z 且 k工 0.(n )由 n wx< 1712n,得5二.因为443f(x) =2二 35 :2842 在二ji上是减函数，在上是增函数.故当x=时,43 + 72f(x)有最小值一；而f(n )= 2,2、 6 6 f ( n )= 一12 4<2,x= n 时,f(x)有最大值2.17.本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力所以当解：(I ) f 'x) = 3 +2mx m2=(x+m)(

11、3x m)=0,则 x= m 或 x=.(满分12分)1m,3Dft当x变化时，f '(x)与f(x)的变化情况如下表:x(8， m)m1(m,-m)31 m 31(一 m，+8)3f (x)+0一0+f (x)极大值极小值从而可知，当x= m时，函数f(x)取得极大值9, 即 f( m)= m3+m3+m3+1=9, / m = 2.32(n )由(I )知，f(x)=x +2x 4x+1,依题意知 f '(x) = 3x2 + 4x 4= 5，二 x= 1 或 x又f( -1)=6,f(- 3)=畧,所以切线方程为 y 6= 5(x+ 1),或 y 8 = 5(x+ ),2

12、73即 5x+ y 1 = 0,或 135x+ 27y 23 = 0.18.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力 和推理论证能力.(满分12分)(I )证明：如右图，过点 A在平面AiABBi内作AD丄AiB于D，贝U 由平面 AiBC丄侧面 AiABBi,且平面 AiBC门侧面 AiABBi = AiB, 得AD丄平面AiBC.又BC匸平面AiBC所以AD丄BC.因为三棱柱 ABC AiBiCi是直三棱柱,贝U AAi±底面 ABC,所以 AAi± BC.又AAiA AD=A，从而BC丄侧面AiABBi,又 ABU侧面 AiABBi

13、,故AB丄BC.(H )证法i:连接CD,则由(I )知/ ACD就是直线 AC与平面AiBC所成的角，/ ABAi就 是二面角 Ai BC A 的颊角，即/ ACD = 0，/ ABAi=Cp.于是在Rt ADC中,ADsin 0 =ACADa，在 Rt ADAi 中,sin / AAiD =AD ADAAi a sin0 =sin/ AAiD,由于 0 与/ AAiD 都是锐角，所以 0 =Z AAiD. 兀 丄皿 兀又由 Rt AiAB 知，/ AAiD+ = Z AAiB +=,故 0 + =-.2 2证法2:由(I )知，以点B为坐标原点，以 BC、BA、BBi所在的直线分别为 x轴

14、、y 轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设 AB=c (cv a=,则 B(0,0,0), A(O,c,O), C( . a2 - C2 ,0,0 ),Ai(0,c,a)，于是 BC = ( . a2 - c2,0,0), BA, = ( 0, c,a),AC = ( . a2 - c2，-c,0) AA = c,a设平面AiBC的一个法向量为 n=(x,y,z),*BAiBC可取n =( 0,cy + az = 0,Jaa, c),于",得72 _c2x = 0.n2 AC =ac> 0, AC与n的夹角：为锐角，则F与二互为余角，sin ：=cos ：= n AC(0,

15、-a,c)a2 -c2,-c,0)2| n 丨 AC |a2 c2 . (a2 - c2) c2a2巾BA BA(0,-a,c) (0,0,a)ccos =,|BAi |*|BA|. a2 c2，a、a2 c2所以 sin 出cossin(二一)又 0v B 护v 二，所以 B+®=二2 ' 2 2i9.本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、不等式等知识解决实际问题的能力(满分12分)解法1:设矩形栏目的高为 a cm，宽为b cm,则ab=9000.广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a>0, b > 0.广告的面积 S= (a+20)(2b

16、+25)=2ab+40b+25a+500= 18500+25a+40b> 18500+2 . 25a 40b =18500+ 1000ab = 24500.5当且仅当25a = 40b时等号成立，此时 b= a ,代入式得a=120，从而b=75.8即当a=120, b=75时,S取得最小值 24500.故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小 .解法2：设广告的高为宽分别为 x cm, y cm，则每栏的高和宽分别为 x 20, y 一 25 ,其中x2>20, y>25两栏面积之和为2(x 20)丄25 "8000,由此得y= I8000

17、 25,2x-20广告的面积 S=xy=x( 1800025)= 1800025x,x-20x-20整理得 s= 360000 25(x -20)18500.x -20因为 x 20>0,所以 S>20 25(x-20)18500 = 24500.V x-20当且仅当360000 =25(x _ 20)时等号成立，x -2018000此时有(x 20)2= 14400(x>20)，解得 x=140,代入 y=+25，得 y= 175,X-20即当x=140 , y= 175时，S取得最小值 24500,故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.20.

18、 本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待写系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力(满分13分)2 2(I )解法1:依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为 笃 J =1( 0< a2v 4 =,a 4 a将点(3, -.7 )代入上式，得 弓匚三=1.解得a2=18 (舍去)或a2= 2,a 4 a2 2故所求双曲线方程为 1.2 2解法2 :依题意得，双曲线的半焦距c=2.2a=|PFi|PF2|= .(3 2)2( 7)2 - . (3-2)2 ( 7)2 = 2.2,- a2=2, b2=c2 a2=2.2

19、2双曲线C的方程为 =1.2 2(H )解法1:依题意，可设直线I的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理, 得(1 k2)x? 4kx 6=0.直线I与双曲线C相交于不同的两点 E、F,jk2 式 0,:k±1,|A =(4k)2 +4 疋 6(1 k)2 >0,厂 V3< k (、._ 3,-1)U (1, .3).设 E(x1,y1),F(X2,y2)，则由式得 X1+X2=, x1x2笃，于是1 -k1-k|EF|= .(X1 -X2)2 (y1 y2)2 = (1 k2)(x1 -X2)2X2)2 _4XrX2 =1 k2 *2 2 3-k2|1-k2|而

20、原点O到直线l的距离d=_2_1k2- Sa OEF= d | EF2k22 2 . 3 - k22 |1 - k2|2、2 , 3-k2|1 - k2 |若 sa oef=”，即2 冷=2'. 2 ：= k4 -"k2 -'2 = 0,解得 k= ± . 2 ,满足.故满足条件的直线I有两条，其方程分别为y=、2x 2和旳=_、7:x 2.解法2:依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理, 2.1 -k 工0,丿u苫=(Yk)2 +4 汉 6(1 k2)>0,'k-1,、3< kv 一 3. k ( ._3,-1)U (1, .3).设E(xi,yi),F(x2,y2)，则由式得|x1 x2|=(厂x2厂y 二占3-k2|1-k2|当E、F在同一支上时(如图 1所示)，11Saoef= |Saoqf Sa oqe|=| OQ | *| x1 | x2 | OQ | *| x122当E、F在不同支上时(如图 2所示)，11Saoef = Saoqf + Sa oqe=| OQ | | x1 | x2 |)| OQ | d x1 - x2 丨.22综上得 Sa OEF =1jOQExr1，于是由|OQ |= 2及式，得 Saoef =2、2 .3 -k22|1_k |若 Saoef = 2 昭&