量子力学复习提纲

1、量子力学复习提纲一、 基本假设1、 （ 1）微观粒子状态的描述（ 2） 波函数具有什么样的特性（ 3） 波函数的统计解释2、 态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、 波函数随时间变化所满足的方程薛定谔方程4、 量子力学中力学量与算符之间的关系5、 自旋的基本假设二、 三个实验1、 康普顿散射（证明了光子具有粒子性）第一章2、 戴维逊 - 革末实验（证明了电子具有波动性）第三章3、 史特恩 - 盖拉赫实验（证明了电子自旋）第七章三、证明1、 粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、 厄密算符的本征值为实数；3、 力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、 力学量算符的本征函数组

2、成完全系；5、 量子力学测不准关系的证明；6、 常见力学量算符之间对易的证明；7、 泡利算符的形成。四、 表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。五、 计算1、 力学量、平均值、几率；2、 会解简单的薛定谔方程。第一章绪论1、德布洛意假设 :德布洛意关系 :戴维孙 - 革末电子衍射实验的结果:2、德布洛意平面波:3、光的波动性和粒子性的实验证据:4、 光电效应：i(p rEt)Ae5、 康普顿散射 :附：（ 1）康普顿散射证明了光具有粒子性（ 2）戴维逊 - 革末实验证明了电子具有波动性(3 ) 史特恩 - 盖拉赫实验证明了电子自旋第二章波函数和薛定谔方程1 ?量子力学中用波函数描写微观体系

3、的状态。2 ?波函数统计解释：2若粒子的状态用江描写 ,d表示在 t 时刻，空间处体积元d 内找到粒子的几率 ( 设是归一化的 ) 。3 . 态叠加原理 :n是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠加nn也可以说 ，当体系处于态n Cn n 时，体系部分地处于态C也是体系的一个可能状态。中。4.任何一个波函数r，t 都可以看做是各种不同动量的平面波的迭加。5. 波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出:V(r,t)当势场V(r)不显含时间 t 时，其解是定态解n(r,t)满足定态薛定谔方程其中注：定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。6 . 波函数的归一化条件 :2d 1( 对整个空间积分 )( 全

4、 )相对几率分布 :波函数常数因子不定性;(r) c (r)波函数相位因子不定性 :7?波函数的标准条件：波函数一般应满足三个基本条件：连续性，有限性,8.i度与几率密度几率流密j9. 定态所需的条件10. 一维无限深方势阱0,(1 ) 若 V(x)n(r )eiEntn(r )V(r,t)单值性。满足连续性方程厂. n x sin , x a本征函数 n a a本征值 Enn,x 或 x anJa（ 2）若、八、0,xaV(x)xaITnj sin(x a) , n 1,2,3,.xa则本征值E °本征函数n T a2a0,xa11. 自由粒子波函数（推导过程）本征值 En n _

5、12. 一维谐振子V _ 本征函数n N e13、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中）三维各向同性谐振子的能级和波函数。n能级En xnyn znxnynznx, ny,n z 0,1,2,r22 Hnxnynzn z ex)H ny ( y)H nz( z)第三章量子力学中的力学量1 ?量子力学中的力学量用线性厄米算符表示，并且要求该算符的本征函数构成完备系。2. 厄米算符 A 的定义：* A dr （A ）* dr此为坐标表像中的表示式厄米算符的本征值是实数。厄米算符的属于不同本征值的本征函数一定正交。附：力学量算符的本征函数系满足正交、归一、完备、封闭等条件。3 . 力学量的测量值

6、：在力学量 F 的本征态中测量 F，有确定值，即它的本征值;在非 F 的本征态中测量 F , 可能值是 F 的本征值。将 （X）用算符 F 的正交归一的本征函数展开:则在 （x）态中测量力学量F 得到结果为率为F? nFCn( X) ( X)dX?n,力学量的平均值是(X)F ( X)dX附：本书中五个基本原理(1)量子力学中态的表示波函数r ,t(2)态叠加原理 :(3)定态薛定谔方程 :(4 )力学量与算符的关系 :(5 )自旋 :( )Cn n (X)C (X)dXXnn 的几率为Cn，得到结果在d 范围内的几*( X)( X)dX4. 连续谱的本征函数可以归一化为函数。5 ?简并：属于

7、算符的某一个本征值的线性无关的本征函数有若干个，这种现象称为简并。简并度： F? 算符的属于本征值n 的线性无关的本征函数有f 个，我们称F 的第 n 个本征值 n 是 f 度简并。6?动量算符 p 的本征函数 （即自由粒子波函数）戸（ ） eipr正交归一性(p p)p(r) p(r)d7 ?角动量 Z 分量Lziim em ( ) .,m,本征函数Lz 的本征值Lzm8 ?平面转子（设绕z 轴旋转）课本 P101 3.5题L；2 d2H哈密顿量2121 d 2m ( )im,e , m能量本征态能量本征值Em -9 .L ,Lz 有共同的本征函数一 球谐函数 Y mYm()m NimPm(

8、cosim)eNlmlm ! l!1 lm!L Yml(l )YlmLz Ymm Y m中心力场中，势场V(r) V(r),，角动量 L 为守恒量。10. 中心力场中，定态薛定谔方程r - V(r)r rr, L z 为体系的守恒量完全集，其共同的本征函数为(r,)R(r)Y m (,)l,m l , l11 . 氢原子En能级简并度e2（玻尔半径）nlm ( r ,Rnl(r)Y m (,轨道磁矩Bm ,- Bohr c为玻尔磁子）旋磁比M zLz类氢离子EndF12. 守恒力学量的定义：若（即力学量 F 的平均值不随时间变化），则称F 为守恒量。dt力学量 F 的平均值随时间的变化满足因而

9、力学量 F 为守恒量的条件为 :13 ?宇称算符宇称算符的定义：P (r)( r)本征值本征函数。注：宇称出现在一维无限深势阱、自旋中。14.ABBA对易式定义：A,B15. 对易式满足的基本恒等式：A,BCA,BA,CA,BCBA,BA,BCAB,C AB ,CA,CBA,B,CB,C ,AC,A,B16. 一些重要的对易关系：F,H（Jacobi恒等式）x , x0, P,P0,x , pixxL , piPLLLx, L yi L z ,Sx,Sy,J x , J yi J zi S zL2 , L0, s 2 ,s0, J2 ,J0附：要会证明对易关系注：量子力学证明题多关于算符和自旋

10、。17?若算符 A、B 对易，即 A,B0 ，则A 和 B 有共同的本征函数系。在A 和 B 的共同的本征函数表示的态中测量 A、B，都有确定值。18. 不确定关系 ：若算符 A、B 不对易，即 A ，B0 ，则必有1| A,Bi A B - A,B简记为2特别地，x p x2第四章态和力学量的表象1 . Q 表象是以 Q 的本征函数系 Un x 为基底的表象，在这个表象中，有QU n X Q n Un Xan t Un Xa ta t*,a (t), a (t), an (t)an tFnm，矩阵元是u； FUm dx算符 F 对应一个矩阵（方阵）选定表象后，算符和量子态都用矩阵表示。平均值

11、公式是F F,归一化条件是1 ,本征值方程是F。附：在自身表象中表示算符的矩阵为对角矩阵。2.幺正变换：在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换，满足S S态的变换是b Sa；算符的变换是F SFS 。幺正变换不改变算符的本征值。附：在自身表象中，本征函数是函数。附：证明某个算符势厄密算符A dr (A )* dr来证明。坐标表像中用厄密算符的性质任意表象中则用幺正变换( 即：表示算符的矩阵的转置共厄等于算符本身)1S S 来证明。3. 量子态可用狄拉克符号右矢A) 或左矢 ( A 表示。狄拉克符号的最大好处是它可以不依赖于表象来阐述量子力学理论，而且使用十分方便。基矢的完备性：向何 I ,

12、 dxx )(x| In坐标表象狄拉克符号(1)F (x,t)(x,t)F )(2)i t(x ，t)H (x,t)iHtn(3)HU n(x) E nUn(x)HEn：(4) U ；(X) Un(X) dX mn(mmn(5) (x)CnUn(x)!Cnn)nn(6) C n u；(x) (x)dxCn (n '(7) F*(x)F (x)dxF(|F(8)*(x) (x)dx 1(|)1第五章微扰理论1 . 定态微扰理论适用范围：求分立能级及所属波函数的修正。适用条件是：一方面要求H。 的本征值和本征函数已知或较易计算，另一方面又要求Ho 把 H 的主要部分尽可能包括进去,使剩下的

13、微扰H 比较小，以保证微扰计算收敛较快，即Hnk匚(0)匚(0)EkEn(1 ) 非简并情况H。EkEk0)kkH nk(0)E (0)E kE n(0)nk(0)kE kn(0) (0)En(2 ) 简并情况能级的一级修正由久期方程det HEk1)H11 Ek1)H12H1f kH21H22 Ek1)H 2f kHfk1fk2f ffEk1)f给出。 EP 有 fk 个实根，记为Ek 1)1,2,fkEk 1)0分别把每一个根代入方程，即可求得相应的解，记为a ，于是得出新的零级波函数相应能量为EEk0)Ekk。2 . 变分法选择尝试波函数，计算H 的平均值 H.它是变分参量的函数，由极值

14、条件出 0，求出H( o ).，它表示基态能量的上限。3 ?由k m的跃迁几率是2i mk tWk m (t)a(t) mmk e dt0此公式适用的条件是Wk m (t)1, 对于 m k4 ?周期性微扰：光的吸收和发射，选择定则等。第七章自旋与全同粒子1 ?自旋基本假设的内容：2. 自旋实验基础：3. 自选角动量、轨道角动量及相应磁矩 :4. 自旋角动量算符5. 自选波函数的形成及当自旋与轨道作用可忽略时的波函数6. 什么情况有奇宇称、偶宇称 ?7. 电子自旋假设的两个要点 :(a);(b )内禀磁矩的值即玻尔磁子的值:Be cg 因子 ( 回转磁比值 ) ： gsgLr, 28 ?旋量波

15、函数r,2的意义及其归一化。9. 自旋与轨道无耦合时:r ,S zSzSz?的本征态：ss,ss一般自旋态：Ssa bab10?自旋算符与泡利矩阵s Si ss -? 2?2?211? yzx2iX yyXy zzy2iz XXz2i( 单位算符 )zx yy xXy zz yyz XX ziXyzi50 1Sy -0 i1 0SX -i 0Sz2 10y 22 0 13 21 0S240 1附：会证明泡利矩阵11 . 总角动量在中心力场V (r)( 例如Coulomb 场) 中运动的电子的相对论波动方程( Dirac 方程 ) ，在非相对论极限下， Hamilton量中将出现一项自旋轨道耦合

16、作用(r)sL(r)11 dVr2 2.2 c r dr2 2电子的能量本征态可选为( H 丄， J , J z ) 的共同本征态，而空间角度部分与自旋部分的波函数则可取为( L , J ,J z ) 的共同本征态 ：j l /ljm j ( ,S z)j l(l )本征值分别为l(l ) ,j(j ) , m j (m jj,j , j)12. 碱金属原子光谱的双线结构由于 ( r)s L 项的存在，使得 En j 丨 1/2 Enj 丨 1/2 。例如3p 1/23S|/2 (5896 A)Na:3p 3/23s1/2( 58 90A)还可以解释反常塞曼效应。附：只有考虑了电子的自旋光谱线

17、的精细结构才能得到解释。13. 两个电子的自旋单态与三重态( S ,S z ) 的共同本征函数SM SS()()r()()()()()()M S(三重态 ) ()()()()00( 单态 )14. 两个角动量的耦合若J ,J 是两个独立的角动量，则J JJ 也是角动量。2 2 2j 1 j2jm , 耦合表象基矢J1J2】 ,Jz2 2人口 / 口？ ) 无耦合表象基矢J 1 ,J 1z ,J 2,J 2zjjjm ,j1mm2j2m2m mhj zm? j1 j2 jmm 2CG系数C-G 系数的性质： m g m 2,j的取值： j1j2 , j1j2h J1j22, ., j1j2,15

18、. 全同粒子(1) 量子力学中，把内禀属性 ( 静质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等 ) 相同的粒子称为全同粒子。（2） 全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得全同粒子所组成的体系中，二全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。全同性原理或表述为交换对称性：任何可观测量，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变的。这就给描述全同粒子系的波函数带来很强的限制，即要求全同粒子体系的波函数具有交换对称性P SS或者交换反对称性PA A 。（3）全同粒子系的波函数的交换对称性与粒子的自旋有确定的联系。玻色子：自旋为整数倍（ S 0,1,2, ）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的，例如 介子（ S 0 ），光子（ S 1）。它们遵守Bose 统计，称为 Bose 子。费米子：自旋为半奇数倍（ s 1 2, 3