§3.1.1数系的扩充和复数的概念

1、第3章 数系的扩充与复数的引入§ 3.1数系的扩充和复数的概念§ 311数系的扩充和复数的概念教学目标：1 .知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位L2 .过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律*3情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）.理解并掌握复数相等的有关概念-教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的 分类（实数、虚数、纯虚数）和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在 数学学科中的地位和作用 教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在

2、引入虚数单位i并同 时规定了它的两条性质之后，自然地得出的在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成 立.教具准备：多媒体、实物投影仪教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了 在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾教学过程：学 生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，

3、数的概念也得到发展-为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然Nt.如果把自然数集（含正整数和0）与负整数集合并在一起，构成整数集 Z,则 有Z二Q、N二Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集 +有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数（包括整数、有限小数），无理

4、数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集*因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2= - 1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于一 1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位.并由此产生的了复数+ 讲解新课：1 .虚数单位i：2（1） 它的平方等于-1，即i = -1；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2

5、22 . i与一 1的关系：i就是一 1的一个平方根，即方程x = - 1的一个根，方程x =一 1的另一个根是一 i!3. i的周期性:4n+i4n+14n+2 4n+3 4n.4n+24n+3j =j j =_ j _.j j =14n 一，一 ，一，一4复数的定义：形如a - bi(a,b R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*+3 .复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z=： a, bi(a,bR)，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式 +4 .复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a bi(a,b R)，当且仅

6、当b=0时,复数a+bi (a > b R)是实数a ；当b羊。时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且0时，z=bi叫做(£,>0-正实数二是实数MH实数复数z=a+6t、一>负实数纯虚数桩（a '硬R）纯虚数；当且仅当a=b=O时，z就是实数0.Mo-TE纯虚数的虚数5.复数集与其它数集之间的关系：N二Z二Q二R二C.6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个 复数相等+这就是说如果 a, b, c, d R 那么 a+bi = c+di 二 a=c, b=d.复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据+ 一般

7、地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对,如果两个复数都是实数，就可以比较大小.只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小+11 r l例1请说出复数2 3i ,-3 i, i,- 3 - 5i的实部和虚部，有没有纯虚数？1 1答：它们都是虚数,它们的实部分别是2, - 3, 0, - 3;虚部分别是例2复数一2i+3.14的实部和虚部是什么？答：实部是3.14，虚部是一2.易错为：实部是一 2,虚部是3.14!例3 (课本例1)实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m 1)i是:（1）实数？（2）虚

8、数？（3）纯虚数？分析因为m R，所以m+1, m- 1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的 条件可以确定m的值.解：当m.仁0，即m=1时，复数z是实数；(2)当m 1至0，即01八1时，复数z是虚数；(3)当m+1=0，且1羊0时，即m=- 1时，复数z是纯虚数.例4已知(2x 1)+i =y- (3y)i，其中 x, y R，求 x与 y."2x1 = y,5解：根据复数相等的定义，得方程组''所以x=- , y=4*J = -(3 - y)2巩固练习：1 .设集合C=复数 ,A=实数,B=纯虚数，若全集5=0,则下列结论正确的是()A.AU B=

9、C B. CsA=B C.A n Cs B= - D.BU CsB=C2 .复数(2x2+5x+2)+(x2+x 2)i为虚数，则实数x满足()1 1A. x= 一 B.x= 一 2 或一 C.xM一 2 D. xm 1 且 xA一 2223 .已知集合 M=1, 2, (m2 3m- 1)+(m2- 5m- 6)i,集合 P= - 1, 3 .M n P= 3, 则实数m的值为()A. 1 B. 1 或 4C.6D.6 或一14 .满足方程 x2- 2x- 3+(9y2 6y+1)i=0的实数对(x, y)表示的点的个数是.5 .复数 Zi=a+ I b I i,Z2=c+ I d Ii(a

10、、b、c、d R),贝UZi=Z2的充要条件是2.6. 设复数 z=log2(m - 3m- 3)+ilog2(3 m)(m R),如果 z 是纯虚数，求 m 的值.7. 若方程 x2+(m+2i)x+(2+mi)=O至少有一个实数根，试求实数m的值.m(m + 2)28. 已知me R，复数Z= +(m2+2m 3)i，当m为何值时，m 12m '3m 1 = 3m2 -5m -6 = 04.解析：由题意知X2 _2x _3 = 0, $y2_6y+1 =0,T m=1，故选 A.1x = 3 或 x = -111点对角），（T）共有2个.答案：2 35.解析：Z1=z2：=二 2且

11、 b=d .答案：a=c 且 b=dJbl=ldl（1）z R；z是虚数；工是纯虚数；z+4；答案:1.D2.D3.解析： 由题设知 3 M，二 m2- 3m- 1+(m2- 5m- 6)i=32log2(m - 3m - 3) = 0,6解：由题意知“9 7Iog2(3 -m) = 0,2m 3m “m = 4 或 m=-,/ m=- 1.n27,角举： 方程小为 fY+mY+2Ur2Y+m=n / J2x m = 02rn m m22C2 = 0,m=8, - m=± 2-28.解：(1)m须满足V m 2m-30瞬徨：m2(2)m须满足m +2m 3工0且m 1美0,解之得：01八1且mA 3.,m(m + 2)=0,m须满足 m-1，解之得:m=o或m= 2.2m +2m3 式 0./人一厂 m(m 2) 1(4)m须满足 一 :m1 2解之得：m0,m2 +2m -3= 4.课后作业：课本第106页习题3.11 ,2,3教学反思：这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数 相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数 的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复