奥鹏东师常微分方程练习题答案x

1、常微分方程练习题- -参考答案 练习题第1套参考答案 一.填空题 1、全平面. 2、 1,y 1 3、 y Cx C3 4、线性无关 ,(或朗斯基行列式不等于零 5、开 二.单项选择题 1.A, 2.C, 3.B, 4.C, 5.B .简答题 1. y 0时对应通解是 y (x C)2 y 0时对应通解是 (x C)2 4 C. 2.是. 四.计算题 1、 通积分为 Cex. 2、 通解为y 3、 通积分为 5、 C. 4、 通解为x ；(C * C1 cost C2sint 1 -tcost. 2 x 通解为 y C1e2t C2e7t 五.应用题 1.设物体在t时刻的下落速度为 V v(t

2、). 在t时刻物体所受的力 f mg kv, k为阻力系数，由牛顿第二运动定律 ，得方程 mdv mg kv dt dv dt k(v m k mg)解得v mg k Jkt Ce m 代入初值条件v(0) 0, 得初值解v(t) mg(1 k At e m ) ，得极限速度v1 mg k 2.证明：因为x0在取极值有 y(x。)y2(x。)0 此时y(x), y2(x)的朗斯基行列式在 冷点的值为 W(x) 1(x0) 1(x0) 72(x0) 72(x0) m、)y2() 0 0 所以，y(x), y2(x)不能为基本解组 练习题第2套参考答案 一、填空题 1、（ ). 2、 y 0的右半

3、平面 3、 y k ,k 0, 1, 2,L 4、e 2x, xe 2x 5、 二、单项选择题 1.B, 2.A, 3.D, 4.C, 5.D 三、简答题 化成等价积分方程, 用逐次逼近法求积分方程解。 四、计算题 1、 2 1 Cex 2、 sin x y C. 4、 五、 1. 2. 应用题 ln C2e3x 1 5 x 一 e 10 5t C1 3e5t C2 t e t e 解：通解为y Cx 1 2 C2包络线方程为 2 解得奇解为y 证明设y（x）, y2（x）是方程的两个解，则它们在 ）上有定义，其朗斯基行列式为 W(x) V1 (x) V2 (x) V1 (x) * (x) 故

4、这两个解是线性相关的。 1 y (x) 2*2(X) 0,x 由己知条件，得 WX) yjx。) 72(x0) yjx。) y2(x0) 由线性相关定义，存在不全为零的常数 1, YI(XO) 2(x0) 由于y（x） 0,否则 2 0 ,则有yJx) 0而 y(x) 0,则 1 0这与y（x）, y2（x）线性相 关矛盾，故 y2(x) 1 一y(x) Cy(x). 2 常微分方程练习题二参考答案 1 3、n 4、y i =cos x, y 2 =sin x 5、恒等于零 二、单项选择题 1 5 B A C A D Cx2 Cx 1 3. (x2 2x 2)ex x3y2 C 4. 齐次通解

5、 y C1cos2x C2sin 2x 非齐次通解 y C1cos2x C2sin 2x 1 8 2 - x cos2x 1 xsin 2x 16 5. x C1 t e 4et 4y C2 5t e 5t 五、 1 . y 应用题 解。通解为 (x 2e5t C )2 ,包络线方程为 2 4y (x C)2 0 2(x C) 解之，奇解为y 0. t。，)上有界，那么，该方程组的一个基本解矩阵的朗斯基行 列式W(x)应在t。，)上有界. 另一方面，由刘维尔公式，该朗斯基行列式 W(x)满足 W(t) W(t)exp : n aH (t)d t0 ; 矛盾，所以，该方程组至少有一个解在 to,

6、)上无界.练习题第3套参考答案 一、填空题 三、 简答题 四、 计算题 化成积分方程求解且二者等价。 1、y=1 2、全平面 1. 2. x2(x2 C) 2.证明 (反证法)假设该方程组的一切解都在 这与, aii (t)dt t0 i 练习题第4套参考答案 一、 填空题 1. ( , ). 2、xoy 平面 3、n 4、y k ,k 0, 1, 2,L 5、y=e y=xe 二、 单项选择题 1. B, 2.A, 3.D, 4.C, 5.B 三、 简答题 1. 略 2. 不矛盾，因为平面的无穷远有任意的方向。 四、 计算题 2 1.解，通解为y Cx C 包络线方程为 y Cx C2 0 x 2C 2 x 解之，司解为y 4 xoy平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解 y k ,k 0, 1, 2,L 。 6. y2 C 、1 x2 . 2、y VCx22x3. 3x 1 2x 3、 y Ce -e . 5 5t x e - 5、 C1 5t C2 y 3e 4、x2y sin x y C. t e t e 2.证明，由己知条件可知，该方程在整个 对平面内任一点(sy。)，若y k ,则过该点的解是 y k ，显然是在( )上有定义。 若y。 k ，则y。 (k ,(k 1)，记过该点的解为y y(x),那么一方面解y y(x)可以向平面的无穷远无 限